f- sin 1 cos x 1 + sin 1 cos x ' D 1 -f- sin 1 cos x
= tang X = tang HKN = lang équat. du centre dans l'excentr.;
donc X = HKN ; ce qui est vrai pour 4ti point quelconque de l'ellipse. Toujours l'angle HKN est égal à la latitude MNK, ou à l'inclinaison du rayon excentrique sur le plan de l'ellipse.
HKN est le même, soit dans le plan de l'excentrique et de l'ellipse,' soit dans le plan incliné dont la projection est l'ellipse.
Les points H etN sont immobiles; HK et NK n'ont pas changé dans le mouvement qui a produit l'inclinaison ; pour un même point K de l'excentrique, les trois côtés HN, NK, HK sont constans; mais MK, dans le plan , diffère de MK perpendiculaire.
KR=sinx, MR=cosÉsinx,
MK =KR — MR = sin x ( 1 — cos «) = a sin' { e sin x ,
MK perpendiculaire sin t sin x as a sin { e cosî « sin x, Hist. de l'Astr. mod. Tom. I. 58
MK diffcr.de» deux ordonnée» = a .in» j ..in a , = , valcur conslaMc, MK perpendiculaire asiu jicos ji sinx a
KR — MR = ( MIC perpendiculaire ) tang £«.
Si « = ANM = o , il est évident que x et A sont tous deux = o. Si u = go" — e , ce qui arrive au sommet du petit axe ,
tang e sin u = tang 6 cos s = sin «.
Ainsi, tang A = sin £, la latitude du point B, vue du foyer, aura sa tangente égale au sinus de l'inclinaison.
sin i sin x tang t sin x
Si u = go% tang A = tang e = = — — ,
i -f- »in t cos x elco8€= ______
cos =sinx= i+sin tcos x, cos e siax — sin ecos x= i =sin (.r-e)i=singo0, x — € = 90% x = 90* -(- £ , cosjc = — sin £, si«= 180% x = i&V et A = o.
Le triangle rectangle TNK est donc toujours parfaitement e'gal au triangle perpendiculaire MNK ; la perpendiculaire MK s= sin t sin x = perpendiculaire NT.
Le côte NK est commun, TK = 1 + sin t cos x = NM = rayon vecteur elliptique.
L'angle TKN ==MNK = latitude fococenlrique du point K = équation du centre dans l'excentrique.
L'angleTestdroitcommeKMN;rangleKNT=90e— TKN=go°— A.
Il est donc évident qu'en projetant l'excentrique orlhographiquement, c'est-à-dire , en multipliant le rayon vecteur par le cosinus de la latitude A, Kepler détruisait infailliblement le mauvais effet de la sécante de l'équation du centre dans l'excentrique, puisque partout les deux cosinus sont égaux , et que séc. cos =: 1 .
Soit (fig. 74) KMR = z'mx dans le plan de projection, K'R = sin x dans le plan îneliné, K'M = sin c sinx, perpend. à la projection, RM = cos < sin x , ordonnée elliptique, RKK' = RK'K = go» — i «, RK'M =90 — #, KKM = (go- - ii>-(9o--0 = ;
KÉPLER. 459 KM = K'M lang KK'M == sin i sin x Ung i e = 2 sin i é cos i t lang ; i si n jc=a sin* ; t si ti jt,
9°'— I «--(9O—0=9Oe — t « —90°+ « =î « »
vir/ • , . K'M a sin ^ 1 cos \ t sin x • ,
k k = 2 sin î 6 sin 2: = = ■ ^ = asin^ ésiojt.
COS î • COS r I
C'est dans le ebap. LIX qu'il donne ses idées sur le calcul elliptique; c'est encore un chapitre qui est peu cité, quoiqu'il renferme toutes les méthodes qu'on suit encore aujourd'hui sans s'informer à qui Ton en est redevable.
Il établit quelques prothêorèmes.
I. Les ordonnées de l'ellipse sont les ordonnées d'un cercle, diminuées dans une raison constante. 11 renvoie à Apollonius et au Commentaire de Commandin sur Archimède.
