Roue de Vénus : 32 dents

M. Roue de Mercure : t* dents.

■N. Axe immobile qui porte le soleil h l'une de ses extrémités de l’autre cdté de la platine.

O. Petit axe de Mercure, tenant d’un cOté à Taxe du soleil , de l'autre au pilier l’ fixé sur le cercle immobile de la terre K. Cet axe a deux pignons, dont l'un de 7 dents fait tourner la roue de Mercure,

et l’autre Q de 1 2 dents : il est assez élevé sur le plan de cette figure pour que les roues de Vénus et de Mercure puissent se mouvoir sous lui.

S. Ouverture sous laquelle passe le cercle qui montre les heures.

TTT. Désignent les piliers tpii unissent ensemhie les platines entre lesquelles est contenue toute cette mécanique.

a b. .Anneau-plan qui fait mouvoir la planète. ctl. Randc circulaire dentée.

e e. Ponts (jui assujettissent l’anneau dans sa eirconférence.

/ m. Petit bras <|ui porte la planète.

Chatiite planète :t im anneau-plan destiné ii son orbite, au bord dutjuel est attachée «à angles droits une bande circtdaire dentée, également distante partout delà circonférence do l’anneau. Cet anneau, applicpié intérieurement sur la platine octogone, jxirte :ivec lui le demi-globe (|ui représente la planète, leipiel y est fixé par une petite broche <|ui [lasse à travers la platine intérieure et le rend un [mhi .saillant sur sa surface. Dans la cii'conférence <le cet anneau sont placés et attachés à la platine (luehjues ponts (Huyghens emploie le mot repagula, (ju’on ne peut [las ti’aduire littéralement en français), entre lesipiels ils.se ineuvent circidairernent et sont contenus de manière à ne pouvoir s’écarter tle ladite platine. On en a mis cinq ou six [lour les planistes supérieures, Saturne et Jupiter, à cause de la grandeur de leui’S anneaux; trois ou (juatre suffi- •sent pour les autres.

Dans la figure, ranneau-[)lan est a 6, la bande circulaire dentée et élevée perpendi - (adairement sur l’anneau est cd, les [kuiIs qui contiennent l’anneau dans son pourtour ec. Chacun de ces ajustements consiste en deux parties : l’inlérieure, le long de laquelle glisse le bord extérieur de l’anneau, est fixiie sur la platine du planétaire; la su|)érieure, qui est posée sur celle-ci et tenue avec des vis, s’avance un peu sur les iKH’ds de l’anneau |)our reni|H*cher de se déplacer, comme on le voit dans la figure.

Toutes les planètes sont portées par des anneaux de cette espèce et pjircourent des orbites circulaires. Si l’on eût voulu des orbites elliptiques, on y fût parAenu sans [>eine on attachant la planète , non sur son anneau ah, mais .sur le bras / m qui y est atütché, (jui se meut sur le |»etit axe M et [Kirte la planète ajustée sur un [wtit canon en L. 11 faut

praliqiier en cet endroit de l’unnenu une ouverture un peu grande ; par là on fera mouvoir facilement la planète dans une niinure ellipticpie. Mais, comme les ellipses sont |)eu dilTérentes des cercles, nous n’avons pas cru devoir les employer. Nous nous sommes servi de ce moyen pour faire glisser plus facilement Saturue et Jupiter dans les rainures étroites de la platine. Le cercle (|ui {wrte les divisions des jours est entièrement semblable h ceux de ces planètes. Celui des anm^ est le seul dont ranne.:ni soit denté h sa circonférence : nous avons déjà dit comment le mouvement lui <‘Uiit communiqué. On a placé les anneaux des jours et des années entre ceux qui conduisent les anneaux de Saturne et de Jupiter. C'est pour cela qu'on a pratiqué dans la platine antérieure les ouvertures par lesijuelles on voit ces divisions entre les orbites des planètes.

