GEOMETRIE. — D EUCLIDE A APOLLONIUS DE PERGB

L'École d'Alexandrie débuta en géométrie à peu près comme en arithmétique , c'est-à-dire qu'elle commença par réunir et mettre dans un ordre plus méthodique les théories de l'époque.

Son début fut, néanmoins, beaucoup plus brillant en géométrie , et ce fut encore Euclide qui fit ce début.

Pour cette science, du moins, on sait à quel travail il rattacha le sien. En effet, ce fut au dernier manuel de géométrie publié avant lui, aux Éléments d'Hippocrate de Chio, à cette composition que nous avons déjà citée comme le résumé de la science d'une époque , qu'Euclide voulut substituer son ouvrage. Il y réussit si complètement que la postérité le considéra comme le créateur de la science , quoiqu'elle sût bien que la géométrie était plus ancienne que lui, et qu'elle la crût originaire des bords du Nil.

Qu'a fait Euclide pour mériter cet hommage?

Euclide s'étant attaché à réunir les meilleures théories des géomètres qui l'avaient précédé, a coordonné leurs travaux et perfectionné ou complété leurs démonstrations en y apportant cette précision qui est devenue , par lui , le caractère de la science. On peut affirmer de ses treize livres d'Eléments qu'ils résument tous les travaux antérieurs.

Deux autres livres qu'on a mis sous son nom sont d'Hypsiclès , mathématicien dont nous aurons à parler.

Les Données d'Euclide forment avec les Eléments les deux principales compositions qui soient restées de lui, car les 2uvo\K7'!a'. ou conférences, qui donnent les démonstrations des propriétés énoncées dans les Eléments, sont l'œuvre de Théon, ou du moins ce livre a été à tel point modifié par le commentateur du V e siècle, qu'on n'y reconnaît plus la part d'Euclide.

Ensemble les Eléments et les Données reproduisent, mis eh meilleur ordre, complétés et perfectionnés , tous les travaux grecs antérieurs à l'Ecole d'Alexandrie. En effet, on doit admettre qu'Euclide ajouta peu de chose au fond ; que s'il améliora singulièrement la méthode et les démonstrations, déjà les propriétés générales des figures planes , la théorie des proportions et son application aux figures planes (matière des livres 5 à 6 d'Euclide) , les propriétés générales des nombres (livres 7 à 9),. la théorie des grandeurs incommensurables (livre 10), celles des plans et des solides (livres il à 13) , étaient connues avant Euclide. Tout cela, pour devenir une science ou un ensemble bien démontré, avait sans nul doute besoin d'être revu, lié et prouvé, mais on peut affirmer, de plus, que tout le fond des Eléments et des 95 théorèmes de géométrie que contiennent les Données était fourni à l'auteur par la Grèce elle-même.

En effet, aucune indication ne tend à faire croire qu'Euclide ait consulté d'autres mathématiciens que ceux de la Grèce, qu'il ait connu ceux de l'Orient ou ceux du pays où il vécut, et qui , d'ailleurs, étaient de son temps dépassés par les Grecs.

Si cela est exact, la gloire d'Euclide se borne, en géométrie, à la réforme de la méthode au moyen de ses Eléments, et à la création de l'analyse au moyen de ses Données (1). Cela peut paraître peu considérable , mais ce qui rend probable qu'Euclide a mis dans ses livres peu de propositions nouvelles, si

(1) Aux Données il faut ajouter les Porismts, suivant Pappus, in pnef. libri VII. - Bossut, Bitt. de» Mathim. (I, 1S7. Trad. allemand, do

Keimer).

môme il y en eut, c'est qu'à examiner une à une celles qu'il y donne, il n'en est pas qui ne doive avoir été débattue , soit à l'école de Crotone, soit à celles de Platon et d'Aristote, où l'on connaissait l'incommensurabilité dont Euclide tiaite dans celui de ses livres qui est le plus avancé, le 10 e (1).

D'ailleurs les mathématiciens d'Alexandrie , si jaloux de la renommée de leur chef, ne mentionnent aucune de ces propositions comme une découverte d'Euclide.