Soit/ l'ordonnée du cercle incliné,/' l'ordonnée correspondante de l'ellipse j
/'=/cos i —y — 2/sin'i«, d'où/— ■/' = 2jrs\n%~it sin «= excentricité.
Ces expressions simples se tirent immédiatement de ce premier théorème.
II. L'aire de l'ellipse est à celle du cercle ::/' ly. C'est un théorème d'Archimède.
III. Les parties retranchées des ordonnées sont comme les/. C'est notre expression 2/ sin'î *.
IV. Si l'on divise le cercle en arcs égaux par des ordonnées, l'ellipse sera divisée en arcs inégaux, et les arcs elliptiques seront en plus grande proportion vers les extrémités du grand axe ; vers les extrémités du petit axe la proportion sera moindre; les arcs voisins seront presque égaux ; l'arc elliptique sera moindre cependant que l'arc circulaire correspondant, parce qu'il a moins de courbure.
V. La circonférence elliptique est à peu près moyenne arithmétique entre celle du cercle inscrit et celle du cercle circonscrit.
VI. Si deux carrés sont divisés proportionnellement, leurs gnomons seront comme les carrés ; les gnomons seront
ab b% a a , A'
bb AB
+ aAB A ' A aAB AlV +âÂ/
■AB + BB- JL - I+JL ,+ B -A''
aAB TaA ^aA
Kepler en donne une démonstration synthétique.
VII. Le carré de l'excentricité = gnomon fait de a* — b%; nous disons plus simplement e*=za* — b*f ou sin'É=i — cos'e.
Les théorèmes suivans sont longs et obscurs, et nous n'en avons aucun besoin pour nous démontrer les lois et les calculs de Kepler.
C'est au chapitre suivant qu'il va nous donner sa solution du problème qui porte son nom, ce qui est de toute justice, puisqu'il en a fait la base du calcul astronomique, qu'il l'a proposé le premier aux géomètres, et qu'il en a donné une solution qui ne vieillira jamais.
La figure sur laquelle il établit ses calculs est une de celles sur lesquelles il veut adirer les regards de ses lecteurs; car à la droite de son ellipse, vers l'aphélie, il a représenté l'Astronomie portée sur un char de triomphe, tenant une couronne de la main gauche, et de la droite celle même courbe elliptique (fig. j5).
Il n'a pu se démontrer le point fondamental , ou l'égalilé des aires en tems égaux; il disait, page 294 : Nous continuons toujours la même fiction; si quelqu'un avait assez de loisir pour calculer l'aire de l'ellipse, et qu'il employât celte aire au lieu de la somme des rayons vecteurs qui partagent l'arc elliptique en autant de parties qu'il y en a dans l'arc de l'excentrique, il verrait qu'il ne s'éloignerait pas du but. Prenons celle proposition comme une chose démontrée ; et quelques lignes auparavant : Celle démonstration, bien qu'elle soit cerlainc, est cependant «Vc^re; et xyia/ui'iTfrTcç , peu suivant l'art et suivant la Géométrie, si ce n'est pour les extrémités des deux axes. Je voudrais bien qu'on en trouvât une démonstration rigoureuse et qui pût satisfaire les Apollonius ; mais en attendant que quelqu'un la trouve, il est bien force que nous nous contentions de celle-ci.
Celle démonstration a élé donnée depuis par Kepler, et ensuite par Newlon; elle ne suppose que les premiers élémens de Géométrie, et l'uniformité du mouvement de projection en ligne droite. Il est bien singulier que Képler , qui a déclaré que le mouvement en ligne droite était le seul possible et le seoi naturel, n'ait jamais songé à combiner ce mouvement en ligue droite avec la force tractoire qu'il donne au Soleil. Au lieu de celte impulsion primitive, au moyen de laquelle la planète avancerait uniformément en ligue droite, il a cherché une âme, une force résidant dans la planète elle-même. Les choses les plus faciles sont assez souvent celles auxquelles on songe le moins. Un homme moins religieux que Képler, et qui n'aurait pas voulu admettre de Créateur, aurait eu quelque peine à imaginer la cause du mouvement de
KJÉPLER. 46t projection; mais comment Kepler n'a-t-il pas fait intervenir le Créateur pour lancer les plauètes dans l'espace , au moment de la création ?
