ARITHMÉTIQUE

; Celle des études mathématiques dont il est le plus difficile de déterminer l'état précis avant Euclide, après tant de livres perdus, l'arithmétique, serait parfaitement connue, en ce qui concerne les Grecs, si l'ouvrage où Théophraste en faisait l'histoire, à l'époque même où s'ouvrait l'école d'Alexandrie, se fût conservé. Cet ouvrage était court; il ne formait qu'un seul livre (1), et ce que les anciens appelaient un livre avait peu d'étendue ; nous y trouverions cependant des indications sur l'origine de cette science et sur ses progrès parmi les Grecs, jusqu'au temps d'Aristote. Ce guide perdu, on est réduit à de simples inductions pour la question de l'origine et des progrès de l'arithmétique.

Suivant Strabon, les Phéniciens avaient enseigné l'arithmétique les premiers (2). Suivant les Egyptiens, dont les prétentions sont rapportées par Diogène de Laërte, c'étaient eux qui avaient créé ensemble la géométrie, l'astrologie et l'arithmé-

(1) Àpi8/uwrtxwv ï-rropiwv. Diog. Laërt. in vitâ Theophrasti, Lib. V, 6, 3, n.13.

(2) Strabon (Geogr. lib. XVII, c. 1) dit qu'ils inventèrent la Logistique et Y Arithmétique pour les besoins de leur commerce.

tique : Thot, le fondateur des sciences et des arts, les leur avait donnés tous ensemble (1).

Il est impossible de trancher cette question d'antériorité par des faits, et il serait hasardeux de la résoudre par des inductions. Il est toutefois certain que les Phéniciens ont eu besoin du calcul pour leur commerce, et que les Egyptiens ont dû cultiver cette science de bonne heure dans l'intérêt de leur géométrie. On doit donc admettre que ces deux peuples connurent l'arithmétique très-anciennement.

On doit affirmer la même chose des Babyloniens, dont les observations astronomiques, sans être aussi anciennes qu'ils le prétendaient, étaient antérieures au VII e siècle avant notre ère, et demandaient nécessairement la connaissance du calcul.

C'était donc indistinctement chez les Phéniciens, les Babyloniens ou les Egyptiens, que le fondateur de l'Ecole d'Ionie avait pu recueillir des notions de cette science, si, dans le siècle de Thaïes, l'Ionie avait eu besoin de faire cet emprunt. Mais ce besoin n'a pas dû exister, et tout ce qu'on peut admettre, c'est que l'Egypte ou la Babylonie a possédé, au temps des voyages de Thaïes, des pratiques plus avancées que celles du monde grec. Rien ne nous autorise donc, à proclamer les emprunts de Thaïes comme un fait, et l'on ne doit pas supposer qu'à l'époque de ce mathématicien, des pays aussi riches et aussi commerçants que la Grèce et l'Ionie, cette terre d'une civilisation si remarquable, n'aient pas possédé l'art du calcul. Cet art est aussi ancien que l'état social, qui en fait une nécessité. Or, certes la Grèce n'en était pas alors au début, et il est évident que ce ne fut pas Thaïes, quelque progrès qu'il fît faire aux études par d'heureuses conquêtes sur l'Egypte ou l'Asie, qui le premier enseigna aux Grecs les éléments de l'arithmétique. Ce philosophe a pu perfectionner ce qui était, mais s'il avait inventé un art si précieux, sans doute ses contemporains n'eussent pas manqué de lui en faire hommage.

(1, Diog. Laërl. in Proè'mio. n. 7.

L'arithmétique était donc, en Grèce, plus ancienne que Thaïes; mais on ignore quelles connaissances elle possédait avant ses travaux. On ignore celles qu'eut Thaïes lui-même, mais on sait qu'un siècle après lui, Pythagore, qui avait reçu sa première instruction en Ionie, et qui avait voyagé en Egypte comme Thaïes, s'était beaucoup occupé de la science des nombres. On croit qu'il avait rédigé la table de multiplication qui porte son nom, et fait un tableau ou un appareil qui est devenu célèbre sous le titre d'Abacus (1). Nicomaque dé Gérase et Boëce, qui savaient l'histoire de l'arithmétique chez les Grecs, n'attribuent à Pythagore, il est vrai, ni l'un ni l'autre de ces tableaux, mais ces auteurs ont vécu plusieurs siècles après l'ère chrétienne, et il parait que la tradition commune sur ce fait n'est pas dénuée de fondements.

