CHAPITRE

ARITHMETIQUE. — D'EUGLIDE A DIOMIANTC.

F/héritage recueilli par l'école d'Alexandrie, considérable à certains égards, n'était donc pas d'une importance égale dans foutes ses parties. Or, s'il y avait dans cette succession une science plus négligée que les autres et plus arriérée, c'était celle-là même qui réclamait plus de progrès, puisqu'elle devait liervir de point de départ à toutes les autres : c'était en un mot rarithmélique.

, Le premier mathématicien de la nouvelle école, Ëuclidi^,

ne s'en occupa que secondairement, et il parait que tout son mérite est d'avoir réuni et mis dans un nouvel ordre ce qu'on en enseignait dans les écoles de la Grèce.

Telle est, du moins, l'opinion la plus plausible, car il est aussi difficile de préciser le point de vue spécial sous lequel il rédigea ses Eléments, que de déterminer la valeur comparative des théories qu'il y expose ; c'est donc à une opinion probable qu'on est réduit à cet égard, comme on l'est à l'égard *de la patrie et des maîtres de ce savant.

En effet, on ignore à quels travaux antérieurs se liaient les siens, et quand il nous reste tant de renseignements sur des personnages secondaires de la ville d'Alexandrie, une profonde obscurité pèse sur cet homme si célèbre, le fontjaleur de l'enseignement des mathématiques dans le Musée.

Tout ce qu'on en peut affirmer avec quelque confiance, c'est qu'il sortait des écoles d'Athènes, et qu'il possédait toute la science grecque de son temps.

L'accueil que reçut son principal ouvrage autorise une induction de plus, celle qu'il exposait cette science avec plus de richesse et de clarté qu'aucun de ses contemporains. Aussi les trois livres qu'il a consacrés à l'arithmétique, dans ses Elé^ ments, (le 7% le 8* et le 9*) résumentnls sans nul doute, dans un ordre plus méthodique que tous les écrits antérieurs, ce qu'on savait de calcul à cette époque.

Dès- lors, nous avons dans cet ouvrage le véritable point de départ de nos recherches. Quel est ce point de départ?

Euclide, sans s^arréter aux règles du calcul vulgaire nécessairement connues de ceux qui se présentaient, par exemple, aux leçons de l'Académie ou du Lycée d'Athènes, ces types du Musée d'Alexandrie, règles qu'il n'entrait pas dans ses vues d'exposer, traite des propriétés relatives des nombres, examine les proportions, les progressions géométriques, la mesure des nombres, (nombres premiers et nombres irrationnels), et donne, entre autres, la solution du problème de trouver un nombre parfait, c'est-à-dire dont toutes les parties aliquotes réunies forment le nombre lui-même.

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Telle est ta matièFe de ces tfois livres, doot les théories sont, eomnie on le vott, aassi loin d'offrir une aritkMétique éléMenlaire qu'une ariihinéliqae sofBsMiie poar de greiute iravaiix de science.

Omis TappUcatioD, ces théories éUieiit de pluft entravées par aoe notation embarrassante et déEectueose.

Cependant, tel qu'il foi présenté à la nouvelle école, ce ré** sanié 4'ËucUde, qui offinait la science d'une époque plutM qoe celle d'un auteur, reçut l'accueil que méritait une composition importante. EUe avait réellement ce rang. C'était noa<-seule* ment le meilleur inventaire des progrès du passé, c'était encore on guide pour des découvertes ultérieures ; car tous eeui qui foulaient désormais étudier l'aritbmétîque trouvaient, dans ces livres, en meilleur ordre et avec de meilleures solutions qu'ailleurs, tous les problèmes, qu'y s'agissait d'examiner en tbéorîe, ou d'appliquer à l'étude des autres sciences, surtout à celle de la géométrie, dont l'aritbmétique faisait encore partie à cette époque. Or c'étaient là deux avantages notables (1).