Mais pour que la difficulté de son argumentation subtile et perplexe ne fas6e pas douter de la vérité, il nous dit encore que c'est par expérience qu'il y est arrivé.
Pour chaque degré de l'anomalie excentrique x, il a calculé (i+ecosx) ; ' il a prouvé auparavant que cette expression est celle du rayon vecteur, et la somme de ces angles se trouvait toujours proportionnelle au tems; à celte somme trop pénible à calculer, il substituait, comme équivalent, l'aire du secteur. Il était persuade que le mouvement se ralentissait en raison de la longueur des rayons - ainsi la somme des rayons devait être proportionnelle au tems , lorsqu'on exprimait le tems de la révolution par 3Go'.
Il résultait de ce calcul deux conséquences , la loi des aires et l'expression du rayon vecteur.
Il ajoute que si quelqu'un attribue la difficulté et l'obscurité de sa démonstration à son peu de génie, il en conviendra ; cependant il renvoie celui qui lui ferait ce reproche aux Coniques d'Apollonius, bien sûr qu'il y verra des propositions qu'aucune force de génie ne parvient à rendre assez claires pour être entendues en courant; il faut long-tems méditer et ruminer ce qu'on a lu. Au reste, nous verrons plus loin que Kepler a trouvé celle démonstration , qu'il croyait si difficile.
Soit AM (fîg. 75) un arc elliptique, et l'ordonnée*KML ; on a l'aire AHK du secteur circulaire, et comme on connaît AK, on connaît aussi son sinus KL = sio x.
Or, />; •
sinjc : 1 :: aireHRN : aireHEN= iHNj £, -h- * — /UU^-A*
ainsi ^
HKN = i HN sinx = £ e siax ; donc le secteur r /4 7
ANK = AHK + HKN = jx -f-£ « sinjr; =r * .JA ~
cette quantité est proportionnelle au tems ,3 HKN est ce que Kepler appelle X équation physique , qui s'ajoute à l'anomalie excentrique -ar, correspondant à l'anomalie moyenne. L'anomalie moyenne représentera le tems, l'arc AK sera l'anomalie de l'excentrique; et l'angle ANK, il
l'appelle anomalie égalée JAK est aussi nommé par Kepler celui qui donne M> j"f *M***-*">:^ le nom à tanomaliejATA, ejus denoiMnatov. ~ L 1 ^-if*
Ces dénominations indiquent la route qu'a suivie Képler. C'est l'excen.- "~ - *
T r ' * VT**- r* , /^"** t. - * /w? • '*v* 1
/ triguej^agiifins , et l'excentricité coupée en deux, qui Tool conduit I à son ellipse; il consenre l'excenlrique/pour faciliter le calcul elliptique. TXj^vl, u/U. ur~4u± La démonstration de z=x-f-c sinx est un peu obscure , niais exacte, e. }< JI>y- * l+-*r'/2&&> el ne lai**e rien * désirer, si ce n'est une rédaction plus simple. L'autre
fu„à tyc IJ'Jtyf • =i+2fcosa:-K'cos*x = (i-H-cosx)'.
V. 44j • 4//, A}4 Ainsi voilà les deux équations fondamentales du problème • voilà ce
/«-, u4r» «>~ k ei^-h qu'on a donué jusqu'ici de plus simple et de plus généralement utile, et
^u>^y'^-~ c'est à Kepler qu'on le doit.
» *r-M~^-X ij ' , ' ^ U reste à déterminer l'anomalie vraie: Kepler montre qu'on a
cos« = *+c<Mf. = .
i-J-ecosx i + rcoix'
on connaîtra donc ANM = anomalie vraie égalée. Voilà tout ce qu'il en dit.
Réciproquement, étant donnée l'anomalie vraie, on eu conclura x, quoique avec un peu plus de peine ; la ebose était pourtant bien égale. L'équation précédente donne
cosu -h e cosu cosx = c -f- cosx , cosh = e -f- cosx — e cosh cosx ,
co.iu — e
cosa — e = cosx — ecosucosx, et cos x = l ec^ti
mais Képler ne connaissait pas l'usage des équations; il fait
(e cosx) = , et cos x = ( J.