.Nous allons montrer comment on a ordonné le mouvement menstruel de la lune. Dans le segment de la platine planéLtire ipii est entre les orbites de Mars et de la terre, on a fixé un anneau dont la circonférence inüirieure a 137 dents; il est désigné p;ir bïs lettres A B. Cette circonférence dentée est un peu plus gi’ande que l’orbite annuelle de la terre, et l’anneau A B s’élève un peu au-dessus du plan sur lequel il est fixé, pour placer des.sous les|K>nts entre le.squels se meut l'anneau qui porte la terre, (kisigné j«r les kutres C D. Or, comnu; cet anneau entraîne un jHîlit axe placé à angles droits, et [K)rte à stîs extrémités deux |M?tites roues EF, dont l’inférieure a douze dents engreinies dans les dents de l’anneau \ B, et la sujxirieure 13, les dents de la roue supérieure engrènent dans les douze dents de la roue G placrée à côté*, qui a aussi un axe fixé à l'anneau C 1). Cet axe a une cavité qui s’ouvre vci’s la partie antérieure de la platiii(.‘ et dans bupielle .s’adapte une broche fine (jui porte un petit glolx* lunaire. (Au lieu de percer l’axe, il serait plus simple de prolonger le pivot au- de.ssus de la platine, et d’y adapter le globe de la terre T (U l’orbite de la lune L, comme le repn'sente le profil de cette figure.) .\u reste, nous n’avons pas cru devoir repré.senler ni le |K)nl alUicbé à l'anneau CD, et dans lequel entrent et sont retenus par le haut les deux petits axes dont nous avons parlé, ni le cercle denté, |)Oui’ <jue rien n’emj)échàt de voir les deux roues E F.

L’anneau terrestre CD fai.s.ant donc su révolution dans l’ordre des lettres AEB, la<inelle, dans la face antérieure, se fait selon l’onln* des .signes du zodiaque, les roues E et F sont k)rcées de tourner dans un .s<;ns contraire, et la roue G de suivre un mouvement op|)o.sé à celles-ci, c’est-à-dire de tourner dans le -sens de l’anneau tenrstre. Mais mais avons dit que dans la cavité île l’axe de la petite roue G était une brtx-be portant une pi.aite orbite ayant la lune à sa circonfé‘rence et la terre à son centre : le coui-s de la lune est donc bien ordonné. Nous verrons plus bas avec quelle justes.se il s’accorde avec la révolution du mois |>ériodique.

. Après avoir ik'crit jusqu’ici toutes les parties de la machine en particulier, nous allons exposer les proj»ortions des demi -diamètres entre eux, les centres d’après les- (juels nous avons tracé kîs orbites des planiîtes sur la face antérieui’e, les points des a[)hélies et des nœuds; ensuite le nombre de dents que nous avons donné à chaque

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roue pour repnisenter les mouvements moyens, manière dont nous avons trouvé ces nombres; enfin, la construction des dents propres à repré.scnter les anomalies des mouvements.

-Nous avons donné à la platine octogone une gr.mdetir telle, <pie la perpendiculaire mcu(‘c du centre sur le côté ait 1 1 pouces ;du même côté où doit être placé le soleil , et avec un rayon de 10 pouc<« mettant le bélier à la droite du siKX'tateur et à la même hauteur que le centre. Ce centre, de quel»iue côté de chaque orbite planétaire qu’on le prenne, montre les lieux des aphélies. Par le rapport des demi-diami‘tres, on en connaît la mesure si on en a déterminé une, qui est le demi-<liamètre de l’orbite de la terre, que nous avons fixé à 1 pouce. Il est censé contenir 100,000 parties, et sert de mesure aux rayons des autres orbites. On a marqué aussi les excentricités en ces mêmes jKuties, qu’il faut prendre du centre de l’éclipticpie où est le soleil, vers les aphélies , et y noter les centres de chaque orbite.

Ainsi, par exemple, pour tracer l’orbite de Saturne au commencement de l’an 1082, nous menons du t entre de l’écliptitpie une ligne de 27° -iO’ du Sagittaire; nous y plaçons du même centre 5i des parties dont le demi -diamètre de la terre, ou 1 pouce, en contient 100; car ici nous ne saurions pous.s(,T la précision plus loin. Nous trouvons par là le centre de l’orbite de Saturne. Prenant ensuite sur le demi -diamètre 951 des mêmes parties, nous traçons l’orbite de la planète. .Nous manpions .son aphélie de la lettre A au [H)int d’intersection de la ligne (pie nous avons tirée du centre. .Mais, comme toutes hîs orbites des jilanètes dans le ciel ne sont pas dans le plan de* l’cicliptique ou de l’orbite delà terre, et qu’elles s’élèvent sur ce plan dans une de leurs moitiés et s’abai-ssent dans l’autre, il est clair (pi’elles ne sont jias elhsî-mêmes les orbites des planètes (pie nous avons di‘crit(îs, mais des lignes de ce genre sur lesqucdles toinl)ent les iierpendiculaires menées sur le plan de l’écliptirpiede tous les points de ces orbiUîs, et que nous ne lai.s.sons pas de prendre pour les orbites mêmes, parce ipie c’est .selon que l’on examine le mouvement de la planète en longitude : elles sont, en effet, d(s> orbites réduites au plan de l’écliptiipie. Ainsi, les deux points où clnupie orbite coupe le plan de l’écliptique, «pii s’appellent les nœuds , ont été marqués par leurs signes Q , dont le pi’emier marque le nœud ascendant d’où la planiste .se porte vera les jiarties boriiales de réclipti(pie, qu’on .supjiose exister sur la platine; l’autri;, le nœud (U*scendant (hupiel la planète passe vers les parties austrahîs. Ils se trouvent, suivant les astronomes, aux points oppo.s(*s de la ligne (pii passe i»ar le centre du .soleil , (pioique cela ne soit pas exa( tement vrai, comme on le démontrera en son Tum.