Quoi qu'il en soit, au surplus, de celte question d'inventaire entre Euclide et ses prédécesseurs, un manuel complet de géométrie était donné au Musée, après la rédaction des Eléments. Il était déposé à la bibliothèque publique , présenté à l'Egypte grecque et à la Grèce ; il était accessible même à l'Egypte ancienne, ce berceau de la géométrie, si elle voulait l'étudier.

Ce corps de science, plus complet que ce qui l'avait précédé, et supérieur par la méthode, a-t-il fait quelque sensation ou excité quelques travaux remarquables parmi les savants d'Alexandrie?

On dirait qu'il les a encouragés par sa supériorité même, car les mathématiques eurent la vogue dans Alexandrie , comme on le voit par les études du roi Ptolémée, qui voulut avoir des leçons d'Euclide. Mais cette vogue fut un peu stérile. Euclide a pu exercer une influence considérable; il était d'une grande activité, il a vécu longtemps et formé plusieurs élèves, mais la génération qui lui a succédé est demeurée obscure.

A la rédaction des Éléments et des Données, il joignit quatre livres sur les Sections coniques, et deux livres sur les Lieux à la surface, c'est-à-dire sur les courbes à double courbures, livres perdus pour nous, mais que l'École d'Alexandrie possédait encore au IV e siècle de notre ère (2). Etaient-ils à tel point en avant de l'enseignement reçu, quand ils parurent, qu'ils furent au-dessus de la portée commune? Est-ce à cette supériorité ou

(1) Plato, De legibui, lîb. VII, in fine.

(1) On le voit dans b Collection de Pa^ms.

à quelque autre cause qu'il faut attribuer l'absence de progrès dans ces études? Je l'ignore. Mais il se passa un long temps sans qu'il y fût rien ajouté.

Les successeurs immédiats d'Euclide se bornèrent , au contraire , à enseigner ce qu'avait montré le maître. Ses plus anciens disciples ne firent pas autre chose, et l'histoire les remarque à peine.

Archimède, qu'on pourrait considérer comme un Alexandrin (i), qui visita ses savants amis dans Alexandrie, ou fut visité par eux à Syracuse, et qui entendit notamment Conon , leur arracha aussi facilement le sceptre de la géométrie que celui de l'arithmétique. En effet, de son temps aucun enseignement ni aucun écrit du Musée ne balança le mérite de ses travaux sur la sphère et le cylindre , sur la mesure du cercle, sur les conoïdes et les sphéroïdes, sur les hélices, sur X équilibre des plans, et sur la quadrature de la parabole, travaux qui renferment à la fois le germe du calcul des limites et les plus anciennes recherches sur les équations indéterminées (2).

Dans le premier de ces traités, celui de la sphère et du cylindre, Archimède mesure ces deux corps quant à leur surface et quant à leur solidité, soit entiers, soit coupés par deux plans perpendiculaires à leur axe commun.

C'est là qu'il donne cette belle théorie, que la sphère est les deux tiers, soit en surface soit en solidité, du cylindre circonscrit, la surface des bases comprise dans celle du cylindre.

C'est là aussi qu'il démontre , pour la surface courbe du cylindre, que celle de chaque segment cylindrique compris entre des plans perpendiculaires à l'axe est égale à celle du segment sphérique qui lui répond.

On sait que ces découvertes flattèrent l'auteur lui-même au

point qu'il fit graver sur sa tombe une sphère et un cylindre,

(1) Libri, Hist. des sciences mathém. en Italie, 1, 103.

Il) V Archimède de Peyrard, préf. p. XV. Cf. - Libri, I, 30.

monument que Cicéron se vante d'avoir retrouvé en Sicile après deux siècles d'oubli (1).

Dans le traité de la mesure du cercle , qui fut une sorte de suite du premier, l'auteur démontra que tout cercle et tout secteur circulaire est égal à un triangle dont la base est la circonférence ou l'arc du secteur, et la hauteur, le rayon. Il y détermina aussi les limites du rapport entre la circonférence et le rayon d'une manière approximative qu'Apollonius et d'autres géomètres poussèrent plus loin encore.

Jusque-là Archimède traitait de corps réguliers , de corps dont les théories se trouvaient plus ou moins connues. Dans d'autres écrits , celui des conoïdes et des sphéroïdes ou des corps formés par la révolution des sections coniques autour de leur axe, Archimède s'ouvrit des voies nouvelles. 11 y examina les rapports de ces corps, les compara, soit entiers, soit coupés par segments, avec les cylindres ou les cônes de môme base et de môme hauteur, et démontra, le premier, que le conoïde parabolique est égal à une fois et demie le cône de môme base et même sommet, ou la moitié du cylindre de môme base et de môme hauteur.

