INS
LA MOITIÉ DES POINTS
3* id. L'Vande Winckel, de Bruxelles. 4« id. Alf. Place, de Montigny-s/Sambre . 5* id. Henri Pallemaerts, de Malines. .
ÉLÈVES NON LAURÉATS QUI ONT 0 Henri Blieck
François Van Waes ...
Charles Guille
Travail de l'élève Pierre Vanderschueren.
1° Composition française. — Dernier épisode du siège d'Antioche.
Après avoir enduré bien des souffrances dans l'Asie Mineure, les croisés se dirigèrent sur la célèbre Antioche dont ils crurent s'emparer sans aucune difficulté. Hélas ! ils virent leur espoir déchu, quand ils arrivèrent devant cette grande cité défendue par une forte muraille et un grand nombre de tours : ils ne comptèrent plus que sur le secours de Dieu. Un accident inattendu les sauva : Le fils d'un Sarrazin avait été fait prisonnier par les Musulmans et était soumis aux plus indignes traitements. Pour s'en venger, le père du jeune captif jura de prêter son secours aux chrétiens. Il entretint des relations avec eux et promit de leur livrer la ville. Son projet réussit à merveille.
Par une nuit orageuse, au milieu du fracas épouvantable du tonnerre et du sifflement du vent, il tend du haut du mur une corde qui permet aux chrétiens de pénétrer dans la ville. Cependant ils hésitent d'abord d'y monter : Les Musulmans les avaient déjà trompés tant de fois. Est-ce un nouveau stratagème qu'ils ont imaginé pour attirer les ennemis dans l'enceinte de la ville, et pour les y massacrer tous? Ce Sarrazin qui semble si dévoué aux croisés, n'est-ce pas un traître ? Les croisés l'ignorent ; que faire ?
Cependant l'orage se calme peu à peu, les ténèbres disparaissent insensiblement et vont faire place à la clarté du jour.
Le Sarrazin, voyant l'approche de l'aube, encourage les chrétiens et les presse.
« Pourquoi, leur dit-il avec inquiétude, pourquoi reculez-vous ? Tout facilite l'exécution de votre beau projet, la nature même semble s'unir à vous. L'occasion est favorable, hâtez-vous d'en profiter. Votre courage a triomphé de tant de difficultés ; vous avez montré une bravoure héroïque au siège de Nicée et dans les plaines de Dorylée. Pourquoi craignez-vous maintenant d'attaquer une ville dont les habitants sont abandonnés au repos et se croient en sûreté quand l'ennemi est à leurs portes ? «
Toutes les exhortations du Sarrazin restent inutiles : Les croisés risquent de périr tous sous le sabre des Turcs, s'ils manquent leur conquête.
« Allons donc, continue le renégat, le temps qui vous reste n'est pas long. Les Musulmans vont me surprendre, je vais partager le sort de mon malheureux fils que vous m'avez promis de délivrer. Ah ! rendez-lui la liberté ! Cédez aux supplications d'un pauvre père !
Mais vous restez sourds à mes plaintes. Il semble que vous renoncez à continuer votre entreprise, lorsqu'elle est sur le point de réussir. «
Le comte de Flandre survient en même temps que Godefroid ; ils se disputent l'honneur de commander aux assaillants.
Pourquoi, s'écrie Godefroid plein d'indignation, pourquoi donc voulez- vous retarder la prise de la ville?... Et déjà il saisit l'échelle. Le jeune Foucart de Flandres l'arrête et lui dit d'une voix héroïque :
« Votre dévoûment, noble chevalier, va jusqu'à l'imprudence ; n'exposez pas inutilement une tête si chère que la vôtre. La place du chef est ailleurs, car sa mort pourrait entraîner de grands désastres : le sort de toute l'armée en dépend. C'est moi qui conduirai les assaillants ! « En même temps le jeune Foucart s'apprête à gravir l'échelle, Robert le retient et lui dit.