De plus, ce manuel, plus complet que tout autre, était cekù d'une école de mathématiques désormais constituée la rivale des grandes écoles d'Athènes et aspirant dès le début à une certaine supériorité. En effet, le Musée des Lagides était placé ainsi, xlès soa origine, à la tète de l'enseignement soieatifiype.

Les Enclidiens, -^carjEucUde ent des disciples qu'on désii» gna, comme jusque-là on avait coutume de désigner les élèves des {rfittosophes, par un nom collectif, ^ les Euclidiens contFr Huèrent sans nul doute renseignement de leur mettre, et maintinrent sa supériorité. Cependant il n'existe aucun texte qui établisse ce fait, et l'histoire n'a pas même conservé les noms de ces savants. Tout ce qu'on sait à leur égard, c'est que l'un d'eux, Eratosthèoe, se distingua par l'invention du CRIBLE , moyen ingénieux et facile de trouver, par voie d'exclusion, les

(1) Voy. pour les travaux d^Euclide, les éditions de David Gregory , Oxford, 1703, in-folio, et de Peyrard, Pgris, |S14^t Mimée» suiviMitesy 3 vol. iii-4.

uoiDbreft premiers, qui n'ont de diviseurs qu'eux-mêmes ou Tuniié, et qui ofiQraient à la fois aux arithméticiens de Tantiquité un riche sujet de méditation et un utile emploi dans le caleol des fractions (l).

Il est vrai de dire qu'aucun texte ne mentionne les rapports entre Eratoslhène et Euclide, et qu'on peut les contester. Cependant, l'époque à laquelle vécurent l'un et l'autre de ces savants et l'Age avancé auquel ils parvinrent tous deux, faits si connus que nous n'avons pan à noi» y arrêter (2), portent à croire que l'un .a profité au moins des dernières leçons de l'autre.

Bientôt, un contemporain d'Ëratosthène, un mathématicien qui appartenait à la Grande-Grèce, Archiraède, né l'an 287 avant J.-C, et par conséquent à une époque où la vieillesse sinon la mort ôtait le sceptre de la science à Ëuciide pour le mettre entre les mains d'Ëratosthène ou d'Apollonius de Perge, vînt en Egypte le disputer à l'un et à l'autre.

Cela fut d'autant plus aisé que le prince qui avait favorisé les travaux d'Ëuclide, Ptolémée P^ Soter, était remplacé par Ptolémée II Philadelphe, qui n'encourageait que la botanique, les chasses, les voyages,* la poésie et les arts.

Aussi Archimède, fort jeune encore quand il vint en Egypte et sans doute peu connu partout ailleurs qu'à Syracuse, sa patrie, profita si bien de ce qu'il vit au Musée, que bientôt il s'éleva au premier rang dans les sciences exactes. A la vérité, il lie distingua moins dans Tarithmétiqûe que dans la géométrie et dans la mécanique ; il fit faire néanmoins un grand pas à la science des nombres, et quoiqu'il ne tienne qu'indirectement à l'Ecole d'Alexandrie, nous devons parlerMci de ses travaux, non pas seulement pour mieux éclairer l'ensemble des progrès du temps, mais encore pour indiquer les relations si intimes

(1) Voir ce procédé dans Nicomach., Ârith.y p. 13. — Boeth. Ariih,, 1. ï, c. 17.

{%) V. Fabricii Bibllolh. grœc. lib. UI, c.li.

qu'il entretint avec Conon, dont il a déploré, depuis, si élo* queroment la mort (1). Archimède était aussi ami d'Erato^hène à qui il proposait des problèmes (2). Il continua, même après son voyage en Egypte, avec TEcole d'Alexandrie qu'il avait wsitée, des rapports assez suivis pour qu'on pût, à la rigueur^ le considérer comme un écrivain d'Alexandrie, comme l'histdre des lettres considère son compatriote Théocrite, qui visita l'Egypte à la même époque.

