PRIX D'ENSEMBLE
1" Élèves ayant concouru sur les trois br
l" prix. Nicolas Beaufort, de Verviers . 2» id. Adolphe Delloye, de Chastre , 3' id. Jules Clermont, de Hodimont .
1" accessit. Henri Clochereux, de Liège 2' id. Jean Crocq, de Bruxelles . 3" id. Isid. Joannès, de Lacuisine 1" ment. hon. Louis Parez, de Mons .
2" id. Adhémar Moreau, d'Atli . , 3* id. Waltlière Englebert, de Liège 4" id. Philip. Vandevivere, d'Ypres 5« id. François Henin, de Presle .
Ecole industrielle et littéraire de "Verviers.
Athénée de Bruxelles.
École industrielle et littéraire de Verviers.
Collège de Liège.
Athénée de Gand.
Collège de Bouillon.
Id. de Mons.
Collège d'Ath.
Id. de Liège.
Id. de Mons.
Athénée de Namur.
anches :
(sur 3,000) 2,564
M. Zickwolff.
MM. Guillery et Kindt.
MM. Forir et Falisse.
M. Lefrançois.
M. Niederprûm.
MM. Malbrenne et Huet.
M. Beck.
M. Lallement.
HtSTOIRE DES CONCOURS GÉNÉRAUX.
LAURÉATS
ÉTABLISSEMENTS auxquels appartiennent
LES LAURÉATS
OBTENUS
PROFESSEURS des
LAURÉATS
2" Élèves ayant
concouru dans deux branches.
1" ment. spéc. Emman. Delsaux, de Cuesmes
Collège de Mons,
(sur 2,UUU 1,698
M. Malbrenne.
2» id. Emile Beeckmans, d'Ostende
Athénée de Tournai.
M. Ad. Leschevin.
3* id. Henri Dupont, de Dour . .
Collège de Mons.
4* id. François Mahutte, d'Antoing
Athénée de Tournai.
5' id. Edmond Boutique, d'Ath .
6* id. Adolphe Devaux, de Liège.
Collège de Liège.
MM. Forir et Falisse.
7« id. Emile Lebrun, de Flobecq.
Athénée de Tournai,
8" id. Auguste Blondiau, de Mons
Id.
9« id. Jos. De Bremacker, de Brux
Athénée de Bruxelles.
MM.GuilleryetKindtJ
Concou
rs spécial d'Algèbre^.
(sur 1,000)
1" prix. Victor Detiége, de Hannut (a.) .
Collège de Liège.
M. Falisse.
2' id. Mich.-M.-Chr.Bamps,deHasselt(a)
Id.
3' id. Alphonse Loumaye, d'Envoz (a.).
Id.
4' id. HubertBoens, deCharleroi(3). .
Collège de Charleroi.
M. Michel LeschevinJ
5* id. Nicolas Beaufort, de Verviers (3). 6» id. Adolphe Delloye, de Chastre (3) .
École industrielle et littéraire de Verviers.
Athénée de Bruxelles.
M. Zickwolff.
M. Kindt.
/Jean Crocq, de Bruxelles (3).
1" accessit. ch.-Aug. Meyer, de Rotter dam (a.)
Id. de Gand,
Collège de Liège.
Id.
M. Lefrançois.
2* id. François Thiry, de Jemeppe(rt.)
Victor Anoul, de Bruxelles (3) 3* id.
Camille Evrard, de Dinant (3)
Athénée de Bruges.
M. Hissette.
Collège de Dinant.
M. Lambert.
/Emile Simon, de Mons (a.)
Collège de Mons.
M. Huet.
1" ment. bon. ^J. De Bremacker, de Brux. (3)
Athénée de Bruxelles.
( Jules Tarlier, de Bruxelles (3)
Id.
2" id. Léon Huart, de Mons (a.) .
3* id. Samuel Navez, de Mons (a.)
Id.
Concour
S spécial de Géométrie.
(sur 1,000)
l" prix. Mathieu Xhoffer, de Verviers (3) . 2* id. Adhém. Moreau, d'Ath (3) . . .
École industrielle et littéraire de Verviers.
Collège d'Ath.
M. Zickwolf.
M. Beck.
Edouard Simon, de Péruwelz (^r.)
Athénée de Tournai.
M. Casterman.
Alex. Delye, de Tournai (g.) . .
Id.
1" accessit, Edouard De Soi gnie, de Mons {g.
Collège de Mons.
M. Malbrenne.
2' id. Henri Dupont, de Dour {g. t).
Id.