« Foucart, je crains fort que vous ne fissiez échouer notre assaut, permettez-moi de guider les croisés. ♦»
— « Avez-vous donc oublié, reprend Foucart, que vous avez une famille à réjouir par votre retour ? Ah ! quelle douleur ne lui causerait pas votre mort ! . . . Ne savez- vous pas que vous avez des sujets à gouverner et à rendre heureux ? Qu'en deviendrait-il si vous tombiez sous le sabre des Turcs ? Vos beaux fiefs retourneraient à la royauté et votre peuple gémirait peut-être sous le joug de l'étranger.
Quant à moi, Robert, je suis orphelin ; je vis abandonné sur la terre et je n'ai pour toute fortune que mon épée. Personne ne pleurera ma mort et moi je vais cueillir le fruit des souffï'ances que j'ai endurées sur cette terre : je vais rejoindre dans un autre monde mes parents qu'il me tarde de revoir. »
Robert et Godefroid cèdent à Foucart qui monte à l'assaut. Tous les croisés le suivent et se précipitent dans la ville, aux cris de « Dieu le veut, Dieu le veut ! « Les chrétiens font un massacre épouvantable des Musulmans ; la ville est inondée de sang et les croisés en sont les maîtres.
2" Langue moderne.
Thème flamand. — Jan Paulus Richter, tijdgenoot van Goethe en van Schiller, misschien zoo groot als zij , en niet minder beroemd, wordt, te recht, als de eigenaardigsto schrijver van zijn land en van zijnen tijd aanzien.
Zijn leven was argeloos, eenvoudig, openhartig en gansch aan de studien (leeroefeningen) en de mijmeringen van den letterkundigen mensch overgegeven.
Hier is eeno groote berookte zaal. Te midden staat er eene ruime kachel, met twee nissen, geschikt om des winters ('s winters) te zitten om er te rooken, er te sluimeren of er te mijmeren. Eene oude vrouw^, met haren bril voorzien, breidt kousen bij de kachel ; eene jonge vrouw kookt bij het venster aan de linker zijde. Naar den rechten kant staat er een tafelken without en dichtbij eene wijde kist eikenhout. De man die aan de tafel zit (aan de tafel gezeten) is Jan Paulus. Hij is in eenen dikken jas gewikkeld, waarvan het knoopsgat met eene veldbloem versierd is. Beschouw nauwkeurig zij ne gelaatstrekken : zij zijn lang en ongeregeld, het vuur vonkt uit zijne slecht gespletene oogen en op dit beenachtig aangezicht zult gij een mengsel van natuurlijke goedhartigheid en geestdrift vinden.
Hij trekt, bij elken oogenblik, uit de opene kist aan zijne voeten stukjes papier die hij het eene einde aan het andere plaatst : aanhalingen, mijmeringen, uittreksels, stukken van duizend kleuren. Zoo is het dat hij zijne werken opstelt en zijne werken zullen niet vergeton worden.
De duitschers hebbcn hem don bijnaam van « do uitstekende » gegeven ; zij hebben recht : In niet eene der talen van Europa, is er eene vertaling van zijne werken beproefd geweest.
3° Mathématiques.
avons l'équa
de laquelle nous tirons
Algèbre. — I. Nous avons l'équation : [2a — b) x^ — bx -\- a = 0, b±\/b'^ — ^a(2a — b) ^ ~ 2 {2a — b) '
En effet, dégageons x^ de son coefficient en divisant tous les termes par ce coefficient
2a — b, il vient : x'^ — x -1 = 0.
Ramenons le terme qui est indépendant de x, dans le second membre de l'équa-
tion : nous avons : x^ — x == — .
Cela posé, si nous pouvions faire de telle sorte que le premier membre devienne un carré parfait, une simple extraction de racine ramènerait l'équation proposée à une équation du premier degré. Or il n'est pas difficile -de faire cette transformation. Nous allons opérer de manière à obtenir dans le premier membre, le carré d'un binôme.
Considérons le premier terme x'^ comme le carré du premier terme du binôme et le
second x, comme le double produit du premier terme par le second qui est
inconnu et que nous représentons par i/.
