I. Exposer la théorie des arrangements et combinaisons
IL Démontrer que la somme des sinus de deux arcs est à la différence de ces mêmes sinus, comme la tangente de la demi-somme de ces arcs est à la tangente de leur demidifférence. Indiquer l'usage de ce principe.
III. Rechercher l'expression de la surface d'un triangle rectiligne, en fonction des trois côtés.
IV. Quelle est l'expression du volume engendré par un trapèze qui tourne autour d'un axe passant par un sommet et perpendiculaire à la diagonale menée par ce sommet? On suppose le trapèze situé d'un même côté de l'axe.
Lauréats.
LAURÉATS
ÉTABLISSEMENTS
AUXQUELS ILS APPARTIENNENT
POINTS OBTENUS (sur 100).
1" prix. Félix Sarton, de Bruxelles
Athénée de Mons.
2' id. Charles Moulaert, de Bruges
1" accessit. Auguste Daury, de Resteigne
Collège de Dinant.
2" id. Camille Clavareau, de Namur
Athénée de Bruxelles.
3' id. Jean Malaise, d'Othée
Collège de Saint-Trond.
LAURÉATS
ÉTABLISSEMENTS
AUXQUELS ILS APPARTIENNENT
POINTS OBTENUS (sur 100).
4* accessit. Louis Telle, de Tournai
Paul- Emile Janson, de Herstal
5« id.
Charles Robert, de Charleroi
6' id. Constant Loiseau, de Namur
7* id. Gustave Schorn, de Liège
8* id. Léon Delwart, de Rebecq-Rognon ....
9' id. Lucien Reintjens, de Turnhout
[ Julien Collart, d'Anvers
10' id.
( Charles Nelis, d'Anvers
Athénée de Tournai.
Id. de Bruxelles.
Collège de Charleroi.
Athénée de Mons.
Id. de Liège.
Collège d'Ath.
Athénée d'Arlon.
Id. d'Anvers.
Id. id.
ÉLÈVES NON LAURÉATS QUI ONT OBTENU AU MOINS LA MOITIÉ DES POINTS
ELEVES
ÉTABLISSEMENTS
Désiré Melot. . . .
Collège de Dinant.
Hubert Van Neuss .
Athénée de Hasselt.
Charles Fontainas. .
Athénée de Bruxell"
Edmond De Coster .
Id. de Bruxelles.
Louis Geens . . .
Collège de St-Trond.
Th. De Schodt . . .
Id. de Bruges.
Léopold Moxhon . .
Athénée de Liège.
Adrien Jullien . . .
Louis Henrotin. . .
Collège de Dinant.
Ernest Antoine. . .
Id. id.
Emile Gilliaux. . .
Id. id.
Henri Verdeyen . .
Id. de Louvain.
Edouard Mueseler. .
Athénée de Liège,
Alfred Henrard . .
Athénée de Bruges.
Travail de l'élève Félix Sarton.
jre réponse. — Théorie des arrangements et combinaisons.
On entend par arrangements de m lettres prises n à n les différents grouppes que l'on peut former avec ces m lettres, pourvu que dans chacun des grouppes il n'y entre que 71 lettres, ces grouppes ne différant d'ailleurs que par la position des objets.
Ainsi les deux lettres a et b donneront les deux arrangements ab, ba ; les trois lettres a, b et c prises 3 à 3 donneront les arrangements abc, bac, acb, cab, etc.
Recherchons maintenant le nombre d'arrangements que l'on peut former avec m lettres prises n à n. Supposons déjà connu le nombre d'arrangements Q que l'on peut former avec ces m lettres prises n — 1 à ?i — 1 .
Comme dans chaque arrangement il n'entre que n — 1 lettres, les lettres qui n'entrent pas dans ces arrangements seront exprimées par m — [n — 1) ou m — n -j- 1 . Considérons un quelconque des Q ai-rangements, à la suite de cet arrangement nous pourrons placer chacune des m — n -\- \ lettres qui n'y entrent pas, nous formerons ainsi avec un des Q arrangements, m — n -|- 1 arrangements de n à n lettres. Mais comme on peut considérer à part chacun des Q arrangements, il s'ensuit que le nombre d'arrangements que donnent m lettres prises n à n sera exprimé par Q (m — n + 1 j.