-—cos w e e
a. / V 11 donne encore une autre méthode plus singulière et qui ne mérite
<*• M* '&»\- pas l'oubli dans lequel elle est tombée. Képler la démontre d'une maw>.', nière longue cl détournée; on peut y arriver directement de plusieurs ^'h/^ =./.„. ^tt. manières.
Soit M le lieu de la planète sur son ellipse, AK l'anomalie excen-
y'K/M — ^ l,iiue ; meuez KiX et MNi MiNL = i*T-HMy = <p ; knl = « 9.
> . , ' ^ — ! f- 23in*i«5inxsmu
e -/~ — e cosu
5«in4{«sinxcos*«
Ou ^ /'S Sfin4 { « sin xcos*«
\*ia«+cosx/
»'u( — a) \ ces « /
i + asin»>,sinucof "(~^)
/tang u\ cos» + a»in'i«siii'u ^
sin*;«ginau sfn' ^ i sii^n
1 — 2»m»;i-f-«Aia,'ii3iir'u 1 — a»in';i +sinlj ■ — s»n';icôïaû
, sia'rningu tang' £ « «in au
cos*îi — sin'îicojau i — tang' g t coa au '
ami sin a" T sin 3 '
0 est la réduction d'un cercle décrit autour du foyer dans le plan de l'ellipse, à un cercle iucliné d'un angle e sur le plan de l'ellipse.
Q -f- u sera donc l'arc de cercle qui répondra à l'angle u du cercle autour du foyer; la réduction de cet arc au plan de l'ellipse sera donc
p = tangue sin a(tt-f-p)-— jtang^esin4(a-f lang'i esin6(a+<p)-f-elc. = tang* j (slmu -f- ± tang4 f e sin4« -f - 3 tang'f e s'môu -f- etc.
m étant donné, vous aurez <p par cette série ou par sa tangente. Mais
HK : sinKNL :: NH : sin HKN, '7
x : sin (u-f-f) :: e : sin HKN — e sin + ^. u .^^^Ui+W*"* ^
ar = KIIA = KNA -f- HKN = (u-f-?>) + arc sin = esia(u+q>) . - *»■ "~ "^"^ '
Kepler ne résout ce problème qu'approximativemeot ; il fait ' 1
tang' i i sin au
il a donc p, aux termes près tangue, tang'^f, etc. A vrai dire, it est plus court de faire cos.r = coa u ~iin ' 0Q ,je
» r J SU1 I cos u »
chercher x par son sinus , par sa tangente et sur-tout par la tangente
de sa moitié. /^pX + V^
La solution de Képler a le mérite de ramener le problème de x à la 1 . .
même forme que celui de z, à peu près/ Une table de esinx servirait /*.'-'«.' 0<-^f~T /~V7 / à trouver esin(u + <p). Au fond, cet avantage est bien médiocre, et nous i'****/» avons une série plus expéditive, qui donne (x — u), d'où x par u ou u
par x. Cependant, à cause de la singularité de la solution, donnons un.
exemple du calcul.
Soit e = 0,09265 et x = 45*. 2 = anomalie moyenne.
«in 45°... 9,8494850 cos45*... 9,8494850 •
C. sini". .. 5,5i44a5i o,o655i54... 8,8i633o4 eûtix = 5«45' i3"i 4,i307555 1
x 55 45 i,o655i34 = i-f-ecosx
3 = 48-45-1 3,i = rayon vecteur,
moitié. . . 9,9596468 ■ 4 " j 1
tangjjt s aa'So' 9,6172243
tang{ u = 20.4<>.46"3. . . . 9,576871»
z = 48.45.i3,i b — m = 7.25.40,5 = équation du centré.
Voilà donc, par les formules actuellement en usage, 1'anomaHa moyenne, le rayon vecteur, l'anomalie vraie et 1 équation du centre, d'après l'anomalie excentrique x.
Par les formules de Kepler nous aurions, comme ci- dessus , z et i+ecosxy et pous ferions
e = o,09365o cosx = 0,707107 c + cosx ss= 0,799757.,.. log.,. 9,9039580