Nous avons donc : 2xu = x, d'où
^~2^r=~6' ^ ~ 2{2a — bf ^ ~[2{2a — b)\'
Ajoutons la quantité —— — au premier membre de l'équation, nous aurons le
carré du binôme : x
Pour ne pas altérer l'équation, nous aurons soin d'ajouter la même quantité — —
L*w [/Cet — 0)}
au second membre ; il vient donc :
^'"^ b ~ 2 {2a- bl - [2 {2I- b}- 2^b
'^~ 2{2a — b)~'^y [2 {2a — è)]^ (2a — b) b I / F^ a b I yb^ — 4a{2a — b)
^~2{2a — b)'^\X 4 {2a — b)^ ~2a — b' ^ ^ 2 {2a — b)"^}/ 4 {2a — bf b \/b^— 4a {2a — b) b ± [/ b^ — 4a {2a — b)
Introduisons l'hypothèse b = 2a dans les valeurs des racines de l'équation, il vient : . 2a + j/(2a)2 — 4a {2a — 2a) 2a -\- [/ 4a'^ — 4a {2a — 2a)
La valeur - est le symbole de l'indétermination ; mais elle peut être aussi l'indice de
l'existence d'un facteur nul, commun aux deux termes de la fraction qui a donné lieu à cette réponse.
Voyons laquelle de ces deux hypothèses nous devons admettre dans le cas qui nous occupe.
Introduisons l'hypothèse b = 2a, dans l'équation et déterminons ensuite la valeur de x, nous avons : (2a — 2a) x^ — hx -\- a = ^, — ôa? -[- a = 0, — bx = — a,
a a \ bx = ay X = ■- = — = -.
Nous voyons que x a une valeur parfaitement déterminée, donc - ne peut provenir
que de l'existence d'un facteur commun nul aux deux termes de la fraction
— ^ . Nous allons mettre ce facteur en évidence et le supprimer.
Multiplions les deux termes de cette fraction par b -\- y b^ — Aa [2a — b), il vient :
„ [b — yb^~^ 4a {2a — b)] [b + |/^— ia {2a —T)] 2 {2a — b) [b -\- \/ b^ — 4a (2a — b)]
Le numérateur est le produit de la somme de deux quantités par leur différence, il est donc égal à la différence de leurs carrés :
Sous cette forme, nous voyons le facteur commun nul 2a — è ou 2a — 2a ; ce facteur
a annulé le numérateur et le dénominateur et il a ainsi donné la valeur -■.
Supprimons ce facteur commun et introduisons l'hypothèse ensuite : Nous avons :
valeur déjà trouvée plus haut.
Quant à la valeur oo trouvée pour l'autre racine, elle satisfait à l'équation qui peut se
mettre sous la forme : 2a — b -| = 0; = 0.
Or une fraction est d'autant plus petite que son dénominateur est plus grand. Donc si ce dénominateur devient plus grand que toute quantité assignable (ou oo ), la fraction devient plus petite que toute quantité connue ou 0.
Par conséquent si nous supposons a? = oo , nous aurons : — 0 -|- 0 = ^ et l'équation est satisfaite. Cette valeur infinie répond au problème, si celui-ci admet des solutions de cette nature, ce qui a lieu surtout dans les applications de l'algèbre à la géométrie.
II. — Le premier placement de x francs est resté à intérêts pendant n années, à raison de r pour 1, ce capital est donc devenu au bout do ce temps x {\ -\- r)^ francs.
De môme, le second capital qui est resté à intérêts pendant n — 1 années, sera devenu X {\ -{- ry^-l et ainsi de suite.
Le dernier porte intérêt pendant un an et devient par conséquent ce (l -[- r). Tous ces capitaux avec les intérêts composés doivent donner A francs, nous avons donc l'équation : a; (1 + r)^ -|- a? (1 -f r)^-l ... x {l -\- r) ^ A.
a? (1 + ry^-{-x (1 + r)'^-l -1- a? (1+ r)^-2 ... a; (1 + r) = A,
Le second facteur du 1^^ membre forme une progr. géom. dont le premier terme serait
(1 -|- r), le nombre de termes n et la raison (1 + r). Faisons la somme des termes de cette
a(gn— 1) progression ; nous avons 5 = —
Nous avons donc :
A; d'où X
Ar
L'inconnue x ne peut pas être calculée directement par logarithmes, nous devons d'abord calculer la valeur de (1 -|- r)^ — 1. Pour cela nous devons déterminer (1 -}- r)^ — 7i\og (l -\-r) — et en soustraire l'unité. Soit 6 le nombre obtenu ; il vient :
Ar
^ = n jir)b' ^^" log a; = log A -f- log r — log (1 + r) — log 6.