Appliquons cet exemple à des cas particuliers. Supposons d'abord qu'on fasse n = 2, m restant indéterminé, Q indiquera le nombre d'arrangements que l'on peut former avec m lettres prises 1 à 1 . Ce nombre est évidemment égal à m, quant au facteur m — n -|- 1 par l'hypothèse particulière n = 2, il deviendra égal à (m — 1) et le nombre d'arrangements do m lettres prises 2 à 2 sera égal à m {m — 1).
Faisons maintenant n = 3, Q indiquera le nombre d'arrangements que Ion peut former
avec m lettres prises 2 à 2 et sera égal àm(m — \) et en faisant n = 3, m — n -j- 1 sera égal à m — 2 ; donc le nombre d arrangements que l'on peut former avec m lettres prises 3 à 3 sera égal a m (m — 1) (m — 2).
Et en concluant par analogie, on pourra conclure que le nombre d'arrangements que l'on peut former avec m lettres prises nà 7i sera égal à m {m — 1) (m — 2) .... {m — n-\-\).
Remarque. — Si on fait n = m on aura le nombre d'arrangements que l'on peut former avec m lettres prises m à m. Ces différents grouppes prennent le nom de permutations. Ainsi les permutations de m objets sont les différents grouppes que l'on peut former avec ces m objets, chaque grouppe ne devant différer que parla position des objets. Ainsi dans la formule des combinaisons en faisant n = m, on aura la formule qui donne le nombre de permutations que l'on peut former avec m objets, et cette formule sera
m {m — 1) (m — 2) (m — m -f 2) (m — m -f- 1) ; ou m (m — 1) (m — 2) . . . . 2 -j- 1>
ou, en renversant, 1. 2. 3 m.
On entend par combinaisons les grouppes que l'on peut former avec m objets pris n à n pourvu que dans chacun des grouppes il entre n lettres et que ces grouppes diffèrent au moins par une lettre.
D'après cette définition, on voit clairement qu'en permutant chacune des combinaisons, on obtiendra pour chacune autant d'arrangements que l'on peut former de permutations avec les lettres qui entrent dans un de ces grouppes.
Soit donc x le nombre de permutations que l'on peut former avec n lettres; soit y le nombre d'arrangements de m lettres prises nàn; soit z le nombre de combinaisons.
D'après ce qui vient d'être dit, il est évident que si je prends une des z combinaisons et qu'en permutant les n lettres qui y entrent, j'obtiendrai x arrangements de m lettres prises nài.n {x étant le nombre de permutations que l'on peut former avec n lettres). Mais on peut permuter chacune des z combinaisons, donc xz indiquera le nombre d'arrangements que l'on peut former avec m lettres prises n à n et comme ce nombre est égal à y, nous avons
l'équation xz ==y \ d'où z = -.
Mais d'après ce qui a été démontré, y est égal à m {m — 1) (m — 2) ... (m — ^^ + 1)
eta; = 1. 2. 3 ... n. Donc la formule générale qui donne le nombre de combinaisons que
1 on peut former avec m lettres prises n à n sera — i -\ — -—- ■ .
2^ remarque. — On démontre que le nombre de combinaisons que Ton peut former avec m lettres est égal au nombre de combinaisons que l'on peut former avec m lettres prises m — n à m — n.
