I -ej

En commençant la réduction |ku* la fraction on a le rappf>rt «l’Archimède de 22 à 7; si on commence pr 7, on eu trouve un Iwaïu’oup plus rapproché : c’est celui d’Adrien Métius , de 353 à 113; car 113 est à 335 comme 10,000,000 est à 31,115,921), etc. Ou jxîui de la même manière trouver les rap|>orts les plus rappixK liés du vériud)le. Mais celui de Métius est le plus commode pour l’usage, tant à cause de la |x.*titess(; de ses nombres que de la fraction 77;, dès laquelle nous avons commencé la réduction. On tenterait en vain d’en trouver un semblable en cherchant d’autres nombres, Il faut obse'rver «pie par notre méthode on trouve alternativement un terme de proportion plus grand ou moindre selon «pi’ou ('onimence la réduction |>aria 1'% la 3*^, la 5* fraction impair, ou toute autre fraction impair en suivant la progression. Ainsi, comm(? nous avons commencé la réduction précédente {wr la fraction 7, «pii est la 3% le rapport de la circonférence au diamètre est comme 355 à 1 13; il est plus grand «pie le véritable. Si on eût commencé par la 2', qui est 7^, on eût trouvé 333 h lOfi, «pii est moindre que le véritable. De plus, si l’on commence par la 1", «pii est 7, on trouve le rapport d’Archimède, de 22 à 7, plus grand que le véritable. Nous ap|>elons rapport

véritable celui qui est exprimé par lt*s grands nombres qu’on a pris et que nous prenons pour le rapport même de la circonférence au diamètre. La démonstration d^ tout ce qui précède porte sur ce principe très-connu : qu’une fraction quelconque devient moindre si l’on augmente son dénominateur^ et devient plus grande si on le diminue.

Que le nombre ré>sultanl de la 1" division soit A; qu’on ajoute aux fractions descendantes BCDEF, et

au dénominateur de la dernière F une fi action qui comprendra la réduction de toutes les fractions ultérieures et que nous appellerons Z; comme la fiaction F est plus grande que la véritable, ayant un dénominateur moindre (pic le véritable, qui serait 1 -H Z , en augmenUint le dénominateur de la fraction E |>ar la fraction F, la fraction niduib* EF .sera moindre que la véritable. En augmentant encore le dénominateur de la fraction D, cette fraction réduite, celle qui ^■sultel•a de la réduction de>s fractions DEF sera plus grande que la v(‘ritable, (?t par cons(‘(|(ient en augmentant le dénominateur delà fraction C, celte dernière fraction, r(‘sullant de la r(*duclion des fractions CDEF, sera moindre que la vérinble.

Il faut savoir que, si l’on veut connaitre tous les termas les plus rapproclu-s de la proiKu tion donncH' , il faut faire la réduction de toutes les fractions du nombre impair, puis celle de toutes les fractions du nombre pair ; de telle sorte ipie, |H)ur le dénominateur de chaepK^ fraction (]ui sera plus grande «nie l’unité, on mette à (Kirt tous les dénominateurs depuis l'imilé ju.s(]u’h celui-là, et on commence et achève la réduction avec chacun d’eux. Si, dans l’exemple pro|)osé, on met j)Our la 1" fraction ; chacune de celle.s-ci 7, 7,

j, ç, on aura par la réduction des projxirtions plus grandes cpie les vérit;d>les : i à 1 , 7 à 2, 10 à 3, 13 à -i, 16 h 5 , 19 à 6, 22 à 7. En commençant |)ar la 3' fraction 1), on aura le rapport plus grand (pie le vrai 3‘>3 à 1 13; et en commem^ant par la 5‘ F, on trouvera le rapport trop grand 104,3'18 à 33,213. De plus, si à la place de la 2' fraction -77 on met (piinze fractions .s('par(>es, 7 , ; > î > ; > etc. , et à la place de la quatrii'rne 7^ toutes les fractions depuis l’unité jusipi’à 7^, on aura par les réductions des proportions toujoui-s inoindrt‘s que les véritables. Si l’on vent enfin connaitre la série continue mixte des termes, tant de ceux qui oflrent une proportion plus grande (pu; de ceux ipii en pi’oduisent une plus petite, chacun desipieLs approche le plus près de la véritable, il faut avoir soin de mettre à toutes les fractions dont le dénominateur est plus grand (pie l’unité , non , comme on vient de le faire , des dénominatcura moindres (pie l’unité, mais en commençant par celle (pii appixM he le plus de la moitié de son (hàioininaleur.

C’est le rapport que nous avions suivi pour les autres planètes. Nous avons donné à la rôtie de Jupiter 166 dents, et à sa motrice 14; à la roue de Mars 158 dents, et à sa motrice 84; à la roue de Vénus 32 dents, et à sa motrice 52; lesquels nombres sont entre eux à peu près comme 70 à 43. Si nous eussions pris ces derniers et donné à la roue de Vénus 43 dents, et à sa motrice 70, la machine eût un peu plus exactement représenté le mouvement de Vtinus; car les premiers nombres que nous avons employés font que Vénus, après vingt ans, retarde de 3® 37’, tandis que les derniers, dans le môme espace de vingt ans, la font avancer de 15 minutes.

On trouve à peu près par le môme calcul les dents des petites roues qui font mouvoir Mercure ; car, ayant pris la période du mouvement de la terre de 365^ 5 ** 45 ’ 1 5 ” 46 ’”, celle de Mercure de 87*23^ 14’ 24”, ou, pour plus de facilité, celle de la terre .365* 5‘ 50’, celle de Mercure 87*23^ 15’, on trouvera la proportion des révolutions de Mercure à celles de la terre comme 105,190 ou 21,038 à 5,067, après avoir divisé de la manière que nous avons indiquée :