CHAPITRE IV

ARTICLE PREMIER

DES ENGHENAGES.

a mécanique n’exisie que par les engrenages. C’est par le moyen de roues s’engrenant les unes dans les autres et fonctionnant à l’aide d’un moteur que les Égyptiens du temps des Ptolémées, et plus tard les Grecs, opérèrent lies prodiges en mécanique. Ces engrenages furent aussi en usage à Rome avant et après Jésus- Christ; on s’en servait en Orient avant les règnes des Abassides, et, dans les Gaules , sous les premiers rois de la monarchie. A ces différentes époques, les roues et les pignons étaient grossièrement laits ; car les outils avec lescjuels on les divise aujourd’hui n’existaient pas alors : conséquemment tes dents de ces roues et pignons devaient être inégales et former de mauvais engrenages.

Ce ne fut qu’au commencement du dix-huiUème siècle, après que des artistes recommandables eurent perfectionné l’outil à fendre les roues, que les dentures de ces roues acquirent toute la perfection désirable; et c’est alors seulement que l’on pût foire de bons engrenages.

Sous le nom de bon engrenage, on entend celui qui est tel ; l** que la force employée |)ar la roue à conduire le pignon soit la plus petite possible ; 2® que la vitesse avec laquelle la roue conduit le pignon soit aussi à chaque instant la plus grande que la roue est capable de lui donner; 3® que cette force et cette vitesse soient constamment les mêmes depuis le |X)int de rencontre ou de contact, jusqu’au moment où la dent de la roue abandonne l’aile du pignon , ei vice versd; 4® que le frottement de cette dent pendant toute la conduite soit aussi le mo udre possible.

Les horlogers savent généralement que la courbe que doivent affecter les dents des roues et des pignons sc nomme épicydoïde; mais très-peu savent ce que c’est que cette

• HISTOIRK DE L’HORLOGERIE. m

courbe, et surtout la manière de la tracer. Sous le rapport de la main-d'œuvre, cette connaissance n’est pas Irès-imporianlc; car les roues des montres et des {>endules, et les ailes de leurs pignons, ont das dents trop p<itites pour que l’on puisse donner à ces dentures une forme rigoureusement épicycldidale. Cependant cette courbe, tracée sur une grande érhelle , donnei*a aux horlogers l’idée de la forme que doivent avoir ces dents, quelque petites qu’elles soient, et, s’ils ne l’atteignent pas parfaitement, ils pourront plus facilement en approcher.

R Tl CLE IL

UÊMO.NSTRATIONS DES ENGRENAGES.

Les figures 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, 10, Il représentent les démonstrations relatives à la forme des dentures des roues et des pignons; en voici les principaux détails :

(Fig. 5, p. 233, et 7, p. 230.) Une roue REV étant donnée, et un pignon PIG,iX)ur que la roue mène le pignon uniformément, il faut que, dans une situation quelconque de la dent et de l’aile durant la menée, les j)erj)endiculaires ;i la face de l’aile et delà dent, au j)oint où elles se louchent, se confondent et p:issent toutes par un mémo point M dans la ligne des centres, lequel doit être tellement situé sur cette ligne, que RM soit à MI comme le nombre des dents de la roue à celui des ailes du pignon.

Pour le démontrer, nous suppo.serons la ligne LO tirée perj>endiculairement à la face de L au point G. où la dent la touche, et les lignes 10, RL abaissées perpendiculairement sur celte ligne des points 1 et R, centres du pignon et de la roue. Les lignes RL et 10 exprimeront : l’une RL, le levier par lequel la roue pousse le pignon; l’autre 01, celui par lequel le pignon est poussé; c’est ce qui paraîtra évident si l’on fait attention que le mouvement du levier RL se l’ait dans une perpendiculaire à la ligne 01, et par conséquent que la longueur des arcs infiniment petits, décrits dans un insUint et par les |)oinis Let O, sera le même, comme cela arrive lorsqu’un levier agit immédiatement sur un autre dans une direction j)er{)endiculaire.

RL exprimant donc le levier {xir lequel la roue pousst; le pignon, et 10 celui p;ir lequel le pignon est poussé, il c.st clair que, dans tous les points delà menée, si le levier p;ir lequel le pignon est pous.sé et si celui par lequel la roue le pousse sont toujours dans le même rapport, l’action de la roue dans tous ces différents points, pour faire tourner le pignon, sera uniforme : car la valeur en degrés de chacun des arcs parcourus en même temps par les leviers RL 01 est en rai.son inverse de leurs longueurs, ou comme 0 1 est h R L ; et la valeur en degrés des arcs parcourus par la roue et |)ar le pignon dans le même temps est encore comme ces leviers 01 et R L.