En effet le nombre de combinaisons que l'on peut former avec m lettres prises n à n est m (m — 1) (m — 2) ... (m — n -4- 1)
et en remplaçant dans cette formule n par m — n, le nombre de combinaisons que l'on peut former avec m lettres prises m — n t m — n sera exprimé par
Je dis que ces deux expressions sont égales. En effet multiplions les deux termes de la première formule par le dénominateur de la seconde, et les deux termes de la seconde par le dénominateur de la première, ces deux expressions deviendront
On voit par la que le numérateur de la première expression est le produit des m pre-
miers nombres et que le dénominateur est le produit des n premiers nombres par le produit des m — n premiers nombres. Cette expression peut donc s'écrire sous la forme
Quant à la seconde, elle a aussi pour numérateur le produit des m. premiers nombres et
le dénominateur est le produit des m — n premiers nombres par le produit des n premiers
nombres. Cette expression peut donc aussi prendre la forme ; -.
Ces deux expressions sont donc égales et la proposition est démontrée.
2® réponse. — On a pour le sinus de la somme de deux arcs et le sinus de la diflférence de deux arcs les deux formules suivantes :
sin [a -\- b) = sin a cos b -\- cos a sin b
sin {a — b) = sin a cos 6 — cos a sin b.
Ajoutant et retranchant ces deux égalités membre à membrq, il vient
sin {a -\-b) -\- sin {a — b) = 2 sin a cos b (1)
sin [a~\-b) — sin {a — b) = 2 cos a sin b (2).
Faisons a -\~ b = p et a — b = q, a sera alors égal à — j — ou à et b
sera égal à — - — ; remplaçons dans les expressions (1) et (2) a -|- ô, a — è, aeib par ces valeurs, nous aurons
sin^) 4- sin gr = 2 sin - (i? -f î) cos ^{p — q) (3)
sin p — sin g- = 2 cos - (^ -[- q) sin -{p — q) (4) Divisons ces deux égalités membre à membre, il viendra
, • sin- (p 4- q) cos x (p — â')
cos- {p + q) sm -{p — q)
sin- (p-^q) j
Mais d'après les formules fondamentales = ^ë -^ (p -\- ^)
cos-(i? + ^) '
cos- (p — q) j
et — j = cotg 2 (p + q);
«in 2 {p — q)
comme cotg ^ {p -\- q) = — ^ , l'expression (5) deviendra
sin;, + sin^ 1. , ^ 1. ^ tg ^ (p + î)
sin^-sing-^^2(^ + ^)X^^^-2(^-g)-^ ■•
tg - (p - î)
Ce qui démontre le principe. Ce principe est d'une grande utilité dans la résolution dos triangles rectilignes. Il peut arriver par exemple que l'on donne deux côtés et l'angle compris. De ce que les côtés sont entre eux comme les sinus des angles opposés, on aura
a : 6 = sin A ; sm B ; ou a -{- b -. a — ô =« sin A -j- sin B : sin A — sin B.
D'après le principe sin A -f- sin B : sin A — sin B peut se remplacer par le rapport tg - (A -}- B) et tg - (A — B). Mais A -f ■ B peut être connu à l'aide de l'angle connu C,
et A -j- B sera égal = 180° — C ; - (A -j- B) = QO'^ — — ; Les trois termes de la propor-
tion seront donc connus, on pourra calculer facilement - (A — B) et connaissant - (A -|- B)
et - (A — B) on aura immédiatement les angles A et B et par suite tous les autres élé-
ments du triangle.
Ce principe peut donc toujours servir, lorsque ne connaissant pas la valeur de deux arcs pris séparément, on peut connaître celle de la somme ou de la différence de ces arcs.
3e réponse. — Expression de la surface d'un triangle rectiligne en fonction de ses 3 côtés.
Soit ABC un triangle rectiligne quelconque, dont nous désignerons les 3 côtés par a, h, c opposés aux angles A, B, C et la hauteur AH par h. D'abord nous
aurons par la surface du triangle ABC = — -. (1)
Mais dans le triangle rectangle AHC, employant le principe qui dit que le sinus d'un angle aigu est au côté opposé comme le rayon des tables est à l'hypothénuse, nous aurons
&mC :h=\ :b d'où h = b un C. (2) De plus, en vertu d'une autre formule trigonométrique, nous avons
c2 = &2 | ^2 2ab cos C b^ -\-a^ — c^ 2âb
et en élevant les deux membres au carré, cos ^C = r~^7z •
Mais d'après une formule fondamentale cos ^C -f- sin '^C = 1, d'où 1 — sin ^C = cos ^C; remplaçons cos ^C par cette valeur, il viendra
1 sin 2C = .i— 1-— L d'où sin ^C = 1 - ^ ^. ^.^ ^
4^202 Ifj^ | ^'2 c2)2
ou, en réduisant au même dénommateur, sin ^C = . .-.^ .