Pour faire connaître les latitiuhîs apparentes des planètes .sur la ligne droite qui joint les nœuds, nous avons tracé de chaipie côté des arcs de cercle, l’un hors de la partie btiréale de l’orbite, l’autre en dedans de la partie australe, aussi distanis de ces parties, dans leur plus grand éloignement, que l’orbite nu'mie doit l’être dans ces lieux, au-de.ssus ou au-d(».sous du plan de l’écliptiipie. Nous avons aussi manpié les angles de dcTHnaisoii. Dans quelque [X)int de son orbite réduite que se trouve la planète, si de ce

point à l’arc voisin on prend une très- petite distiince, elle in(li(|uera au plus prés nmervalle dont la vraie orbite de la plani'te s’(‘loi''neni dans cet endroit du pian de l’('*clipti(pio. En comparant cet i?itervalle avec la distance de la planète à la terre, on trouvera facilement par la trigonométrie son angle de latitude

Voici maintenant la manière dont nous avons trouvé le nombre des dents des roues. .Nous :f\ons comparé le mouvement moyen annuel de chaque |)laii(>te dans rén-liptique, ou re.s|)iu-e de 305 jtturs, au mouvement moyen annuel de la terre, tels qu’on les trouve dans les uddes astronomi(]iu\s , en l•éduis;lnt en tierces les arcs entiers de leurs inotivements. Les nombres trouvés par ce moyen éuuit entre eux comme les arcs des cercles parcourus en même temps pai- la planète et par la terre dans leurs orbites, il s’ensuit (jue les U‘m{)s jM‘riodi(|ues de l’une et de l’autre sont en rai.son contraire. Telle doit être aussi la proportion des nombres des dents, ou une autre pro[H)rtion semblable exprimée en plus petits nombres, que doit avoir .soit la roue de la planète , soit toute autre <)ui s’engrène avec elle et est fixée sur le grand axe. (diaqne révolution de cet axe lait parcourir à la terre son orbite entière, puistpie nous avons donné un nombre égal de dents à la roue (pii jiorte la terre et à celle ejui lui correspond sur le grand a.xe, celui de GO, par exemple, ou tout autre, à volonté, qui [misse convenir aux roues.

Tout se ré<luit donc, deux grands nombres ayant entre eux une certaine projmrtion donnée, à trouver d’autres nombres moindixîs <pii ne chargent [»as trop les roues [)ar la multitude des dents, et qui aient si bien entre eux la numte proportion, qu’aucun autre nombre n’en ap[)rocbe de plus près. Mais un exemple éclaircii’a mieux tout ceci : .soit à trouver les dents de la roue de Saturne et de celle du grand axe qui lui communique le mouvement. Cette roue est indiipiw [dus haut par la lettre K. Le mouvement annuel de Saturne (nous suivons ici les Uibles de Riccioli) est de 12” 13’ 34” 18’”. Le mouvement annuel de la terre, (ju’il a[>|)elle mouvement du .soleil d’a[)r(ïs le sy.st<*me de PUdc'imie, est de 35‘J“ 43’ 40” 31 ’” : en réduisant tout <mi tierces, on a la pro[iortion 2,040,858 à 77,708,431. I.e dernier de ces nombres est au premieicomme le temps périodi([ue de Saturne est au teiiqis de la révolution de la terre autour du soleil ; [>ar conséquent, le nombre des dents de la roue de Saturne doit être à celui des dents (b; .sa roue motrice dans la même proportion ou la plus rap[)r<H'b('e. Pour trouv(;r des nombres moindres qui ap[)roclient le [iliis de ce ra[»[)ort, je divise l«‘ [)lus grand [lar le plus petit, ensuite le moindre par le reste de la division, et celui-ci par le dernier reste ; et , en continuant ainsi , je trouve le ré.sulUit suivant de la première division :

i, CiC.

