L. De Fabribeckers
Paul Timmermans. .
Aimable Lefebvre. .
Auguste-Corneille De Coniuck
Collège de Dinant.
Athénée de Liège.
Id. de Tournai.
Coll. de Pitzenbourg,
Travail de l'élève Antoine Lize.
I. Rechercher la loi de formation d'un carré d'un polynôme et extraire (avec démonstration) la racine carrée de 16a«è2 24a^^?3 |. 494^^,4 30^3^5 | 25^2^0 ,
Le carré d'un binôme a -\- b e&i a'^ ~\- 2ah -\- V^, où l'on trouve les carrés des termes et leurs doubles produits.
Le carré d'un trinôme a -\- h -\- c '&Q trouve par voie de multiplication être a^ ■\- 2ab -\- b'^ + 2ac 4" ^bc -{- c^ ; et l'on y voit les carrés des trois termes et les doubles produits de ces termes combinés deux à deux.
L'analogie porterait à conclure que la loi de formation qui est la même pour le carré d'un binôme et d'un trinôme est aussi la même pour tous les polynômes. Mais, l'analogie n'étant pas une preuve suffisante, démontrons que si la loi est vraie pour un polynôme quelconque de m termes, elle l'est aussi pour celui de m -f- 1 termes et nous en concluerons qu'elle est générale.
Soit le polynôme a -\- b -{- c -\- d -\- e -{- h renfermant m -\- l termes; la loi de
formation du carré est supposée vérifiée pour le carré des m premiers termes a -{- b -\- c -{- d -\- e du. polynôme.
Cela posé, représentons par S la somme de ces m premiers termes ; le polynôme deviendra : S + ^ et son carré sera (celui d'un binôme) S"^ -j" 2Sk -f- Â^.
Or, S^ représente les carrés des m premiers termes et leurs doubles produits deux à deux ; le second terme 2Sk représente les doubles produits des m premiers termes par le dernier k, et k^ est le carré de ce dernier ; par conséquent, la loi de formation vraie pour celui de m termes l'est aussi pour celui de m -|- 1 termes. Or, la loi est vraie pour le trinôme ; donc elle est vraie pour le polynôme de quatre, cinq, six termes ; donc elle est générale.
Le carré d'un polynôme quelconque se compose donc des carrés des termes et des doubles produits de ces termes combinés deux à deux.
Soit maintenant à extraire la racine carrée du polynôme
\6a^b^ — 24a^b^ + 49a^b^ — 30a^b^ + 2oa^b'^ Aa% — 2a%^ + bb^
\Ç>aW^ -f 24a5è3 — 9a^6^
4 40a4ô^ — SOd^^è-' 4- 25a2&6 40^404 4. 30a!^&5 25a2&6
Qa^b — Sa'^b'^
Sa^b — 6aM^ + 5&3
D'après la loi de formation du carré, il est toujours deux termes qui ne subissent pas de réduction ; c'est le carré du terme où la lettre ordonnatrice a le plus fort exposant et le double produit de ce terme avec celui ou l'exposant est immédiatement inférieur ; dans le polynôme proposé, ces deux termes sont donc ceux ou la lettre a a les deux plus forts exposants; on peut donc conclure que 16a^è^ et 24a^^ sont, sans réduction, l'un le carré du premier terme de la racine carrée ordonnée, et l'autre le double produit de ce premier terme par le second.
On est donc conduit a extraire la racine carrée de Wa^b'^ qui est éa^h, à en faire le double produit Sa^b, à diviser — 24a^b^ par ce double produit, ce qui donne — Sa^ô^ qui est le second terme de la racine carrée cherchée. Je fais le carré du binôme trouvé et je le retranche du polynôme proposé, il reste : 40a^b^ — SOa^b^ -\- 26a'^b'^ ; reste qui renferme encore les doubles produits des deux premiers termes par le troisième, le carré du troisième et peut être d'autres parties. Le double produit du premier terme par le troisième est encore irréductible, comme provenant de la multiplication des deux termes où restent les plus forts exposants ; on est donc conduit à diviser 40a^'b'* par le double produit du premier terme, il vient bab'^ à la racine ; je fais les doubles produits des deux premiers termes par bab^ et le carré de celui-ci ; le résultat retranché du reste donne 0 .
On a donc retranché successivement du polynôme les carrés des trois termes et les doubles produits de ces termes combinés deux à deux ; on en a donc retranché toutes les
parties qui forment un carré ; il s'ensuit que le polynôme proposé est un carré parfait dont ia^b — Sa-b'^ -\- oab^ est la racine carrée.
La règle ressort du raisonnement et est facile à formuler.
IL — Deux fontaines, en coulant ensemble, dans un bassin, le remplissent en 12 heures. Si elles devaient le remplir, l'une après Vaidre^la première coiderait 10 heures de moins que la seconde. Combien de temps faut-il à chaque fontaine pour remplir le bassin?
Soit X le temps nécessaire à la seconde A.
X — 10 est le temps nécessaire à la première B.
I étant la capacité du bassin :
Si en X, A remplit I. Si en a; — 10, B remplit 1.
En 1 , A remplit - . en 1 , B remplit
En 12, A remplit — du bassin.
en 12, B remplit
Le bassin étant rempli alors par les deux fontaines, on a l'équation :
X X — 10 x^ — \0oG = \2x — 120 + Ux x'^ — Six =-— 120
du bassin.
= 17 db 1-^289 — 120 x=\7 ± (/Î69 «; = 17 ± 13 = 30 ou 4.
Donc la seconde met 30 heures et la première 30 — 10 qui fait 20. L'autre solution ne doit pas être admise ; car elle donne pour x — 10 une solution négative.
IIL — Géométrie. — Problème : Trouver le rapport de la circonférence au diamètre ou le nombre tt, au moyen des périmètres des polygoites réguliers inscrits et circonscrits.
Il faut établir des formules :
1° Etant donné le côté a d'un polygone régulier inscrit d'un nombre quelconque de côtés, trouver le côté x d'un polygone régulier circonscrit semblable, le rayon du cercle étant r.
Soit AB = a (le côté d'un polygone régulier inscrit de n côtés) 0G= r, je circonscris un polygone semblable régulier dont le côté sera CD = a; ; il faut trouver CD en fonction de OG et AB ; dans le triangle COG, AP est une parallèle à la base et l'on a la proportion : CG : AP = OG : OP.
En remplaçant par les valeurs :
