ARITHMÉTIQUE.— DE DIOPHANTE A PAPPUS

Diophante fit, entre l'année 200 avant Jésus-Christ et Tannée kOO de notre ère, car on ne saurait plus déterminer exactement l'époque à laquelle il vécut (1), plusieurs ouvrages , dont les plus remarquables étaient , le premier, une arithmétique pratique, qui s'est perdue ; le second, un traité sur les nombres polygones , qui nous reste (2) ; le troisième , une grande composition scientifique en treize livres, dont il s'est conservé six (3).

Par ce dernier travail , sur lequel il nous reste quelques bonnes scholies de Maxime Planudes, mais qui a été l'objet de commentaires encore meilleurs de la part d'Otto Schultz (fc), Diophante fonda la théorie de l'analyse indéterminée (5) , sa

(1) Origine a trasporto in Italia delP algebra, cap. IV.

(2) Diopbantus ûber die Polygonalzahlen ûbersetzt von F. Poselger. Leipz., 1810.

(3) Diophanti Alex, rerum arilh. libri sex. ed. G. Xylandro. Basil., 1575, in-f 0 , en latin seulement. Edit. de Fermât. Paris, 1670, inrf 0 .

Les altérations qu'a subies ce livre entre les mains des copistes ont fait naître quelques hypothèses : celle, d'abord, qoe nous n'en avons plus qu'un extrait; celle, ensuite, qu'il en a existé plusieurs éditions qu'un copiste aurait amalgamées. Au commencement du XVII e siècle, on se flattait encore de posséder l'ouvrage entier. Jean Muller (Regiomontanus) assure qu'il en avait vu un exemplaire complet. On sait que celui du cardinal Perron, qui s'est perdu, élait également entier.

(4) Berlin, 1822, in-8.

(5) Lagrange, trente-et-unième des séances de l'école normale.

plus grande gloire. En effet , on sait que , pour découvrir une grandeur inconnue, il suffit d'une équation ; que, pour deux , grandeurs inconnues, il faut deux équations. Lorsqu'il se rencontre, dans une ou plusieurs équations, plus de quantités inconnues qu'il n'y a d'équations, l'opération est indéterminée, et c'est à l'analyse indéterminée qu'il appartient de la résoudre. Or, Diophante présente dans son ouvrage une série de problèmes dont il donne une analyse à la fois ingénieuse et simple, et c'est à juste titre que l'histoire des mathématiques l'en proclame l'inventeur.

On a revendiqué, en sa fâveur. une autre gloire ; on a dit que Diophante a créé l'algèbre, et que les. Arabes ont trouvé cette science toute faite quand ils sont venus traduire les savants ouvrages que les Grecs semblaient avoir déposés pour eux, soit dans Alexandrie, soit dans les villes de la»Syrie.

C'est une exagération. Diophante ne donne pas de notation générale ou algébrique ; il n'admet que la notation numérique ordinaire des Grecs, celle par lettres alphabétiques. Loin d'offrir la généralisation qui constitue l'algèbre proprement dite, il ne se sert d'un signe spécial que pour la soustraction, et il n'expose qu'une série de cas ou de problèmes particuliers. Les Arabes, qui ont reçu l'algèbre de l'Inde, non-seulement l'ont traitée avec des méthodes différentes de cellesrlà,et plus généraies, mais ils l'ont enseignée antérieurement à la traduction en leur langue du livre de Diophante (1).

La création de l'analyse indéterminée est donc le seul perfectionnement remarquable qu'il ait apporté à la scieuce du calcul.

Cette inventiou, qui est son titre le plus incontestable, futelle bien appréciée dans Alexandrie ?Nousl'ignorons, et le commentaire où Hypatie , cette noble Glle de Théon d'Alexandrie qui enseigna la philosophie et les mathématiques au commence-

1 Libri, Hist. des sciences mathématiques en Italie, I 67 ; II, 41.

ment du IV e siècle s'attachaità l'expliquer, s'est perdu, ainsique tous les autres écrits de cette femme célèbre (1).

Son travail semble attester que les Alexandrins continuèrent, au moins jusqu'au V e siècle, à élaborer les théories du calcul. Ils commentèrent, même à cette époque encore, des compositions de moindre importance que celles de Diophante. Iamblique, qui fut un peu antérieur à Hypatie, Proclus, qui vécut un peu après elle, et enfin Asclépius et Philoponus, les derniers savants de notre école, commentèrent tous quatre l'arithmétique de Nicomaque de Gérase.

Ces commentaires tous perdus pour nous, à l'exception du travail d'Iamblique qui existe encore (2), ont-ils avancé la science?

Quand on considère combien il a dû y entrer de spéculations pythagoriciennes sur les mystères des nombres , on est peu porté à les regretter. Mais du moins ils ont entretenu l'application de l'esprit humain à celle des études mathématiques qui est la mère de toutes les autres, et à ce titre ils méritaient d'être mentionnés.

Que cette activité se maintint dans Alexandrie tant que subsistèrent les institutions grecques et la domination chrétienne, nous en voyons aussi la preuve dans les travaux d'un autre contemporain d'Hypatie, dans ceux de Pappus qui offrent les résumés de tant d'autres, et qui embrassent l'arithmétique comme la géométrie, mais qui attestent aussi combien les procédés de l'arithmétique étaient encore laborieux au moment où la Grèce abandonna la science.

Quand nous disons la Grèce , c'est bien l'École d'Alexandrie que nous entendons, car nulle autre n'a fait pour les progrès du calcul des travaux qu'on pût mettre à côté des siens. Si elle n'a pas porté l'arithmétique aussi loin que d'autres bran-

1) Suidas, sub voce Bypatia.

(S) Le commentaire d'Iamblique est le seul uni existe encore. — Sur les autres, Voy. Fabricii Bibl. graec. IV, c. 23, n° 3.

ches des mathématiques elle a du moins su approcher de l'algèbre , et c'est à elle seule que^revient l'honneur de la plus belle découverte qui se soit faite pour le calcul dans le cours de neuf siècles, l'analyse indéterminée. En effet, dans tout le laps de temps qui s'est écoulé entre la mort d'Alexandre et celle de Mahomet, les autres écoles grecques paraissent, ou n'avoir rien fait, ou être restées à tel point au-dessous des travaux de Diophante, que l'histoire ne dut pas même mentionner les leurs.

Quand on considère combien ceux de l'Inde étaient plus avancés , on regrette que les relations commencées avec cette région sous Alexandre, et continuées sous les premiers Séleucides comme sous les premiers Lagides, n'aient pas conduit les savants d'Alexandrie à rechercher aux bords du Gange les trésors de la science, comme les marchands de la capitale d'Égypte recherchèrent les trésors matériels de cette contrée (1). La découverte de l'algèbre eût été le prix de cette curiosité. Or dans une école savante , cette découverte changeait complètement l'état des études.

Elle était de la môme importance pour la géométrie, que

pour l'arithmétique.

(1) Wallis a publié dans son tome III, un fragment du deuxième livre de la Collection de Pappus, fragment qui roule sur les opérations du calcul et qui est d'autant plus précieux que tout le reste de ce second livre est perdu.