3' id. Joseph Fraeys, ... {g. t.). .
Athénée de Gand.
M. Lefrançois.
4' id. Alfred Lebrun, de Lens (a. g.)
Collège de Mons.
Concours .
spécial de Trigonométri
(sur 1,000)
jAuguste Blondiau, de Mons (a. t.) i Emman. Delsaux, de Cuesmes {g. t.).
Athénée de Tournai.
M. Ad. Leschevin.
M. Malbrenne.
2* id. Emile Beeckmans, d'Ostende (a. t.)
Athénée de Tournai.
3* id, Florim. Rauwenhoff, de Brux. (a. t.).
Id.
Explication des signes particuliers : — (a) : n'a concouru qu'en algèbre ; {g) : n'a concouru qu'en géométrie ; a concouru qu'en trigonométrie ; (3) a concouru sur les trois branches.
LAURÉATS
ÉTABLISSEMENTS auxquels appartiennent
LES LAURÉATS
OBTENUS
PROFESSEURS
!•' accessit
Franc. Mahutte, d'Antoing^a, t.).
Athénée de Tournai.
id.
Ferd. Otto, de Bruxelles (a. t.).
Id.
id.
Emile Lebrun, de Flobecq (aj.).
Id.
H. De Quebedo, de Tournai (a.t.)
Id.
id.
Alph. Breyer, d'Arlon (a. t.) . .
id.
Isidore Joannès,de Lacuisine (3).
Collège de Bouillon.
M. Niederprùm.
id.
Edmond Boutique, d'Ath (a. t.).
Athénée de Tournai.
id.
Henri Cloehereux, de Liège (3).
Collège de Liège.
M. Forir.
Ch. Sainctelette, de Brux {g. t.).
Id. de Mons.
Just. Deraedt,de Nederzwalm {t).
Athénée de Tournai.
id.
j Walth. Englebert, de Liège (3).
Collège de Liège.
(M" Coenegracht, de Tongres (3).
Id. de Tongres.
M. Bairin.
1" ment. hon. A. Leschevin,de Tournai (a. t.).
Athénée de Tournai.
id.
Adolphe Devaux.de Liège (g. t. )
Collège de Liège.
Henri Dupont, de Dour {g. t.).
Id. de Mons.
id.
Ch. Simon, de Péruwelz (a. i,).
Athénée de Tournai.
id.
id.
Ju'" Clermont,de Hodimont (3).
Nie. Beaufort, de Verviers (3).
École industrielle et littéraire de Verviers.
Id.
M. Zickwoltr.
L'* Crombé, de Tournai (a.t.).
Athénée de Tournai.
Adolp. Delloye, de Chastre (3).
Athénée de Bruxelles.
id.
Auguste Broquet, d'Ath (a. t.).
Athénée de Tournai.
Léop. Heyde, d'Anvers (a. t.).
Id.
id.
Jules Dodelé, de Hal (a. t.). .
Id.
Œr. Decourtray,de Gand (g.t."^.
Collège de Mons.
id.
<Alf. Gernaert, de Namur {g.L).
\Auguste Bury, de Liège (é?. t.).
Collège de Liège.
Il»
id.
Ph. Vandevivere, d'Ypres (3).
Collège de Mons.
id.
P. de Wyels, de Louvain (a. t.).
Athénée de Tovirnai.
id.
Louis Delbouille.de Liège (g. t.)
CoUège de Liège.
Travail de l'élève Victor Detiége.
Sujet : Résoudre l'équation générale du second degré x'^ -\- px -\- q = o etla, discuter
complètement.
Faisant passer q dans le second membre, on a : a?^ -|- px = — q.
Considérons x^ -f- px comme le carré d'un binôme auquel il manque le 3® terme.
Comme le carré d'un binôme se compose du carré du premier terme, plus ou moins le
double produit du premier terme par le second, plus le carré du second terme du binôme,
x^ étant le carré du premier terme du binôme, on obtiendra celui-ci en extrayant la racine
carrée dex^; x est cette racine et conséquemment le premier terme du binôme ; px étant
le double produit du premier terme par le second, on obtiendra celui-ci en divisant ^a?
par 207 ou le double produit du premier terme du binôme ; on trouve donc pour second
px p p w*
terme — ou -. Le binôme est donc oc-\---\ en l'élevant au carré, on trouve œ'^-\-pX'\—T-.