On sait, par les principes de la mécanique, que, |K)ur qu’il y ail équilibre entre deux puissances, il faut qu’elles .soient en raison inverae de leurs vitesses ; donc, si des puissances contraii-es qui agis.sent en sens contraire, l’une sur la roue, l’autre sur le pignon , sont en équilibre dans un point quelconque de la menée, elles seront en raison

des vitesses du pignon et de la roue dans ee point; mais ces vitesses, dans tous les |K>ints <le la menée, étant dans le même rapport, ces puissances y seront toujours en é(|uilibre : donc la force avec laquelle la roue entraînera le pignon dans tous ces points sera toujours la même ; donc le pignon sera mené uniformément.

Ce principe de mécanique bien entendu, imaginons que la dent fig. 5, p. 233,etlig.7, soitdansunesituation telle que EG, et que la peqîendiculaire au point G passe par un point quelconque M dans la tige des centres , K L sera, comme on l’a vu, le levier par le<|uel la roue poussera le pignon , et 01 le levier |>ar lequel il sera poussé.

Supposons de plus que , la dent et l’aile étant dans la ligne des centres, elles se touchent dans ce même point M; RM sera le levier par lequel la roue pou.ssera le pignon dans ce même point, et .M I celui p:ir lequel il sera poussé; mais, à cause des triangles semblables R LM, MOI, on a RL : 01 : : RM : MI : donc, par le principe précédent, la roue mènera uniformément le pignon dans les deux points M et G, puisque le rapport entre les leviei’S RM et Ml dans le point M est le même que le rapjwri entre les leviers HL et 01 dans le point C. On peut démontrer la même chose pour tous les autres points de la inenw, pourvu <|ue les per{>endiculaires à la dent et à l’aile passent par ce point M.

De plus , les révolutions ou les vitesses du pignon et de la roue doivent être en raison inverse de leurs nombres; et, comme la roue doit mener le pignon uniformément, leurs vitesses respectives dans un point quelconque de la menée doivent être encore dans la même raison.

Ces nombres étant une fois donnés, les vitesses respectives du pignon et de la roue le seront aussi. Or la vitesse angulaire du pignon au |>oint M est à celle de la roue au même point comme le levier MR au levier Ml; MR doit donc être à Mi comme le

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DK l/lIORLOr.ERIE.

nuinbre de la roue :i celui du pignon : donc le point M doit diviser la ligne H I tellement que RM soit h MI connue le nombre de la roue à celui du pignon : donc, pour qu’une roue mène son pignon uniformément, il faut que, dans tous les points de la menée, les perpendiculaires à la dent et à l’aile se confondent et passent par un même point M dans la ligne des centres, situé tellement sur cette ligne (jue RM soit à MI comme le nombre de la roue à celui du pignon.

Dans cette démonstration , nous avons considéré la dent comme étant dans une situation quelconfjue en deçà ou en delà de la ligne des centres. Il est donc clair que, soit que la dent et l’aile se rencontrent dans la ligne (b's centres, soit qu’elles se rencontrent avant cette ligne et qu’elles s’y (|uittent, soit enfin (ju’ellesse rencontrent avant la ligne des centres et qu’elles ne quittent après , le pignon sera mené uniformément si , comme nous l’avons dit, les perpendiculaires aux points où la dent et l’aile .se touchent dans toutes leurs situations pendant la menée passent par un même point M dans la ligne des centres , tellement situé* sur cette ligne que RM soit à Ml comme le nombre de la roue à celui du pignon. Il y a plus, c’est (jue cette démonstration s’étend à toutes sortes d’engrenages où on voudrait (|ue la roue menât le pignon uniformément, de quelques figures que .soient les dents de la roue et les ailes du pignon.

On vient de voir les conditions requises dans un engrenage pour que la roue mène uniformément le pignon; nous allons démontrer à pré*sent que, lorsque la dent rencontre l’aile soit dans la ligne des centres soit après , il faut , pour que cet effet ait lieu , (juela face de l’aile .soit une ligne droite tendant au centre, et que celle de la dent soit unepoiliou d’une épicycloïde engendrée par un point d’un cercle qui a jKUir diamètre le rayon du pignon , et (pii roule extérieurement sur la circonférence de la roue.

Si un cercle COQ (lig. 4, p. 230) roule extérieurement .sur la circonférence d’un autre cercle AI.E, ou intérieurement, comme en M, un point quelconque C de la circonférence du premier décrira par ce mouvement une ligne ap{>el(*e épicycloïde.