On dit aussi qu'à côté des caractères de l'alphabet employés jusque-là pour désigner les nombres, Pythagore avait inventé des signes particuliers pour exprimer les nombres composés, et que ces signes étaient les fameux apices que mentionne Boëce. Mais la preuve de cette assertion ne se trouve nulle part, et la forme primitive des apices nous est in* connue, car il est évident que celle qu'on voit aujourd'hui dans les manuscrits de cet écrivain, ressemblent beaucoup trop aux chiffres arabes pour n'être pas suspects (2).

(1) Voyez sur VAbacus de Pythagore, Mannert, de numerorum quoi irabicos vocant verâ origine.

(2) Ces signes se trouvent dans un manuscrit de la bibliothèque royal* (ancien fonds latin, n° 7,193, f> 2), d'après lequel ils sont donnés par M. Nat. de Wailly, Traité de paléographie. Ils se trouvent aussi dans deux autres manuscrits dont l'un est à la bibliothèque de Chartres, l'autre au British Muséum, et d'après lesquels ces caractères ont été reproduits par M. Vincent, qui pense que les manuscrits de Boëce, où les chiffres portent des noms grecs tels que Igin, Andras et Ormis ( yw>} , àvtjp , et et bpp.)i) t ou hébreux, tels que Arbas et Guimas, etc. (V21N et ttJçn) sont écrits par des Juifs ou des chrétiens. —Voyez sa Note sur V origine de nos chiffres et sur VAbacus des Pythagoriciens. — Voir aussi V Aperçu historique sur les méthodes de géométrie, par M. Chasles, et Y Histoire des mathématiques en Italie, par M. Libri't. I. p 28, 20t.

Les chiffres arabes, chacun le sait, sont originaires de l'Inde et n'ont été communiqués, par cette région, au peuple dont ils portent le nom parmi nous, que postérieurement à l'ère chrétienne.

Pythagore n'aurait donc pu les connaître qu'autant qu'il aurait été les chercher dans leur patrie. Mais d'abord, ce fait n'est pas probable ; ensuite, il est certain qu'une fois connus dans la Grande-Grèce, ces chiffres n'auraient plus disparu du monde grec. Mais l'hypothèse, que Pythagore ou ses disciples employèrent, pour certains nombres composés, des signes spéciaux et différents de ceux que des copistes familiers avec les chiffres arabes, ont mis dans les manuscrits de Boëce, n'en est pas moins admissible. Les Romains employaient des signes analogues, et comme on doit douter qu'ils en fussent les inventeurs, ont peut supposer qu'ils les avaient empruntés moins à l'Etrurie qu'à la Grande-Grèce, puisque à peine quelques trente lieues les séparaient de l'Ecole de Crotone, à l'époque de sa plus grande prospérité.

Quoi qu'il en soit de l'origine de ces signes et de leur propagation en Grèce, deux faits importants pour l'histoire de l'arithmétique demeurent certains. Le premier, c'est que Pythagore et son école s'occupèrent de la science des nombres plus qu'aucune autre école grecque, et que le mot et l'idée de nombre dominaient leur système, qui reposait sur les combinaisons numériques les plus variées (1), au point qu'un historien moderne a pu dire avec quelque raison, que l'arithmétique des pythagoriciens était transformée en un système de signes hiéroglyphiques, par lequel ils prétendaient avoir représenté l'essence des choses (2). Le second fait est que, si les pythagoriciens employèrent des signes spéciaux dans leur arithmétique, les Grecs n'en continuèrent pas moins, même après Pythagore, à se servir des lettres de leur alphabet pour dési-

(1) Meursius, Denarius Pythagoricus.

\& Meiners, Histoire des sciences en Grèce, t.-I, p. 209, trad. de Laveaux.

goer les nombres. Or, il est certain que ce système ne se serait pas main tenu, si Pythagore avait inventé des signes-chiffres (1).

Il n'en est pas moins vrai que, par l'application de l'arithmétique à la musique (2) et par ses spéculations sur les nombres, l'école de Pythagore avait singulièrement élevé la science du calcul dans l'opinion des philosophes et des mathématiciens. Sans doute, ces spéculations offraient plus de subtilité mystique que de valeur réelle ; mais elles fixaient sur cette étude une attention féconde en découvertes.

Archytas et Philolaûs avaient poursuivi ces travaux.