Quoi qu'il e» soit, Archimède publia, sur l'arithmétique, un important travail auquel donna Ireu une opinion vulgaire, qui dénote toute l'imperfection dû Cvilcul à cette époque. En eflfet, on soutenait alors qu'aucun nombre ne saurait exprimer la quantité de grains de sable répandus sur les bords de la mer; Pour réfuter celte opinion, Archimède prouva que, quand même l'univers serait beaucoup plus grand qu'on ne le suppose, le cinquantième terme d'une progression décuple croi»^ santé suffirait pour rendre le nombre de grains de sable qu'il pourrait contenir. Ce résultat avait peu d'importance ; mais ce • qui en eut beaucoup, c'est le système de numération imaginé par Archimède, pour faire son calcul. Ce système, sans approcher de celui que l'Inde possédait dès cette époque, et qu'elle nous a transmis, depuis, par les Arabes, jeta dans les discusn-

(1) Yoy* sa Lettre à Do^thée, à la tête du Traité de la quadrature de la parabole.

(2) Quand môme Tépigramme publiée par Lessing (Zur Geschichte und Lilleratur, Braunschweig, 1773, 2 vol. in-8, t. I, p. 42.) serait d'un poète nommé. Archimèle et non pas du mathématicien Archimède, suivant la conjecture de M. Ideler, les rapports d'Archimède avec l'école d'Alexandrie n'en seraient pas plus douteux. Mais cette conjecture de M. Ideler est dénuée de probabilité ; car si Tépigi amme en question a un sens, c'est dans le cas où elle est adressée à un mathématicien par un autre mathématicien. Bek part d'un poète, elle ne se concevrait pas. On ne peut pas aflirmer, il est vrai, qu'elle est d'un Alexandrin plutôt que d'un Syracusain; mai* quelqu'en soit l'auteur véritable, c'est bien à Archimède qu'il a voulu U prêter, et c'est en vertu d'une trtidftion qui mettait Archimède en rapport avec Bralosthène qu'il l'a faite. C'eât à cette tradition que -nous faisons allusion dans le texte.

»ions des mathédiaticieDS quelques éléments noaveimi. On vu voir de quelle manière.

AiTchîmède se sert de deax progressions, Tune arithm6tiq»e, l'autre géométrique; la première ayant pour premier terme 0, et pour différence 1 , et la seconde^ pour premier terme 1 , po«r raison 10. Or cela est d'une conception »mple, nëaniBoiDl c'est peut-être la raison de ces deux progressions qui a ooik duit les modernes à la découverte des logarithmes ; et là est l'importance véritable du traité d'Arcbimède intitulé VAre^ narius ou le Psammitês d'Archimède.

Quand donc même cet écrit n'aurait pas donné aux Grecs ce qui manquait le plus à leur arithmétique, c'est-à-dire un bon système de numération (1), il n'en aurait pas moins rendu à la science d'importants services. Or, il est à croire qu'Un traité de cette nature fut connu dans Alexandrie presque imniédiatement après sa publication ; et Archimède liiî-^méme le communiqua, sans doute, à ses amis du Musée. Pois, des Copies en forent faites pour la bibliothèque des Lagîdes et pour les Euclidiens. Cela ne saurait se concevoir autrement , quoiqu'il ne soit pas resté trace pour nous de la sensation que le Pêùmmiêis a produite dans Alexandrie, ni de l'émulatiOA qu'il « dû exciler parmi les tovants.

Un contemporain d'Archimède, Apollonius de Perge, qui résidait à Alexandrie à cette époque (2), et qui a dû y rencontter le é^élèbre Syracnsain, fit si bien qti'H détint son successeur immédiat dans l'empire des études mathématiques. Apntloniui en effet s'occupa d'arithmétique comme de géométrie ; il fit ttn traité sttria multiplication des grands nombres (8), et le se*cond livre de la collection que Pappos entreprit au V* siècle dé

(1) Montucla, Hi$t, dês mathématiques, I. p. ISS. \oy. dans ÏArehiméé$ de Peyrard, le Mémoire de M. Delambre, de Y Arithmétique de$ Grtes^ p. 601.