Si le cercle COQ a pour diamètre le rayon d’un cercle ALE, alors, en roulant en dedans sur la circonférence, comme en M , la ligne (pi’il décrira sera une ligne droite diamètre de ce cercle A LE.

Cela po.sé, les cercles PIG, RVE(fig. 2) repré.sentant, l’un le pignon, l'autre la roue dont les diamètres III, HR, sont entre eux comme leurs nombres, qu’on sup- |>ose deux petits cercles COQ (fig. 1) ayant [K>ur diamètre le rayon du pignon et posés si parfaitement l’un sur l’autre, ipi’on n’en puisse voir (ju’un, que leurs centres soient parfaitement dans le même point O dans la ligne d(*s centres, et le point C en H ou D dans la même ligne; qu’on imagine ensuite qui? la roue et le pignon se meuvent en tournant sur leurs centres de M en I, et que ces deux petits cercles se meuvent aussi : l’un en dedans, sur la circonférence du pignon ; l’autre en dehors, sur la circonférence de la roue , mais tellement qu’à chaque arc (pie le pignon et la roue parcourent ils en décrivent d’entièrement (*gaiix en sens contraire, c’est-à-dire que le pignon et la roue ayant parcouru, run l’arc MH, l’autre l’arc égal MD, les deux cer-

des COQ aient aussi parcouru en sens contraire, l’un en dehors sur la circonférence de la roue, l’autre en dedanssur la circonférence du pignon , l’arc M G égal à l’arc M H ou MD ; il suivra de ce mouvement des deux cercles COQ que leur centre ü ne sortira point de la ligne des centres R 1 , puis<jue à chacpie instant que le mouvement de la roue et d»i pignon tendra à les en écarter d’un arc quelconque, ils y seront ramenés en roulant toujours en sens contraire d’un aix-- de la même longueur.

Maintenant supposons pour un moment que la roue se mouvant de M en H entraîne le pignon par le simple frottement de sa circonférence, l’effet sera encore le même et le pignon sera mu uniformément, puisque lui et la roue seront comme deux rouleaux dont l’un fait tourner l’autre par la simple application de leurs parties l’une sur l’autre; mais ces petits cercles , par leurs mouvements, l’un dans le pignon, l’autre sur la circonftirence de la roue, seront dans le même cas que les cercles COQM (lig. 3) et COQ, qui roulaient au dedans de la circonférence du cercle ALE et au dehors. Ainsi le point C du cercle COQ, roulant au dedans du pignon,, y dik;rira une ligne DS (fig. 1), diamètre de ce pignon , et dont une partie, comme CD, répondra à un arc CM parcouru en même temps par ce cercle. De même le i>ointC du cercle COQ, roulant sur la circonférence de la roue, décrira une épicycloïde dont une partie, comme CU, répon- <lra aussi à l’arc M H égal à CM ; mais , comme ces deux cercles ont un même diamètre, et parcourent toujours dans le même sens des arcs égaux, à cause du mouvement uniforme du pignon et de la roue, le point décrivant C du cercle (jui se meut sur la circonférence de la roue : donc le point C de la prtie DI de la ligne droite DS et le point C de la jiartie de l’épicycloïde CH seront décrits en même temps. Or, dans une situation quelcou(]ue du |)oint décrivant C, la ligne MC, menée du point M dans la ligne des centres, sera perpendiculaire à la ligne GD ou ID, puisque ces deux lignes formeront toujours un angle qui aura son sommet à la circonférence du cercle COQ et qui s’appuiera sur son diamètre. De même cette ligne MC sera perpendiculaire à la portion infîniment petite de l’épicycloïde C K décrite dans le même temps, puisque MC sera alors comme le rayon décrivant d’une portion de cercle inliniment petite CK. Donc, si la face de l’aile et celle de la dent sont engendré<;s par le point d’un cercle dont le diamètre soit égal au rayon du pignon, et qui se meuve sur s;t circonférence en dedans et sur la circonférence de la roue en dehors, elles auront les mêmes propriétés que les lignes CS et CH; et, par conséquent, dans toutes les situations où elles se trouveront, les |)erpendiculaire5 aux [K)ints où elles se toucheront se cortfondront et passeront toutes par le même point M ; mais ce point M , jrar la construction, divisera la ligne des centres dans la raison d(« nombres du pignon et de la roue. Par conséquent, si la face de l’aile est une ligne tendante au centre, et celle de la dent une épicycloïde décrite par un cercle (|ui a pour diamètre le rayon du pignon, et qui s(; meut sur la circonférence de la roue en dehors, la roue mènera le pignon unilbrmément, puisque alors les perpendiculaiixis îi l’aile du pignon et à la face de la dent, dans tous les poiiiLs où elles se toucheront, se confondront et pas.seront toujours par un même

DK L’HORLOGEKIE. 233

poiiil .>! «laiis lu ligne des centres, qui divise celte ligne selon les conditions requises.