Il suffit donc, pour compléter le carré de x^ -\- px ■= — q, d'ajouter— aux deux membres;
ilvienta7^4-i>a7 4-—=—î-f-—. Je dis d'ajouter^ aux deux membres, parce que, si l'on ajoute — à x^ -]- px seulement, il n'y a plus d'égalité et, par conséquent, d'équation. En extrayant la racine carrée de x'^ -{- px -]-■—= —^ ■— q, on obtient :
La racine carrée de -^^ q ne peut que s'indiquer. Je mets le double signe zh devant le
radical parce que toute quantité, soit positive, soit négative, élevée au carré, donne toujours le signe -}- ; je me dispense d'écrire le double signe devant le premier membre, parce que ce serait inutile ; soit, pour le prouver, l'équation incomplète x^ = a •• en extrayant la racine des deux membres et mettant le double signe devant chacun de ces deux membres, on a : -^i^x = :±zl/^ci, d'où l'on tire les quatre valeurs :
4-a? = + |/a; -fa; = — [/«; — a? = + f/a ; — â? == — ^/a. Mais les deux dernières ne sont que les deux premières dans lesquelles on a changé les signes des deux membres.
Reprenons l'équation x -\
Jl. = -i^ y/ q\ en faisant passer - dans le second
membre, il vient
2^ " 4 A cause du double signe dz devant le radical, il y a deux valeurs pour x, qui sont :
Faisant passer toutes les quantités dans le premier membre, il vient :
Multipliant ces deux équations, membre par membre, on obtient :
Nous remarquons que le premier membre est la somme de deux quantités multipliée par leur différence ; on aura pour produit la différence des carrés de ces mêmes quantités, il vient :
ou bien, en effectuant le carré de â? -|- - et simplifiant -. x"^ -\- px -\- q ^= o. Cela prouve
qu'en faisant passer dans le premier membre les deux racines de x et en les multipliant, on retrouve l'équation primitive, et qu'une équation du second degré ramenée à la forme a?* -j- px •{- q ^^ o peut se décomposer en deux facteurs du premier degré, ayant pour terme commun x et pour seconds termes les deux racines de x prises en signe contraire. Représentons les deux valeurs de x par x' et x'\ on aura :
Multipliant ces deux valeurs, membre par membre, on aura :
On remarque que le second membre est la somme de deux quantités multipliées par leur différence ; on aura pour produit la différence de leurs carrés :
et en simplifiant = x' x" = q. D'où Ion voit que le produit des deux racines est égal au terme tout connu, pris en signe contraire.
Faisons la somme de ces mêmes racines, on a : x' -\- x" = — p.
Ce qui montre que la somme des deux racines de x est égale au coefficient de x pris en signe contraire.
Par ce qui précède, on peut, à l'inspection des signes dans une équation du second degré, reconnaître si les deux racines sont toutes deux positives, toutes deux négatives, l'une positive, l'autre négative ; si c'est la plus grande qui est positive, la plus petite négative, ou bien si c'est la plus grande qui est négative et la plus petite positive.
Toutes les variations de signes dans l'équation du second degré x'^-^px = q, sont : x'^ -\- px = q\ x^ — px = q\ x"^ -{- px == — q\ x^ — px = — q.
Dans x'^ ■\- px = q, le produit des deux racines sera égal à — q, donc les racines sont de signes différents, la somme des deux racines = — p, donc c'est la plus grande qui est négative et la plus petite positive.
Dans x^ — px = q, le produit des deux racines est = — q, donc les deux racines sont de signes différents, la somme des deux racines = p, donc la plus grande est positive et la plus petite négative.
Dans x'^ -\- px = — g-, le produit des deux racines = q, donc les racines ont les mêmes signes, la somme des deux racines est égale à — p, elles sont donc toutes les deux négatives.
Dans x^ — px = — q, le produit des deux racines égale q, les racines sont donc de même signe, la somme des deux racines est égale t.p, les deux racines sont donc toutes les deux positives.
Reprenons les deux valeurs de a?.
Soit q positif et p positif, l'équation sera : x -\-px = qQt les deux valeurs de x seront :
^p + \Xt.+,, .^-py/p
~- est toujours positif, puisque c'est un carré. Le radical dans les deux valeurs sera positif
et plus grand que —, car la racine carrée de — - est déjà égale à - et l'on y ajoute q qui est
positif par hypothèse ; la racine carrée àe —■-{- q sera plus grande que -. Les deux valeurs
— -f- ? > ;^» lîi seconde valeur sera
négative et plus grande que la première, je dis négative, car — y/ -j* + ? ^st ajouté
P à — — ; or, deux quantités négatives ajoutées l'une à l'autre, donnent un résultat négatif.
