C-cos»! A"— 4a“Mû* i A

— côs A*

Ces formules remplaceront avec avantage les méthodes de Re'giomontan.

Problème 5o. Si la droite AN =a (lig. 65 ) partage en deux également l’angle A'', et la base connue C" en deux parties inégales AN=T' et A'N = T, toutes deux connues, trouver le reste.

C'* = T'1 4- a* — 2flT' cos N ,

C* = T* 4 U* 4- aaT ÇOS N , t,

T* C* T’ 4 a’ 4 aaT cos N T* — C* ‘ — T'*4 a* — aaT' cos N *

l5i)G ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

On sait que ^ , quand l'angle est partagé eu deux également.

(*)’ (T" + fl*) — a (£)’ aV cos N = (T* + fl*) + cos N ,

X*(T'*+ a*) — aT’T'acos N=T'*(T* +a*)-f- aaTT'* cos N , aflTT'cosN(T-f-T')=T'*T*+a*T'* — T*T'* — a*T*=a*(T* — T'*),

„ fl’cr*— T*) fl(T + r)(T — T) o(T — T')

cos — aaTrcr+ T) ~ a'rf'(T + r> ~ flrr

La solution de Rcgiomontan est adroite; il inscrit au cercle un triangle; il ramène le problème au quadrilatère inscrit. Son procédé malheureusement est fort long; il repose sur des théorèmes très connus. Nous trouvons N par une formule .très simple ; N avec -j A1' donne tous les angles, et les deux autres côtés se trouvent par la règle des sinus.

Problème 5i. Deux triangles ayant même base connue ainsi que les autres côtés, trouver la distance des sommets.

11 abaisse deux perpendiculaires, en prend la différence et la distance horizontale, la distance cherchée est l'hypoténuse d’un triangle dont les deux différences sont les côtés. n'=(x — jc')*-f-(y — f)'. C’est un moyen bien connu ; il n’est pas le seul que donne la Trigonométrie.

Problème 5a. Si l’on a sur une même base connue deux triangles, dont l’un soit isoscèle et l’autre scalène, que l’on connaisse la distance de leurs sommets et chacun des deux angles A et D au sommet, trouver les côtés, (fig. 66).

Si l’un des triangles est isoscèle avec un angle, on les a tous trois; avec la base, on a les deux autres côtés. Dans l’autre on connaît la base et l’angle au sommet; mais si l’on connaît tout dans le premier triangle, comme le suppose l’auteur, il est inutile de supposer le triangle isoscèle, on peut tout aussi bien le supposer scalènc; dans le triangle ADC, on a ACtsinD:: ADtsinZ; après quoi x— 180 — D — Z,

sin D: AC

sin xtCb =r

A.C sin x

tin D

AC sin (D -4 /.) sin D

Bü‘= AB + AD — üAB . AD cos (A + .*),

RD: sin (A -f- x) :: AD:sin ABD, ADA = 180°— A — x — AUD,

BDC= ADC — ADB.

Ainsi tout est calculé.

RÉGIOMONTAN. 5o7

Mais si dans chaque triangle on ne connaît qu’un angle et la base opposée; au lieu de supposer l’égalité des angles et des côtés opposés inconnus, dans le premier, il suffirait plus généralement d'en connaître le rapport, alors tout deviendra aussi connu dans le premier triangle, et la solution continuera comme ci-dessus.

BC:sin A:: AB:sinC

::CA:sin B:: (AB -f- AC):(sin'C-l-sinB)

::AB(i-f n):a sini(B+C)cosî(B — C), aBC sin i (B-f-C)cos-j (B — C)=( i +n) AB sin A=a (i -t-n) ABsin j A cos j A , aBCcos jAcoSï(B— C)=a(i +n)ABsin j Acos^A,

aBCcosi(B— C)=a(i+n)ABsiniA, AB = \(B~P;

voilà un côté connu; si n= i , i -|-n = a; c’est le triangle isoscèle. BCtsinA” ABlsin C; voilà un angle et l'autre aussi par conséquent. sinA:BC sinABC: AC ; voilà tout le premier triangle connu, puis vous résolve* le second triangle comme ci-dessus.

Si vous connaissiez le rapport des angles inconnus, vous auriez les trois angles et les trois côtés du premier triangle, et le reste de la solution serait encore le même.

La solution de Regiomontanus est donc particulière au triangle isoscèle. Elle est longue et embarrassée, et ne nous fournil que des applications de principes connus depuis long-tems.

Problème 33. Si vous connaissez la ligne AN=a (fig. 67), qui partage en deux également l’angle inconnu A", et que vous connaissiez de plus les segmens inégaux de la base C", c'est-à-dire T et T’ avec l’angle N que fait AIN' sur la base, vous aurez

C'* = a‘ + T'* — aoT' cos N ,

C* == «* + T* + 2«T cos N ,

les deux côtés ainsi connus, vous aurez tous les angles, car vous ave* C' — T-f-T', il n’y a pas la moindre difficulté; mais on ne voit pasqnc Régiomontan fasse aucun usage de cette propriété générale des triangles , dont le germe est dans Euclide; les Grecs n’en faisaient pas plus d’usage; ils auraient abaissé la perpendiculaire Ap , calculé A p, A "p, />N, l’hypoténuse C', la perpendiculaire A'q, A" y , l’hypoténuse C.

Le procédé de Régiomontan est plus compliqué; il circonscrit le cercle, en calcule les cordes et les segmens de ces cordes, et trouve la solution par le quadrilatère inscrit