GEOMETRIE. — DEUCXIDE A APOLLONIUS DE PERGE

L'École d'Alexandrie débuta en géométrie à peu près comme en arithmétique , c'est-à-dire qu'elle commença par réunir et mettre dans un ordre plus méthodique les théories de l'époque.

Son début fut, néanmoins, beaucoup plus brillant en géométrie , et ce fut encore Ëuclide qui fit ce début.

Pour cette science, du moins, on sait à quel travail il rattacha le sien. £n effet, ce fut au dernier manuel de géométrie publié ayant lui, aux Éléments d'Hippocrate de Chio, à cette composition que nous avons déjà citée comme le résumé de la science d'une époque , qu'Ëuclide voulut substituer son ouvrage. Il y réussit si complètement que la postérité le considéra comme le créateur de la science , quoiqu'elle sût bien que la géométrie était plus ancienne que lui, et qu'elle la crût originaire des bords du Nil.

Qu'a fait Ëuclide pour mériter cet hommage ?

Ëuclide s'étant attaché à réunir les meilleures théories des géomètres qui l'avaient précédé, a coordonné leurs travaux et perfectionné ou complété leurs démonstrations en y apportant cette précision qui est devenue , par lui , le caractère de la science. On peut affirmer de ses treize livres d'Eléments qu'ils résument tous les travaux antérieurs.

Deux autres livres qu'on a Ynis sous son nom sont d'Hypsiclés, mathématicien dont nousàtlrons à parler.

Les Données d'Euclide forment avec les Eléments les deux principales compositions qui soient restées de lai, car les Suvoudtai ou conférences, qui donnent les démonstrations des propriétés énoncées dans les Elément8,9ont l'œuvre de Théon, ou du moins ce livre a été à tel point modifié par le commentateur du y* siècle, qu'on n'y reconnaît plus la part d'Euclide.

Ensemble les Eléments et les Données reproduisent, mis en meilleur ordre, complétés et perfectionnés , tous les travaux grecs antérieurs à l'Ecole d'Alexandrie. En effet, on doit admettre qu'Euclide ajouta peu de chose au fond ; que s'il améliora singulièrement la méthode et les démonstrations, déjà les propriétés générales des figures planes , la théorie des proportions et son application aux figures planes (matière des livres 5 à 6 d'Euclide) , les propriétés générales des nombres (livres 7 à 9), la théorie des grandeurs incommensurables (livre 10) , celles des plans et des solides (livres 11 à 13) , étaient connues avant Euclide. Tout cela, pour devenir une science ou un ensemble bien démontré, avait sans nul doute besoin d'être revu, lié et prouvé, mais on peut affirmer, de plus, que tout le fond des Eléments et des 95 théorèmes de géométrie que contiennent les Données était fourni à l'auteur par la Grèce elle-même.

En effet, aucune indication ne tend à faire croire qu'Euclide ait consulté d'autres mathématiciens que ceux de la Grèce, qu'il ait connu ceux de l'Orient ou ceux du pays où il vécut, et qui , d'ailleurs, étaient de son temps dépassés par les Grecs.

Si cela est exact, la gloire d'Euclide se borne, en géométrie, à la réforme de la méthode au moyen de ses Elém^entSy et à la création de l'analyse au moyen de ses Données (!)• Cela peul paraître peu considérable , mais ce qui rend probable qu'Euclide a mis dans ses livres peu de propositions nouvelles, si

(1) Aux Donniêt il faut ajouter leBporitmet, suivant Pappus, in pnef libri VII. — BoHut, Hitt. du Mathém, (I, 1S7. Trad. allemand. d< Reimer). -

même il y en eut, c'est qu*à examiner une à une celles qu- il y domie, il n'en est pas qui ne doive avoir été débattue , soit à recelé de Crotone, soit à celles de Platon et d'Aristote, où Ton connaissait l'incommensurabilité dont Ëuclide traite dans celui de ses livres qui est le plus avancé, le lO"" (1 j.

D'ailleurs les mathématiciens d'Alexandrie , si jaloux de la renommée de leur chef, ne mentionnent aucune de ces propositions comme une découverte d'ËucIide.

Quoi qu'il en soit, au surplus, de cette question d'inventaire entre Eaclide et ses prédécesseurs, un manuel complet de géométrie était donné au Musée, après la rédaction des Eléments. Il était déposé à la bibliothèque publique , présenté a l'Egypte grecqoe et à la Grèce ; il était accessible même à l'Egypte ancienqç, ce berceau de la géométrie, si elle voulait l'étudier.