Platon, qui s'est plu à jeter un problème d'arithmétique mystique jusque dans son Traité de la république, cultivait la science des nombres comme ces deux savants (3); et il est évident que la géométrie et l'astronomie n'auraient pu être enseignées à l'Académie comme elles le furent, si de» progrès notables n'avaient eu lieu en arithmétique depuis Pythagore.

Le grand disciple de Platon, Aristote, apporta une modification essentielle à la notation des nombres, en appliquant les lettres de l'alphabet aux quantités indéterminées [h). La circonstance, qu'un de ses élèves écrivit une histoire de l'arithmétique, indique à son tour un certain mouvement dans cette science. Mais il est impossible d'en préciser la portée, et quand on considère les entraves qu'y mettait le système défectueux

■ V Voir Weidler (Diss. de characteribus numerorum vulgaribui, Wittemb., 1770.in-4°), qui attribue à Pythagore l'invention de nos chiffres); Wjllis [Eléments cCarithmét., 1742) qui la lui conteste, et Mannert [De numerorum quos arabicos vocant verâ origine pythagoricâ. Nuremb. 1801, in-8°.) qui s'efforce en vain de la lui revendiquer.

2 Fabricii bipl. grœc. Arcby tas. — J. Meursius , Denarius Py tbagoricus. - P. Bungo, de myster. numeror. — Kircher, Arithmologia. — Weigel, Tetrœtys.

(3) Plato, de Republicâ, Lib. VIII, p. 189, edit. Bipont. cf. Aristot. polit. V, 12. — Cic. Epist. adAttic. VII, 13.

4; Aristote exprime la force, la masse, l'espace et le temps, par les lettres a, j3, y, £. etc. — opp. t. I, p. 575, 660. Cf. Natur. Auscult., Ub. VU, c 6; VII, 1»

— aide la notation grecque on doit admettre qu'ils furent peu considérables. L'on y voit percer, il est vrai, l'idée si féconde du système décimal, système qui avait pu nattre aisément del'observation du nombre décimal donné par celui des mains et des pieds de l'homme (1). On n'est donc pas étonné d'en trouver des traces. Mais, dans tous les cas, ce système ne domina pas chez les Grecs, et ce qu'en renfermait leur arithmétique quand s'ouvrit l'Ecole d'Alexandrie, n'était peut-être qu'une innovation sur le système pentenaire qu'on rencontre chez eux dans des temps plus anciens et qu'on retrouve chez les Romains, par la raison, sans doute, qu'après l'avoir reçu ils étaient demeurés étrangers à l'innovation décimale survenue dans un temps où leurs rapports avec la Grèce étaient moins intimes.

D'un autre côté, il est vrai de dire que cette innovation, qui s'entrevoit dans la notation générale, ne prévalut pas, et qu'il s'effaça dans les applications usuelles. Sauf quelques-unes de ces doctrines de pneumatologie ou de mysticisme où figurent des décades célestes, le nombre dix ne fut ni plus commun ni plus sacré qu'un autre, tandisque le quaternaire et ses multiples, — Yogdoade, figure dans la théogonie de l'Egypte et dans celle du gnosticisme (2), — et le nombre sept [qui figure aussi dans la cosmogonie de Moïse et ailleurs (3)] jouent un rôle prépondérant.

Si donô il y avait chez les Grecs, au moment où commencèrent les travaux des Alexandrins, de riches théories sur les nombres, elles étaient plus spéculatives que pratiques, et tenaient plus au mysticisme qu'à la science ; en un mot, il y avait quelques pas de faits, mais l'arithmétique était peu avancée chez la race hellénique.

(\) Libri, I, 99, 193, 195, 201 ; II, 34, 293.

(2} Matter , Histoire critique du gnosticisme, t. Il, p. 55 , second* édition.

(3) Libri I, 99, 19.1; 195, 301 ; II, 34, 392.

Quant à l'arithmétique des Egyptiens et à celle des Babyloniens, qui étaient tontes deux accessibles à Euclide, s'il les demandait , le fait est que les pratiques géométriques et astronomiques de ces peuples constatent des progrès remarquables dans la science du calcul.

Mais la preuve qu'ils ne possédaient pas de bon système de notation, est dans cette circonstance que les Grecs n'en trouvèrent pas à leur en emprunter, lorsqu'ils eurent établi avec eux des rapports plus intimes.

Où en était la géométrie?