DE L HOllLOGERlE. 171

Savoir : le nombre avec une fnu'tion dont le numei’ateur est runité, et dont le dénominateur a encore avec lui une fraction dont le numérî»teur est l’imité, et le dénominateur se compose comme le précédent et par la même niison. Si on pousse la division jusqu’où elle {leut aller, le reste sera enlin l’unité. En supprimant quelqius-unes des dernières fractions, comme cidle de \ et celles qui la suivent, et en les réduisant toutes au même dénominateur, celui-ci aura avec le numérateur le rapport le plus rapproché de celui du plus [letil nombre donné au plus gnind ; de sorte (ju’on ne puisse pas en approcher de plus pr<;s avec de plus |>etits nombres. Le iikhIis de réduction est facil(‘; car les dernières fractions par lesipielles nous commençons ici , 1

1 , éipiiva-

lent ;i Passant ensuite à la précédente et continuant à réduire, 1

3 font Eiilim

prenant le nombre entier et réduisant, on a 2î> -j- qui font .\insi, la niison du nombre 7 à 206 est la plus rapproidiée de celle du nombre 3,0i0,8')8 à 77,708,i31 ; c’est pourquoi nous avons donné 206 ileiiis à la roue <le Saturne, et 7 à sa motrice. On ne j>eut trouver de moindres nombres ipii apiirocheiit plus de ce rapport. C’est ainsi qu’on le prouve : il e.st certain ipie les nombres que l’on trouve iwn etle réduction sont des nombres premiers entre eux, parce ipie iioti'e division continue n’est autre chose (pie cette soustraction d’Euclide (pii, étant appliipiée à nos nombres 7 et 206, trouvés par la réduction, fait qu’il ne reste enfin que l’imité, parce que le numéraleur de toutes ces fractions est l’iinité. S’il y avait deux autn^s nombres ipii approchassent plus de ce rapjKirt , il faudrait qu’en divi.sant continuellement le plus grand nombre par le moindre, Jusipi’à ce qu’il ne restât plus ipie l’imilé, le quotient fût 29 avec; les mêmes fractions ci-des.sus continuellement ajoutées et continuées au delà de la fraction par laquelle nous avons commencé la irduction lorsipie nous avons trouvé les nombrcîs 7 et 206; sans (juoi on ne peut |xis approcher de plus près le quotient de la première division, aiujuel sont jointes toutes lc*sdit(!s fractions, continuées aussi loin qu’elhcs lieuvent l’être.

.\itisi, puisque en continuant la divishm de 206 [lar 7 on trouve :

il lîludrait (jue, par une .semblable division des nombres plus approchants, on ajoutât au moins une fraction à toutes celles-là, ^ ou toute autre jiar laquelle on pût parvenir plus pri's du quotient univei'sel qu’en s’arrêtant à 7. En faisant la réduction, il est évident (pi’on aurait des nombres plus grands (jue si on eût commencé jxir la fraction préc(*dente, puisque par l’addition de chaijue fraction réduite il se fait une fraction

composée de nombres premiers entre eux, et qui ne peut, par conséquent, st* réduire h des nombres moindres : ce (|ui deviendra évident en faisant attention au théorème suivant, qui est très-facile h démontrer.

Supposons deux nombres premiers entre eux; Tun d’eux sera premier par nipport à lui -même ou à son multiple augmenté de l’autre d<; C(?s nombres; car s’il en est autrement, étant ainsi com[)osé, il ne laisserait pas d’étre la mesure de lui- même, mais il est la mesure d’une partie, c’est-à-dire de lui-méme ou de son multiple; donc il sera aussi la masure du reste : ce qui est absurde, les nombres éumt sup|K)sés première entre eux. Ainsi, les nombres plus rappivxdiants <le la proportion requise ne seront pas moindres, mais plus grands que 20ü et 7.

On comprend facilement •pi’il vaut mieux commencer la réduction des fractions |)ar celle qui est inimédiatement suivie de celle qui aura le plus grand dénominateur en comparaison de ses voisines, comme dans l’exemple pr«H’édent nous avons connnenc<' la rtkiuction par la fraction <jui [)r(icède innn«?diatement

L’avantage de cette méthode s’étend encore à beaucoiq) d’autres cas, lorsqu’il s’agit de nkluire une proportion quelconque expi'imée en nombres à une autre (jui eti approche de plus près, mais exprimée en plus petits nombres; comme lorsqu’on veut comp;uer le lapport de la circonférence au diamètre à d’autres ra|)ports connus, n' rapport est 31,il5,92<),a35 à 10,000,000,000. En faisant la division, on a :