Il est facile de voir que cette démonstration s’étend à toutes sortes d’épicycioïdes, c’est à-dire (ju’une roue mènera son pignon toujours uniformément , si les faces de ses

ailes sont des épicycloïdes <|uelconques, engendrées par le même cercle, coulant sur la circonférence de la roue. L’action de la roue, pour faire tourner le pignon, étant toujours uniforme, il est clair que l’action du pignon, pour faire tourner la roue, le sera aussi ; car, si, dans un point quelcon- (jue de la menée, l’action du pignon était diiîérente de celle qui se ferait dans un autre point, l’action contraire de la roue le serait aussi : donc* elle n’agirait pas toujours uniformément, ce qui est contre la supposition.

Dîuis le cas où le pignon P IG (üg. D) mènerait la roue REV, il est clair que l’aile rencontrerait la dent avant la ligne des centres et la mènerait jusqu’à cette ligne; d’où il est facile de conclure qu’une roue dont la dent rencontre l’aile avant la ligne des centres, et la mène jusqu’à cette ligne, est précisément dans le même cas.

Mais on vient de voir que le pignon menait la roue uniformément lorsque les faces des ailes étaient des lignes tendantes au centre, et celles des dents des portions d’épicycloïdes engendrées par un point d’un cercle ayant pour diamètre le rayon du pignon et roulant extérieurement sur la circonférence de la roue. Il faut donc, pour qu’il y ait uniformité de mouvements dans ce cas-ci, que les faces des dents de la roue soient des lignes droites tendantes à son centre, et celles des ailes du pignon, des {)ortions d’épicycloïdes, engendrées par un cercle, dont le diamètre serait le rayon de la roue et qui roulerait extérieurement sur la circonférence du pignon.

De même encore, lorsque (fig. 6) la dent mène l’aile avant et après la ligne des centres, il faut qu’elle soit composée de deux lignes, l’une droite, GK, tendante au centre de la roue qui mène l’aile avant la ligne des centres, et l’autre courl)e, GE, qui la mène après; et l’aile du pignon de deux autres lignes : l’une courbe GS, par laquelle

23i HISTOIRE

la dent mène avant cette ligne; et l’autre droite DG, tendante au centre du pignon, par laquelle elle mène après. I.a courbe de la dent doit être une éjûcycloïde déiTile pj»r un cercle, qui a j)our diamètre le rayon de la roue et qui roule extérieiireineni sur la cin onférence du pignon.

Nous venons de faire voir les courbes que doivent avoir les dents de la roue et les ailes du pignon dans les trois différents cas où la dent peut rencontrer l’aile ; il n’est plus question cpie de choisir letpiel de ces cas est le plus avantageux. H est clair que c’est celui où la dent rencontre l’aile dans la ligne des centres, parce que !“ le frottement de la dent sur l’aile est bien moindre, ne s’y faisant point en arc-lK)utant, comme dans les deux autres ;2-' que les ordures, au lieu d’être poussées au dedans, comme dans les autres cas, sont poussées en dehors. Il n’y a <|u’une circonstance où l’on doit préférer la menée avant et après la ligne des centres; c’est lorsque le pignon est peu nombré, comme <», 7, et même jus(|u'à 10 inclusivement,’ parce que, dans des pignons

d’un si [letit nombre, en supposant que la <lenl rencontre l’aile dans la ligne des centres , l’engrenage ne peut avoir lieu, comme il est facile de 1<‘ voir, l’intervalle entre les deux pointes des deux dents étant plus grand (jue celui qui est entre les deux ailes au même point.

Si on veut s’en assurer pr le calcul , on remarquera que, dans le triangle RIG (fig. 9), en connaissant les deux côtés et l’angle compris, il est f;u-ile de connaître le troisième qui donnera la (piantité de l’engrenage, et en même tem|KS l’angle IRG, qui pour que l’engrenage ait lieu dans la ligne des centres, doit être plus petit, et au moins de deux degrés, que la moitié de l’angle compris entre deux pointes de dents voisines l’une de l’autre.

Quant à la courbe que doivent avoir les dents des roues qui mènent des pignons dans un autre pUm , comme, par exemple, celle d’une roue de champ, ce doit être une |K>rtion de cyclonle; et, suppos:int que la face de l’aile du pignon soit iine ligne droite tendante au centre , cette cycloïde doit être engendrée par un cercle dont le diamètre soit le niyon du pignon; on en comprendra facilement la raison, pour peu «pi’on ait bien entendu ch; qui a précédé.

