ARITHMETIQUE. — D'EUCLIDE A DIOPHANTE

L'héritage recueilli par l'école d'Alexandrie, considérable a certains égards, n'était donc pas d'une importance égale dans toutes ses parties. Or, s'il y avait dans cette succession une science plus négligée que les autres et plus arriérée, c'était celle-là même qui réclamait plus de progrès, puisqu'elle devait servir de point de départ à toutes les autres : c'était en un mot l'arithmétique.

Le premier mathématicien de la nouvelle école, Euclide,

ne s'en occupa que secondairement, et il paraît que tout son mérite est d'avoir réuni et mis dans un nouvel ordre ce qu'on en enseignait dans les écoles de la Grèce.

Telle est, du moins, l'opinion la plus plausible, car il est aussi difficile de préciser le point de vue spécial sous lequel il rédigea ses Eléments, que de déterminer la valeur comparative des théories qu'il y expose ; c'est donc à une opinion probable qu'on est réduit à cet égard, comme on l'est à l'égard de la patrie et des maîtres de ce savant.

En effet, on ignore à quels travaux antérieurs se liaient les siens, et quand il nous reste tant de renseignements sur des personnages secondaires de la ville d'Alexandrie, une profonde obscurité pèse sur cet homme si célèbre, le fondateur de l'enseignement des mathématiques dans le Musée.

Tout ce qu'on en peut affirmer avec quelque confiance, c'est qu'il sortait des écoles d'Athènes, et qu'il possédait toute la science grècque de son temps.

L'accueil que reçut son principal ouvrage autorise une induction de plus, celle qu'il exposait cette science avec plus de richesse et de clarté qu'aucun de ses contemporains. Aussi les trois livres qu'il a consacrés à l'arithmétique, dans ses Eléments, (le 7 e , le 8 é et le 9 e ) résument-ils sans nul doute, dans un ordre plus méthodique que tous les écrits antérieurs, ce qu'on savait de calcul à cette époque.

Dès-lors, nous avons dans cet ouvrage le véritable point de départ de nos recherches. Quel est ce point de départ?

Euclide, sans s'arrêter aux règles du calcul vulgaire nécessairement connues de ceux qui se présentaient, par exemple, aux leçons de l'Académie ou du Lycée d'Athènes, ces types du Musée d'Alexandrie, règles qu'il n'entrait pas dans ses vues d'exposer, traite des propriétés relatives des nombres, examine les proportions, les progressions géométriques, là mesure des nombres, (nombres premiers et nombres irrationnels), et donne, entre autres, la solution du problème de trouver un nombre parfait, c'est-à-dire dont toutes les parties aliquotes réunies forment le nombre lui-môme.

Telle est la matière de ces trois livres, dont les théories sont, comme on le voit, aussi loin d'offrir une arithmétique élémentaire qu'une arithmétique suffisante pour de grands travaux de

science.

Dans l'application, ces théories étaient de plus entravées par une notation embarrassante et défectueuse.

Cependant, tel qu'il fut présenté à la nouvelle école, ce résumé d'Euclide, qui offrait la science d'une époque plutôt que celle d'un auteur, reçut l'accueil que méritait une composition importante. Elle avait réellement ce rang. C'était non-seulement le meilleur inventaire des progrès du passé, c'était encore un guide pour des découvertes ultérieures ; car tous ceux qui voulaient désormais étudier l'arithmétique trouvaient, dans ces livres, en meilleur ordre et avec de meilleures solutions qu'ailleurs, tous les problèmes qu'il s'agissait d'examiner en „ théorie, ou d'appliquer à l'étude des autres sciences, surtout a celle de la géométrie, dont l'arithmétique faisait encore partie à cette époque. Or c'étaient là deux avantages notables (1).

De plus, ce manuel, plus complet que tout autre, était celui d'une école de mathématiques désormais constituée la rivale des grandes écoles d'Athènes et aspirant dès le début a une certaine supériorité. En effet, le Musée des Lagides était placé ainsi, dès son origine, à la tête de l'enseignement scientifique.

Les Euclidiens, — car Euclide eut des disciples qu'on désigna, comme jusque-là on avait coutume de désigner les élèves des philosophes, par un nom collectif, — les Euclidiens continuèrent sans nul doute l'enseignement de leur maître, et maintinrent sa supériorité. Cependant il n'existe aucun texte qui établisse ce fait, et l'histoire n'a pas même conservé les noms de ces savants. Tout ce qu'on sait à leur égard, c'est que l'un d'eux, Çratosthène, se distingua par l'invention du CRIBLE , moyen ingénieux et facile de trouver, par voie d'exclusion, les

(1) Voy. pour les travaux d'Euclide, les éditions de David Gregory , Oxford, 1703, in-folio, et de Peyrard, Paris, 1814 et années suivantes, 3 vol. in-*.

nombres premiers, qui n'ont de diviseurs qu'eux-mêmes ou l'unité, et qui offraient à la fois aux arithméticiens de l'antiquité un riche sujet de méditation et un utile emploi dans le calcul des fractions (l).