Ce corps de science, plus complet que ce qui l'avait précédé, et supérieur par la méthode, a-t-il fait quelque sensation ou excité quelques travaux remarquables parmi les savants d'Alexandrie?

On dirait qu'il les a encouragés par sa supériorité même, car les mathématiques eurent la vogue dans Alexandrie , comme on le voit par les études du roi Ptolémée, qui voulut avoir des leçons d'Euclide. Mais cette vogue fut un peu stérile. Euclide a pu exercer une influence considérable; il était d'une grande activité, il a vécu longtemps et formé plusieurs élèves^ mais la génération qui lui a succédé est demeurée obscure.

A la rédaction des Éléments et des Données^ il joignit quatre livres sur les Sections coniques, et deux livres sur les Lieux à la surface, c'est-à-dire sur les courbes à double courbures, livres perdus pour nous, mais que l'École d'Alexandrie possédait encore au IV siècle de notre ère (2). Etaient-ils à tel point en avant de l'enseignement reçu, quand ils parurent, qu'ils furent au-desBoa de la portée commune? Est-ce à cette supériorité ou

(1) Plato, De îegilms, Ub. VU, in /Vne. (i) On le voit dans la Collection dfi Pap|)us.

^quelque aufte cause qu'il faut attribuer l'absence de progrès dans ces études? Je l'ignore. Mais il se passa un long temps ^ sans qu'il y fût rien ajouté.

Les successeurs immédiats d'Euclide se bornèrent , an con- » traire , à enseigner ce qu'avait montré le maître. Ses plus anciens disciples ne firent pas autre chose; et l'histoire les remar^ que à peine.

Archimède, qu'on pourrait considérer comme un Alexandrin (i), qui visita ses savants amis dans Alexandrie, ou fut visité par eux à Syracuse, et qui entendit notamment Conon , leur arracha aussi facilement le sceptre de la géométrie que celui de l'arithmétique. En effet, de son temps aucun enseignement ni aucun écrit du Musée ne balança le mérite de ses travaux sur la sphère et le cylindre , sur la mesure du cercle , sur ^les comides et les sphéroïdes y sur les hélices^ sur l'équilibre des plans, et sur la quadrature de la parabole, travaux qui renferment à la fois le germe du calcul des limites et les plus anciennes recherches sur les équations indéterminées (2). * , Dans le premier de ces traités, celui de la sphère et du cy-

* ^ linàrcy Archimède mesure ces deux corps quant à leur surface et quant à leur solidité, soit entiers, soit coupés par deux plans ^ 'perpendiculaires u leur axe commun.

! * . ^^ C'est là qu'il donne cette belle théorie, que la sphère est les ^ deux tiers, soit en surface soit en solidité, du cylindre circon- ^ % ^it, la surface des bases comprise dans celle du cylindre. J^ ..j ' >'*^t'est là aussi qu'il démontre , pour la surface courbe du cy- /\^!^ iuidre, que celle de chaque segment cylindrique compris entre "^^ -dis plans perpendiculaires à l'axe est égale à celle du segment ^ ' j^ « ||lfa^ique qui lui répond.

''t^ > p^i tait que ces découvertes flattèrent l'auteur lui-même au

^ !'; . pohit qu'il fit graver sur sa tombe une sphère et un cylindre,

^ " (I) iibrî, MffC. 4ês sciêHcM matMm. «n Italie^ 1, 101.

It) VÀrchêmêiê de Veyntà, fMb- XV. Cf. - Ubri, I, U6.

MDainent qae Gicéron se vante d'avoir retrouvé en Sicile après deux siècles d'oubli (1).

Bans le traité de la mesure du cercle , qui fut une sorte de ■Me da premier, l'auteur démontra que tout cercle et tout ^Mfear circulaire est égal à un triangle dont la base est la circonférence ou l'arc du secteur, et la hauteur, le rayon. Il y déknniiia aussi les limites du rapport entre la circonférence et le nyon d'une manière approximative qu'Apollonius et d'autres géomètres poussèrent plus loin encore.

Jinqii&-Ià Archimède traitait de corps réguliers , de corps dont les théories se trouvaient plus ou moins connues. Dans #aatres écrits, celui desconoïdes et des .sphérrndes ou des oorps formés *par la révolution des sections coniques autour de leor axe> Archimède s'ouvrit des voies nouvelles. Il y examina les rapports de ces corps, les compara,, soit entiers, soit coupés pir segments, avec les cylindres ou les cônes de même base et de même hauteur, et démontra, le premier, que le conoîde parabolique est égal à une fois et demie le cône de même base et même sommet, ou la moitié du cylindre de même base et de même hauteur.