Les figures 12, 13, 14 et 15 représentent les différentes sortes de conduites ou de tringles qui servent à transmettre le mouvement des roues ou à changer la direction de leur mouvement.

Nous terminerons ce chapitre par des observations très- judicieuses du savant (^imis; elles confirment ce (pie nous avons déjà dit en commençant notre démonstration des engrenages.

<1 1* Quoique les règles qu’on vient d’expo.ser pour former les denLs des roues et celles

DK L’HORLOGERIE.

•les ailes des |>ignon.s ne puissent être mis<*s en pratique que dans le cas où les dents auraient au moins un centimètre de largeur et un centimètre de longueur à partir du cercle primitiC, elles ne seront point inutiles aux artistes qui auront des dentures beau-

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coup plus lines à lornier, parce qu’ayant sous les yeux la figure d’une gros.se dent semblable à celles qu’ils doivent faire en. petit, il leur .sera plus aisé de l'imiter à la vue simple.

» 2“ Comme on ne peut pas espérer de l'ornier les dentures avec toute l’égalité et la précision qui sont néce.ssaircs pour cpie les circonférences primitives de la roue et du pignon tournent toujours avec la même vitesse; que l’inégalité et les autres défauts de la denture seraient cause que quelques dents iu.‘ conduiraient pas aussi loin qu’il le faudrait, après la ligne des centres, les ailes qu’elles doivent pousser, et qu’il en pourrait résulter des arcs-boutements des ailes contre le.>-' flancs des dents, (]ui prendraient ces ailes trop tôt avant la ligne des centres; les artistes préviendront cet inconvénient en faisant le diamètre primitif de la roue, un |>eu plus grand qu’il ne doit être relativement à celui du pignon.

» 3" Au moyen de cet agrandissement du diamètre de lu roue , qui doit être proportionné aux défauts que l’on peut craindre dans la denture, la dent qui suit celle qui pousse l’aile après la ligne des centres prend un peu plus tard celle qui suit; et, lorsque la dent précédente a poussé l’aile après la ligne des centres aussi loin qu’elle peut le faire uniformément, la roue prend un peu plus de vitesse (jii’elle n'en communique au pignon , ce qui est un défaut; mais ce défaut, dans lequel on tombe volontairement, est moins à craindre (jue les arcs-botitements auxquels on serait exposé si on voulait l’éviter.

» 4° Il est évident que ce qu’on vient de dire au sujet de ragrandis.seinenl du diamètre de la roue, au delà de ce qui est néce.ssaire pour conduire uniformément le pignon, suppo.se que ce sera la roue qui conduira le pignon. Lorsque c’est la roue (pii doit être conduite par le pignon, il e.st clair que, |X)ur éviter les arcs-bouteim'nls, ce doit être

le diamèti-e primitif du pignon qui devra être tenu un peu plus grand qu’il ne faut poui conduire la roue uniformément. >>

La théorie des engrenagc.s que nous venons de donner à nos lecteuis est le fruit des travaux de plusieurs savants et horlogers du dix -huitième siècle, et entre autres de Camus, que nous venons de citer, de Lalande, de Rerthoud, etc. Nous allons contim>er, toujours en nous appuyant sur les hommes compétents de l’époque, à faire cou-

plus à grain d’orge^ parce que l’on a reconnu cpie c(‘ système prodiii.sait des chutes qui, en augmentant le frottement des pivots, nuisaient h la marche et tendaient à la de.struction des rouages. Les ligures 16 et 17 représentent, à notre avis, les meillenre„s dentures que l’on puis.se doniuT aux roues et aux pignons. H serait à dé.sirerque l'on abandonnât, autant qu’il est possible, les pignons peu nombrés avec lesquels on fait dilTicilement de bons engr<înages. On devniit remplacer, même dans les montres ordinaires à échappement, à cylindre ou à ancre, les pignons de 6 et de 8 dents par des pignons de 10.

naître les princijies qui s’établirent alors dans l’horlogerie et qui valurent à cette science d* grands et légitimes succès. Quelques-uns de ces principes ont été modiliés ou abandonnés par les mécaniciens ou horlogei's du dix -neuvième siècle; nous di-

rons plus tard en quoi consisUmt les modifications que l’on a apportées à certains .systèmes, et pourquoi on en a abandonné quelques autres.

A l’époque de F. Rerthoud, les horlogers faisaient les ailes des pignons extrêmement minces; c’était pour que le |)oint de contact sc fit dans la ligne des centres, ce qui est