(f) voy. PlamMifl, Oolteeiiù ma$hem. VU, p. Sôt.

(3)- Yey. le. Frtgment du deuxième livre des Collectiont maihém, de Pappus, publié par Wallis.

Mire ère, éMI probablement consacrée à l'eipHcalkiÉ dé ce que le cétébre géomètre de Perge avait dit de nouveau sur b Acience du calcul. Malheureusement, il ne iious est pas resté de teitepour apprécier, sous ce rapport,, son mérite réel (1).

Après Apollonius^ l'histoire de rarithmétique à Técote d'Alexandrie présente une lacune immense» car on ne nonsme |rius an&ïtk homme distingué, aucun travail remarquable peh-> dant l'espace de plusieurs siècles, c'est-à-dire entre les étad^s d'Apollonius, auteur du IIP siècle avant J.-C., et celles de Diopbante qui vint reprendre la science avec éclat, au 11% ou même, suivant d'autres, au lY* siècle après J.-C.. Il est à croire, sans doute, que les mathématicieDs qui vécurent dans cet intervalle ne se bornèrent pas à suivre servilement Euclide, Archimède et Apollonius ; mais nous ignorons tout le progrès qu'ils ont pu accomplir dans ce long espace de temps.

Si nous en jugions par les écrits du pythagoricien Nicomaque de Gérase,qui n'appartient pas à FËcole d'Aleiandrie, mais qui a vécu dans le dernier siècle avant l'ère chrétienne, et par ceux du platonicien Théon de Smyrne, qui n'appartient pas non plus à notre école, et qui est du IP siècle après cette ère, ce progrès aurait été peu notable. Nous avons de Théon, dont* tous les ouvrages conservés ne paraissent pas encore publiés, un traité sur l'arithmétique et la musique (2), et de Nicomaque une Introduction à rarithmétique, dont l'arithmétique de Boëce est une sorte de traduction. Or, on ne trouve aucune innovation essentielle soit dans l'un, soit dans l'autre de ces écrits, qui ne sont que de savantes compilations, dont on peut dire ceci d'avantageux, c'est qu'il y est parlé d'une manière ingénieuse des nombres triangulaires, carrés et pentagonaux.

Après Théon, il faut encore franchir l'espace de plus d'un siècle pour trouver quelques travaux d'arithmétique qui méritent attention.

(1) Delambre, 1. 1.

(2) Bouillaud en a publié une parlie dans son Expositio eorum quœ ad Pîatonis lectionem utilia sunt, Paris 1544, in-4.

Pdrfdiyre, qni vécut au commencement du IV^ siècle, mais qui était plus philosophe que mathématicien, et plus théosophe que philosophe, rédigea un abrégé d'arithmétique et un traité sur les mystères des nombres (1); mais,Moin d'avancer la science, ce néo-platonicien Teût ramenée dans des spéculations pythagoriciennes où elle s'était perdue quelques siècles auparavant , s'il avait exercé une influence plus profonde, et s'il ne se fût trouvé, soit un peu avant soit un peu après lui, un plus digne continuateur d'Ëuclide et d'Apollonius de Perge. . Poiphyre, qui fit une ou deux apparitions dans Alexandrie, n'appartient d'ailleurs à l'école de cette ville pas plus que Théon et Nicomaque ; il n'y demeura pas, il n'y enseigna pas, n'y composa pas ses ouvrages; il passa sa vie. soit en Italie, «oit en Syrie.

Diophante, au contraire, le continuateur des grands arithméticiens de l'école d'Alexandrie» fut un véritable Alexandrin, de naissance et de génie.

(1) Fabric. Biblioth. graec. t. IV.

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