Il est vrai de dire qu'aucun texte ne mentionne les rapports entre Eratosthène et Euclide, et qu'on peut les contester. Cependant, l'époque à laquelle vécurent l'un et l'autre de ces savants et l'âge avancé auquel ils parvinrent tous deux, faits si connus que nous n'avons pas à nous y arrêter (2), portent à croire que l'un a profité au moins des dernières leçons de l'autre.

Bientôt, un contemporain d'Eratosthène, un mathématicien qui appartenait à la Grande-Grèce, Archimède, né l'an 287 avant J.-C, et par conséquent à une époque où la vieillesse sinon la mort était le sceptre de la science à Euclide pour le mettre entre les mains d'Eratosthène ou d'Apollonius de Perge, • . vint en Egypte le disputer à l'un et à l'autre.

Cela fut d'autant plus aisé que le prince qui avait favorisé les travaux d'Euclide, Plolémée I er Soter, était remplacé par Ptolémée II Philadelphe, qui n'encourageait que la botanique, les chasses, les voyages, la poésie et les arts.

Aussi Archimède, fort jeune encore quand il vint en Egypte et sans doute peu connu partout ailleurs qu'à Syracuse, sa patrie, profita si bien de ce qu'il vit au Musée, que bientôt il s'éleva au premier rang dans les sciences exactes. A la vérité, il se distingua moins dans l'arithmétique que dans la géométrie et dans la mécanique ; il fit faire néanmoins un grand pas à la science des nombres, et quoiqu'il ne tienne qu'indirectement à l'Ecole d'Alexandrie, nous devons parler ici de ses travaux, non pas seulement pour mieux éclairer l'ensemble des progrès du temps, mais encore pour indiquer les relations si intimes

(1) Voir ce procédé dans Niconiach., Arith., p. 13. - Boeth. Arith., 1. 1, c. 17.

{%)■ V. Fabricii Biblioth. gra*. lib. III, c. 14.

qu'il entretint avec Conon, dont il a déploré, depuis, si éloquemment la mort (1 ). Archimède était aussi ami d'Eratosthène à qui il proposait des problèmes (2). Il continua, même après son voyage en Egypte, avec l'Ecole d'Alexandrie qu'il avait visitée, des rapports assez suivis pour qu'on pût, à la rigueur, le considérer comme un écrivain d'Alexandrie, comme l'histoire des lettres considère son compatriote Théocrite, qui visita l'Egypte à la même époque.

Quoi qu'il en soit, Archimède publia, sur l'arithmétique, un important travail auquel donna lieu une opinion vulgaire, qui dénote toute l'imperfection du calcul à cette époque. En effet, on soutenait alors qu'aucun nombre ne saurait exprimer la quantité de grains de sable répandus sur les bords de la mer. Pour réfuter cette opinion, Archimède prouva que, quand même l'univers serait beaucoup plus grand qu'on ne le suppose, le cinquantième terme d'une progression décuple crois* santé suffirait pour rendre le nombre de grains de sable qu'il pourrait contenir. Ce résultat avait peu d'importance ; mais ce qui en eut beaucoup, c'est le système de numération imaginé par Archimède, pour faire son calcul. Ce système, sans approcher de celui que l'Inde possédait dès cette époque, et qu'elle nous a transmis, depuis, par les Arabes, jeta dans les discus-

(1) Voy. sa Lettre à Dotithée, à la tôle du Traité de la quadrature de la parabole.

(2) Quand même l'épi gramme publiée par Lessing (Zur Geschichte und Lilleratur, Braunsclweig, 1773, 2 vol; in-8, t I, p. 42.) serait d'un poète nommé Archimèle et non pas du mathématicien Archim&de, suivant la

' conjecture de M. Ideler, les i apports d' Archimède avec l'école d'Alexandrie n'en seraient pas plus douteux. Mais cette conjecture de M. Ideler est dénuée de probabilité ; car si l'épigrammc en question a un sens, c'est dans le cas où elle est adressée à un mathématicien par un autre mathématicien. Delà part d'un poète, elle ne se concevrait pas. On ne peut pas affirmer, il est vrai, qu'elle est d'un Alexandrin plutôt que d'un Syracusain; mais quelqu'cn soit l'auteur véritable, c'est bien à Archimède qu'il a voulu la prêter, et c'est en vertu d'une tradition qui mettait Archimède en rapport avec Eratosthène qu'il l'a faite. C'est à cette tradition que nous faisons allusion dans le texte.

sions des mathématiciens quelques éléments nouveaux. On va voir de quelle manière.

Archimède se sert de deux progressions, l'une arithmétique, l'autre géométrique ; la première ayant pour premier terme 0, et pour différence 1, et la seconde, pour premier terme 1, pour, raison 10. Or cela est d'une conception simple, néanmoins c'est peut-être la raison de ces deux progressions qui a conduit les modernes à la découverte des logarithmes ; et là est l'importance véritable du traité d' Archimède intitulé YAre~ narius ou le Psammites d'Archimède.