Au second membre de cette égalité, nous avons pour numérateur la différence des carrés de deux quantités ; ce numérateur est donc égal à la somme de ces quantités multipliée par
{2ab + ô2 4- a2 — c^) {2ab — b'^ — a^ -\- c^)
d'où cos C
leur différence et l'on aura sin ^C =
Ce qui peut encore se mettre sous la forme sin ^C =
Aam [[a + bf — c2] [c2 — (a — bf]
4aW
Mais d'après ce que nous vevons de voir (a -|- &)^ — c^ = (a -\- b — c) (a -{- b -\- c) et c^ — (a — b)"^ = {c -\- a — b) (c — a -\- è); donc on aura
. ,^ (.aJ^b-{-c){a-\-b-c)iaJt-c-b){b-{-c-a)
Faisons a -\- b -\- c =2p; a -\- b — c sera égal à,2p — 2c; a -\- c — ba sera égal à 2p — 2c;b -\- c — a sera égal à 2p — 2a et
,in . c sera égal . BH!L:iM|L=i^)J^^^)
En mettant partout 2 en facteur commun, on a
sin^C
ou
d'où
I6p (p — c) {p — b) {p — a] sin 2C = 4p(i) — c)j? — &)(j3--a)
sin C
ty^4p {p — c)(p — b) (p — a
Faisons sortir -— - du radical, il viendra sin C = — - '{/ p ip — a) (p — b) {p a^b^ ab ^ ' ^ ' ^^
Dans l'égalité (2) h ^ b sin C, remplaçons sin C par cette valeur, nous aurons
h = - [/^p [p — a) [p — b) {p — c) et reportant cette valeur de h dans l'expression de la surface du triangle, nous aurons surf. AABC = -^ = x- Vp [p — «) (p — b) {p — c) = Vp [p — a) (p — b) (p — c). Ce qu'il fallait chercher.
4l^ répo7ise. — Soit ABCD le trapèze tournant autour de la droite GF passant par le sommet A et perpendiculaire à la diagonale AD. Le volume engendré par le trapèze sera égal au volume engendré par le triangle GDF tournant autour de la base GF, moins la somme des
volumes engendrés par les triangles GCA et ABF ^
tournant autour de leur base G A et AF . On sait que le volume engendré par un triangle tournant autour
do sa base est égal au - du volume du cylindre de o
même base et de même hauteur. Or, dans le triangle
GDF, la hauteur est AD par constrution, donc
Voi: trap. GDF =:^ ttÂD^ X GF.
Si nous abaissons dans les triangles GCA et ABF, les hauteurs CH et BN, nous aurons pour la même
raison que plus haut Vol. trap. GCA = - ttCH X GA
et Vol. trap. BAF = - ttBN"^ X AF.
Donc le volume engendré par le trapèze sera égal à
Vol. trap. ABCD = \ ttAD^ X CF — 1 ttCH' X GA — ^ ttBN^ X AF. (1)
Mettons ^ tt en facteur commun, il viendra
Vol. trap. ABCD = \ 7r(AD^ X CF — cS^ X GA — BN^ X AF).
Mais CF = GA + AF, donc
Vol. trap. ABCD = \ 7r(ÂD^ X GA + ÂD^ X AF — CÏÎ^ X GA — BN* X AF).