Pois Archimède exposa la belle découverte de la quadrature

de laparabolCy dans le traité de ce nom : il y était arrivé par

deux procédés ingénieux, l'un mécanique, l'autre géométrique.

Dans le traité des hélices, il analysa la théorie des propriétés

delaspirale courbe, inventée par son ami Gonon d'Alexandrie,

mathématicien qui ne sut pas tirer parti de cette invention ,

mais quta le mérite d'avoir mis Archimède sur la voie des plus

grands progrès. Le savant Syracusain détermina les propriétés

de cette courbe, le rapport de son aire avec celle du cercle qui

la renferme, et la position de ses tangentes , théories dont la

démonstration demande une attention profonde , dont la dé-

coaverte atteste un génie éminent , et que nous sommes heu-

(i) Gioero, Tuteulan. quœttUm.y (ib. V, c. S3.

reux da catUduer à notre école par le aom de 9on véritable j auteur, Codod. *,,

Par tou» ces travaux 6i supérieurs à ceux de ses amis d'Ar > lexandrte, et par cette méthode à laquelle un pbilosopherdftj Taotiquité^ trop peu familier avec la science, rend un hnmmagtfl très emphatique (1), Archimède enleva aux AlexanilriQareiii^ pire de la géométrie comme celui de l'arithmétique que ImtÎ avait donné Eudide.

Cependant cet empire fut personnel. Arehimède ne fondi.j pas dans Syracuse d'école rivale de celle d'Alexandrie, «Imcim ; de ses successeurs ne maintint la Sicile à la hauteur où Tavrit' élevée son génie.. Un enseignefl)^nt tel qu'il s'en faisait on m' Musée ne convenait peut-être ni aux goûts, ni'ao rang d'AifW^ chimède. Néanmoins, il paraît avoir rattaché à ses travMK quelques hommes avides de science ou occupés d'arts. En eflM, il adressa ses traités au roi Hiéron, et y intéressa la cour. De plus , il fit de ses découvertes de brillantes applications aux moyens de défense des places fortes, et à certaines branches d'industrie ; il y associa donc nécessairement un assez grand nombre de personnes.

Quoi qu'il en soit, Archimède ne s'étant placé à la tète d'aucune école, ni dans Syracuse, ni ailleurs, l'École d'Alexandrie ressaisit immédiatement après lui le sceptre de la science, qu'elle ne lui avait pas abandonné sans combat. Nous venons de le dire , c'était un Alexandrin, Conon, qui lui avait fourni le point de départ de ses découvertes sur les Hélices.

Ce savant , dont Archimède exagérait le mérite , eut an moins celui d'entretenir le goût des sciences dans Alexandrie, conjointement avec les disciples d'Ëuclide , et surtout avec Eratosthène. Conon s'appliquait moins à la géométrie qu'à l'astronomie, mais Eratosthène > qui embrassait dans aes travaux, comme Euclide, l'ensemble des mathématiques, en y joignant,

(1) Pluurch. ilfaretfl/ti«, c. U, 1».

Platon et Aristote , la philosophie et la philologie , et fK cette immodératioD empêcha de bien approfondir la géo- ■ètrie, rivalisa avec Archimède dans Fétude de cette science ébfée. Aussi l'antiquité associait-elle son nom à ceux d'A- ^Élote, d'Eaclide et d'Apollonius de Perge , et si peu connus pe nous soient ses écrits , il eât certain qu'il cultiva l'analyse (iométriqae , puisqu'il en traita dans deux livres dont parle l»ppiis(l). ^ ,

n donna aussi une solution nouvelle de l'ancien problème de Il duplication du cube.

On a prétendu, de plus, qu'il écrivit sur les sections coniques ■I traité qui aurait éclipsé celui d'Ëuclide (2) , en attendant fi^il eût été, à son tour, éclipsé par celui d'Apollonius de Perge; Mbce n*est là qu'une de ces assertions qu'on trouve trop proipiées dans les ouvrages d'histoire littéraire.

Apollonius de Perge marque, au contraire, sans aucune contestation, une ère nouvelle dans les études mathématiques de nScole d'Alexandrie.

(I) Praef. ad. lib. VIL

it) Prodas, Comment, in Euclid., lib. II, p. 13 et 31.