Soit p négatif et q positif, l'équation sera : x'^ — px = q et les valeurs de x seront :
les deux valeurs seront réelles, la première positive et la seconde négative, car |/ T "^ ^
p est plus grande que -; la première sera plus grande que la seconde.
Soit q négatif et plus petit que — - et p positif dans l'équation, x'^ -\- px = — q, et les deux valeurs de x seront :
Les deux valeurs seront réelles, car q étant plus petit que —, la quantité sous le radical
sera positive, la première valeur sera négative, car pX — g est plus petit que — ; la
seconde sera aussi négative, mais plus grande que la première.
Soit encore q négatif et plus petit que —, etp négatif dans l'équation. L'équation sera a?^ — px = — q, les deux valeurs seront :
Les deux valeurs seront réelles, la première sera positive et plus grande que la seconde ; la
seconde sera aussi positive, car il faut ôter de -, la racine de— q, qui est plus petite que-.
p^ q négatif et plus grand que —r et p positif ou négatif dans l'équation x^ zkp^ = — q-
Les deux valeurs sont :
Les deux racines seront imaginaires, car q étant plus grand que —, la quantité sous le
radical sera négative, et qu'un carré doit toujours être positif. Soit q = o, et p positif.
L'équation devient x^ -\~px = o.
Les deux valeurs à'x sont :
''- 2^ ^ ^~ ' ''- 2 ^ 4"" ^' La première valeur est égale à o, la seconde au coefficient de a?, pris en signe contraire ; c'est ce qu'on peut voir dans l'équation a?- -f- pa? = o en mettant x en facteur commun,
X {x -\- p) -=0 équation à laquelle on ne peut satisfaire qu'en faisant a? = o, ou bien a? = — p. Soit q=i o QÏp négatif.
L'équation sera a?^ — ^x = o, et les deux valeurs de x seront :
La première valeur est égale au coefficient de x pris en signe contraire, et la seconde égale à o. On peut encore le vérifier dans l'équation x'^ — px = o, en mettant x en facteur commun : X {x — p) = o, équation à laquelle on ne peut satisfaire qu'en faisant o; = o, et X ^= p.
Soit p =- o et q positif.
L'équation devient x^ = q et les deux valeurs de x sont : x' = l^'^q ; x = — 1/ q. Les deux valeurs seront réelles et égales, mais de signe contraire.
Soit p = 0 et g' négatif.
L'équation devient û?^ = — q^ d'où x = -\~ y — q\, x = — y — q.
Les deux valeurs seront imaginaires, car la quantité sous le radical est négative.
p^ Soit q négatif et égal à — , ^ positif ou négatif.
L'équation devient x'^ ±2px~- — qet les valeurs de x sont : a; = =F - ; o? = =F -.
Les deux valeurs seront réelles et égales.
Soitp =0, q= o.
L'équation devient x^ = 0. Les deux valeurs sont : sc = o; x==o.
Les deux valeurs de x sont nulles.
Une équation du 2^ degré ne peut avoir que deux racines. Représentant les deux racines par c et c', on a : x = c; x = c\
On sait qu'une équation du 2® degré peut se décomposer en deux facteurs du l®"" degré, ayant pour terme commun x et pour seconds termes, les deux racines de l'équation prises en signe contraire ; on peut écrire : (x — c) [x — c') = o.
Supposons que x ait une 3® valeur représentée par a ; en remplaçant x par sa valeur a, on doit avoir : {a — c) {a — c') = o.
Ce qui est absurde, car la valeur a étant différente des deux autres c et c', a — c et a — c' ne seront pas égales à o, donc leur produit ne peut pas être égal à o.
Travail de l'élève Mathieu Xhoffer.
Sujet : Exposer la méthode d'exhaustion, qui sert à trouver le rapport approché de la circonférence au diamètre.
Pour chercher le rayon et l'apothème d'un polygone isopérimètre à celui qui a pour un de ses côtés AB, du centre C j'abaisse la perpendiculaire CH sur AB, et je la prolonge jusqu'à son intersection avec la circonférence. De cette intersection F je fais passer les lignes BF, AF , qui passent par B et par A. Du point C j'abaisse sur AF la perpendiculaire CE, et par ce point E, je trace ED parallèle à AB. Je dis que cette ligne ED est le côté du polygone isopérimètre au polygone qui a pour côté AB et d'un nombre de côtés double de celui des côtés égaux à AB. Car l'angle EFD est la moitié de ACB, car il a pour mesure la moitié de l'arc AB, tandis que ACB est mesuré par cet arc entier. De plus ED est la moitié de AB ; car on a la proportion :