Ce qui peut encore se mettre sous la forme
Vol. trap. ABCD = i7r[GA (ÂD^ — CH^) + AF (ÂD* — BN^)] (2) o
mais ÂD^ — CH* est égal à (AD -[- CH) (AD — CH) et ÂD* — BN* = (AD + BN) (AD — BN) donc Vol. trap. ABCD = 1 tt [GA (AD --j- CH) (AD — CH) -\- AF (AD -f BN) (AD — BN)] (3)
La figure CHAD est un trapèze car les droites CH et AD étant perpendiculaires sur CF sont parallèles. Donc si du point I milieu de CD on abaisse une perpendiculaire IK sur HA et que du point C, on mène une parallèle CN à AH, on aura
en -4- AD IK = ^ ; d'où 2IK = CH + AD,
ND = AD — AN =3 AD — CH, car la figure HCAN est un parallélogramme.
De même, si dans le trapèze ADBN, du point I milieu de DB on abaisse LP perpendiculaire sur AN et que du point B on mène une parallèle à AN, on aura 2LP = AD -f- BN et DR = AD — BN.
Dans l'expression (3) remplaçons AD -f CH, AD — CH, AD -\- BN, AD — BN par leurs valeurs respectives 2IK, ND, 2LP et DR, on aura
Vol. trap. ABCD = ^ tt (GA X 2IK X NB + AF X 2LP X DR),
ou en mettant 2 en facteur commun
Vol. trap. ABCD = ? tt (GA X IK X NB -f AF X LP X DR) (4).
Les deux triangles DGA et DCN étant semblables donnent la proportion
AD : DN = GA : CN ou = GA : HA; d'où AD x HA = DN X GA.
De même de la similitude des deux triangles DAF, DRB, on tire
DA : DR = AF : RB ou = AF : AN; d'où DA X AN = DR X AF.
Dans l'expression (4) remplaçons GA X DN et DR X AF par les valeurs trouvées nous
aurons Vol. trap. ABCD = - tt (IK X AD X AH + LP X AD X AN)
ou, en mettant AD en facteur commun. Vol. trap. ABCD = - ttAD (IK X AH -|- LP X AN)
mais IK X AH et LP X AN sont respectivement les expressions des surfaces des trapèzes CHAD et DBAN, car HA et AN sont les hauteurs de ce trapèze et IK et LP étant les droites qui joignent les milieux des côtés non parallèles sont égales à la demi-somme de- ces droites.
On a donc Vol. trap. ABCD = - ttAD (Vol. trap. CHAD -|- Vol. trap. DABN).
Ce qu'il fallait chercher. Ainsi le volume du trapèze demandé est égal au - de la circonfé-
rence, décrite par la diagonale, multipliée par la somme des trapèzes que l'on obtient avec la diagonale AD, en abaissant des sommets C et B du trapèze des perpendiculaires sur l'axe.
B. QUATRIÈME {Humanités).
a. Concours obligatoire.
32 établissements concurrents. — 183 élèves inscrits : 172 concurrents.
P® ÉPREUVE (six heures).
Thème latin. — On ne cesse de se plaindre de ce que la vie humaine ne dure pas longtemps. Mais il est hors de doute qu'elle serait assez longue et qu'elle suffirait à l'accomplissement des plus grandes et des plus nobles actions, si nous en faisions un bon usage et si nous ne l'abrégions trop souvent par de funestes erreurs. Un philosophe a dit que la vie est semblable à une fortune médiocre, qui suffit à tous nos besoins, si elle est bien administrée. Croyez qu'il importe moins de vivre longtemps que d'employer à la pratique de la vertu les jours que Dieu nous a accordés. Est-il nécessaire de vivre quatre-vingts ans, si on les passe dans l'inaction ou, ce qui est beaucoup plus honteux, dans le bourbier du vice?
Celui-ci est mort, après avoir atteint sa centième année. Mais qu a-t-il fait dans ce long
espace de temps? Peu de chose qui soit digne d'éloges. Celui-là a été enlevé à la fleur de l'âge, par un trépas imprévu; mais il s'est montré bon citoyen, excellent fils, ami dévoué ; nous avons le droit de dire qu'il a véritablement vécu et qu'en s'acquittant de ses devoirs il a accompli sa destinée.
Géographie. I. — Donnez la division du Péloponèse.