Quand donc même cet écrit n'aurait pas donné aux Grecs ce qui manquait le plus à leur arithmétique, c'est-à-dire un bon système de numération (1), il n'en aurait pas moins rendu à la science d'importants services. Or, il est à croire qu'un traité de cette nature fut connu dans Alexandrie presque immédiatement après sa publication ; et Archimède lui-môme le communiqua, sans doute, à ses amis du Musée. Puis, des copies en furent faites pour la bibliothèque des Lagidcs et pour les Euclidiens. Cela ne saurait se concevoir autrement , quoiqu'il ne soit pas resté trace pour nous de la sensation que le Psammitès a produite dans Alexandrie, ni de l'émulation qu'il a dû exciter parmi les savants.

Un contemporain d'Archimède, Apollonius de Perge, qui résidait à Alexandrie à cette époque (2), et qui a dû y rencontrer le célèbre Syracusain, fit si bien qu'il devint son successeur immédiat dans l'empire des études mathématiques. Apnllonius en effet s'occupa d'arithmétique comme de géométrie ; il fit un traité sur la multiplication des grands nombres (3), et le second livre de la collection que Pappus entreprit au V e siècle de

(1) Montucla, Hitt. des mathématiques, I. p. 128. Voy. dans VArchimèdê de Peyrard, le Mémoire do M. Delambre, de V Arithmétique des Grecs, p. 601.

(2) Voy. Pappus, Colleetio mathem. VII, p. 251.

(3) Voy. le Fragment du deuxième livre des Collections mathém. de

Pappus, publié par Wallis.

notre ère, était probablement consacrée à l'explication de ce qoe le célèbre géomètre de Perge avait dit de nouveau sur la science du calcul. Malheureusement, il ne nous est pas resté de texte pour apprécier, sous ce rapport, son mérite réel (1).

Après Apollonius, l'histoire de l'arithmétique à l'école d'Alexandrie présente une lacune immense, car on ne nomme plus aucun homme distingué, aucun travail remarquable pendant l'espace de plusieurs siècles, c'est-à-dire entre les études d'Apollonius, auteur du III e siècle avant J.-C., et celles de Diophanle qui vint reprendre la science avec éclat, au II e , ou même, suivant d'autres, au IV e siècle après J.-C.. Il est è croire, sans doute, que les mathématiciens qui vécurent dans cet intervalle ne se bornèrent pas à suivre servilement Euclide, Archimède et Apollonius; mais nous ignorons tout le progrès qu'ils ont pu accomplir dans ce long espace de temps.

Si nous en jugions par les écrits du pythagoricien Nicomaque de Gérase,qui n'appartient pas à l'Ecole d'Alexandrie, mais qui a vécu dans le dernier siècle avant l'ère chrétienne, et par ceux du platonicien Théon de Smyrne, qui n'appartient pas non plus à notre école, et qui est du II e siècle après cette ère, ce progrès aurait été peu notable. Nous avons de Théon, dont tous les ouvrages conservés ne paraissent pas encore publiés, un traité sur l'arithmétique et la musique (2), et de Nicomaque une Introduction à l'arithmétique, dont l'arithmétique de Boëce est une sorte de traduction. Or, on ne trouve aucune innovation essentielle soit dans l'un, soit dans l'autre de ces écrits, qui ne sont que de savantes compilations, dont on peut dire ceci d'avantageux, c'est qu'il y est parlé d'une manière ingénieuse des nombres triangulaires, carrés et pentagonaux.

Après Théon, il faut encore franchir l'éspace de plus d'un siècle pour trouver quelques travaux d'arithmétique qui méritent attention.

(1) Delambre, 1. I.

(2) Bouillant! en a publié une partie dans son Expotitio eorum quœ ad Pïattmis lectionem utilia sunt. Paris 1544, in-4.

Porphyre, qui vécut au commencement du IV* siècle, mais qui était plus philosophe que mathématicien, et plus théosophe que philosophe, rédigea un abrégé d'arithmétique et un traité sur les mystères des nombres (1) ; mais,loin d'avancer la science, ce néo-platonicien l'eût ramenée dans des spéculations pythagoriciennes où elle s'était perdue quelques siècles auparavant , s'il avait exercé une influence plus profonde, et s'il ne se fût trouvé, soit un peu avant soit un peu après lui, un plus digne continuateur d'Euclide et d'Apollonius de Perge.

Porphyre, qui flt une ou deux apparitions dans Alexandrie, n'appartient d'ailleurs à l'école de cette ville pas plus que Théon et Nicomaque ; il n'y demeura pas, il n'y enseigna pas, n'y composa pas ses ouvrages; il passa sa vie, soit en Italie, soit en Syrie.

Diophante, au contraire, le continuateur des grands arithméticiens de l'école d'Alexandrie, fut un véritable Alexandrin, de naissance et de génie.

(1) Fabric. Bibhoth. graec. t. IV.

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