FA : FE : : AB : ED
Mais FE est la moitié de FA, donc ED est la moitié de AB, donc ED est le côté du polygone isopérimètre au polygone dont le côté est AB.
Par les triangles semblables ABF et DEF on voit que FG ou l'apothème r' du polygone d'un nombre double de côtés est la moitié de FH, qui est la somme de l'apothème r du polygone d'un nombre de côtés simple et du rayon du cercle circonscrit à ce polygone,
donc r = ■ — .
Dans le triangle rectangle CEE, le côté de l'angle droit EF ou R' est moyen proportionnel entre l'hypoténuse entière CF ou R et le segment adjacent FJj ou r, donc on peut écrire : R : R' : : R' : r' ou R" = Rr' ou bien encore R' = i^Rr.
Si l'on prend le carré pour premier polygone, l'octogone qui lui sera isopérimètre aura pour apothème, lorsque le côté du carré est pris pour unité :
ce qui donne après les opérations 0,6035534.
Et pour rayon K i 1^2.0,6035534 = 0,6532.
En continuant les calculs et se servant de R' et de r' comme on s'est servi de R et de r, on obtient des valeurs de R' et de r' qui s'approchent de plus en plus. Après un certain nombre d'opérations on obtiendra une valeur de R', qui sera à peu de chose près égale à celle de r' ; en divisant 4 (le périmètre de tous les polygones consécutifs) par le double de l'une de ces valeurs, on aura le quotient 3.1415926 qui sera le rapport approché de la circonférence au diamètre ; car lorsque R' ne différera de r' que d'une quantité plus petite qu'un millionième, on pourra considérer le polygone qui a ce rayon et cet apothème comme un cercle.
Travail de l'élève Emmanuel Delsaux.
^xijet : Trouver les formules qui servent à déterminer le troisième côté d'un triangle dans lequel on connaît deux côtés et l'angle compris.
Étant donnés les deux côtés a, c et l'angle B, il faut trouver le troisième côté b par toutes 3 les manières possibles.
Première méthode. — Il a été démontré en faisant r = 1 que : sin [a -\- b) = sin a cos b -\- sin b cos a, a sin (a — b) = sin a cos b — sin ô cos a.
J'additionne ces équations membre à membre ; ce qui me donne : sin {a-\-b) -f- sin {a — b) = 2 sin a cos b. (1) / \ Si je retranche maintenant la deuxième de la pre-
/(, C mière, on a sin (a -|- ft) -|- sin (a — b) = 2 sin b cos a. {2)
Soit maintenant {a-]-b) =p et (a — b) = Ç
on aura en additionnant :2a=p -\- q, d'où a
on aura en soustrayant la 2^ de la l'"'^ : 2b = p — q.
d'où b = remplaçant maintenant {a -j- b), {a — b), a et b par leurs valeurs dans les
équations (1) et (2), j'obtiens :
. . ^ . (P-\- Q\ \P — î\ . . r. . Ip — ^\ IP-\-Q\
smp -\-smq^=2 sm j — - — cos I — - — I ; sm^ — sm ^ = 2 sm — — ^1 cos I — —^
Divisant la V^ par la 2®, membre à membre, j'obtiens :
sin p-\-smq
2 sin f?^] cos
Sin » — sm o ^ . p — q 2sm.'
sin
cos
et
tang
donc, on aura, en remplaçant :
smp-\-s\nq \ 2 j
sinp — sin q
tang
On aura donc aussi pour des angles A et B : -^ —
sm A — sin C
tang
Mais, dans le triangle ABC, les sinus des angles sont proportionnels aux côtés opposés ainsi, on a : sin A : sin C = a : c.
Mais dans toute proportion la somme des deux premiers termes est à leur différence comme la somme des deux derniers est à leur différence ; on a donc :
sin A -f" sin C : sin A — sinC = a -{- c : a — c ou sin A -f- sin C a -j- ^
sin A — sin C a — b' Mais j'ai démontré tout à l'heure que
sin A --}- sin C sin A — sin C
donc
Dans cette équation, a -\- b, a — b, — sont connus, car A -|- C = 180
donc je pourrai facilement connaître — - — , car j aurai
log tang (— ^ — \ = log tang I—- — J + log {a ~ b) — log {a -{- b).
Une fois — - — connu, j'aurai le plus grand des deux angles en ajoutant la demi-somme
à la demi-différence, et le plus petit sera égal à la demi-somme, moins la demi-différence. Maintenant que je connais les trois angles du triangle, j'aurai le côté b comme suit :
. . . ^ . ., . , sin B X «
sin A : smB = a : b, donb ^
d'où
sin A log b = log sin B + log <^ — log sin A.
Deuxième méthode. — (On connaît a, c et l'angle B.) Du point A j'abaisse la perpendiculaire AI, j'ai dans
c sin B
le triangle ABI : r : sin B = c : AI d'où AI Maintenant dans le mên r: tangB =BI : AI d'où BI =
Maintenant dans le même triangle on a :
Air' c sin B
Maintenant que je connais Bl, j'aurai IC,
tang B tang B
car IC = BC - BI = a - BI = « 5i^.
tang B
Je calcule ce côté CI que je suppose égal à M.
Dans le triangle AIC j'aurai r : tang C = CI : AI. D'où, tang C = d'où log tang C = log AI -j- log r — log CI.
Je connais donc l'angle C ; dans le même triangle AIC on a
AI X r
AI X r CI '
r : sin C = 6 : AI,
d'où
sin C
Je connaîtrai donc le côté b, car j'aurai log b = log AI ■■{- log r — log sin C.
Langue flamande (quatre heures).
A. Cours supérieur.
Sujet : Landliedeny aen het inoogsten van het graen, worden door een onweder veiTast en vlugten.
B. Cours inférieur.
(Le sujet ne figure pas dans le rapport officiel.)
Classement des établissements concurrents.
DÉSIGNATION