Puis Archimède exposa la belle découverte de la quadrature de la parabole, dans le traité de ce nom : il y était arrivé par deux procédés ingénieux, l'un mécanique, l'autre géométrique.

Dans le traité des hélices, il analysa la théorie des propriétés de la spirale courbe, inventée par son ami Conon d'Alexandrie, mathématicien qui ne sut pas tirer parti de cette inveution , mais qui a le mérite d'avoir mis Archimède sur la voie des plus grands progrès. Le savant Syracusain détermina les propriétés de cette courbe, le rapport de son aire avec celle du cercle qui la renferme, et la position de ses tangentes , théories dont la démonstration demande une attention profonde , dont la découverte atteste un génie éminent , et que nous sommes heu-

(1) Cicero, Tutculan. quattion. y lib. V, c. 83.

reux de rattacher à notre école par le nom de son véritable auteur, Conon.

Par tous ces travaux si supérieurs à ceux de ses amis d'Alexandrie, et par cette méthode à laquelle un philosophe de l'antiquité, trop peu familier avec la science, rend un hommage très emphatique (1), Archimède enleva aux Alexandrins rempire de la géométrie comme celui de l'arithmétique que leur avait donné Euclide.

Cependant cet empire fut personnel. Archimède ne fonda pas dans Syracuse d'école rivale de celle d'Alexandrie, et aucun de ses successeurs ne maintint la Sicile à la hauteur où l'avait élevée son génie. Un enseignement tel qu'il s'en faisait un au Musée ne convenait peut-être ni aux goûts, ni au rang d'Archimède. Néanmoins, il paraît avoir rattaché à ses travaux quelques hommes avides de science ou occupés d'arts. En effet, il adressa ses traités au roi Hiéron, et y intéressa la cour. De plus , il 6t de ses découvertes de brillantes applications aux moyens de défense des places fortes, et à certaines branches d'industrie ; il y associa donc nécessairement un assez grand nombre de personnes.

Quoi qu'il en soit, Archimède ne s'étant placé à la tête d'aucune école, ni dans Syracuse, ni ailleurs, l'École d'Alexandrie ressaisit immédiatement après lui le sceptre de la science, qu'elle ne lui avait pas abandonné sans combat. Nous venons de le dire , c'était un Alexandrin, Conon, qui lui avait fourni le point de départ de ses découvertes sur les Hélices.

Ce savant, dont Archimède exagérait le mérite, eut au moins celui d'entretenir le goût des sciences dans Alexandrie, conjointement avec les disciples d'Euclide , et surtout avec Eratosthène. Conon s'appliquait moins à la géométrie qu'à l'astronomie, mais Eratosthène, qui embrassait dans ses travaux, comme Euclide, l'ensemble des mathématiques, en y joignant,

(1) Plutarch. Marceltui, c 14, 15.

comme Platon et Aristote , la philosophie et la philologie , et que cette immodération empêcha de bien approfondir la géométrie, rivalisa avec Archimède dans l'étude de cette science élevée. Aussi l'antiquité associa-t-elle son nom à ceux d'Aristote, d'Euclide et d'Apollonius de Perge , et si peu connus que nous soient ses écrits , il est certain qu'il cultiva l'analyse géométrique , puisqu'il en traita dans deux livres dont parle Pappus (1).

Il donna aussi une solution nouvelle de l'ancien problème de la duplication du cube.

On a prétendu, de plus, qu'il écrivit sur les sections coniques un traité qui aurait éclipsé celui d'Euclide (2) , en attendant qu'il eût été, à son tour, éclipsé par celui d'Apollonius de Perge; mais ce n'est là qu'une de ces assertions qu'on trouve trop pro- • diguées dans les ouvrages d'histoire littéraire.

Apollonius de Perge marque, au contraire, sans aucune contestation, une ère nouvelle dans les études mathématiques de l'Ecole d'Alexandrie.

(1) Pnef. ad. lib. VIL

(i) Proclus, comment, in Euclid., lib. II, p. 13 et 31.