Ce qui permet de déterminer x.
Géométrie. — I. Soient les deux cercles A et B tangents au point M. Il s'agit de mener
par le point M une sécante Q ^ -v>^^ qui soit égale à la longueur
donnée l. Supposons le problème résolu ; soit OP la sécante demandée.
Menons la ligne des centres AB. Des centres A et B menons sur OP, respectivement les perpendiculaires AR etBS.
Nous savons que le point R divise la corde OM en deux parties égales. La même chose existe pour le point S et la corde MP. Donc RS est égal à la moitié de OP, ou la moitié de la droite donnée l. Nous connaissons donc RS.
Maintenant menons, par l'un des centres B, la droite BN parallèlement à OP; BN rencontre AR au point N. Puisque la figure RNBS est un rectangle, les côtés opposés RS et NB sont égaux. Comme RS est connu, NB le sera aussi.
De plus l'angle ANB est droit. Donc il est très facile de construire le triangle rectangle ANB et de trouver la direction de AN. Dès lors le problème n'offre plus de difficulté.
Construction. Tracer la ligne des centres AB — décrire sur cette droite comme diamètre, une demi-circonférence ANB — de l'un des points A ou B comme centre avec un rayon égal à la moitié de la longueur donnée, décrire une autre circonférence qui coupe la première au point N — joindre AN ou BN suivant que l'on a choisi pour centre le point B ou le point A — par le point de contact M mener une droite OP perpend. à AN — OP sera la droite demandée.
IL II suffit de calculer la longueur de la droite TO qui joint le point de rencontre des tangentes au centre 0.
En effet les angles OAT et OBT étant droits la droite OT sera le diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère ATBO.
Il est facile de voir que OT est perp. à la corde AB, à cause de l'égalité des triangles rectangles ATO et TOB et des triangles rectangles AMO et MOB.
Représentons la droite OT par x, AO par R ;
AM est égal à -.
Le triangle rectangle AOT donne :
ÂÔ^ = TO X OM, R2 = a? X OM.
Or OM'^ = ÂÔ^ — ÂM^- = R3 1.
Donc R«
S/^^-t iX^R^--^'
Donc le rayon du cercle circonscrit au quadrilatère est
et sa surface est
TZK-
Supposons que c soit le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle 0 ; il suffit de faire dans la formule, c = R [/ 3 ou c' = 3R^.
Par conséquent, la formule devient :
Le cercle circonscrit ou quadrilatère ATBO est donc égal au cercle proposé même. Donc les rayons de ces cercles sont égaux aussi.
Trigonométrie. — I. Nous avons tg2a
R2 — tg2 a , ,1
R^ - iz^ ^ a
d'où nous tirons :
tgafR^-tg-2^a] = R«2tgia; RHg a - tg a tg^ i a =- R'^ 2 tg i a;
1 R^2tg-a
R^^2tgl«-htgatg^la-Rnga; tg« ^ a -f ^
R^ d'où
tg^a
tg a tg^a 2 tg « tg a
IL 1° Supposons l'angle A aigu.
Nous avons d'après un théorème de géométrie a"^ = ^2 j ^2 — 2b X AH.
Or le triangle rectangle ABH donne :
AH = c cos A ;
Donc a^ = b^-\-c^ — 2c cos A.
2° Supposons l'angle A obtus.
Nous avons :
«2 = ^-2 | c2 ^ 2ô X AH.
Le triangle BAH donne :
AH = C cos HAB.
Les angles HAB et A étant supplémentaires, nous avons :
cos HAB = — cos A.
Donc la formule devient :
«2 3= ^2 + c2 — 2bc cos A, d'où
a = ± 1/52 + c^ = 2bc cos A.
Multiplions b"^ -\- c^ par la quan-
-, tité sin^ - A -j- cos^ - A, qui est
e à 1 , et remplaçons cos A par
sa valeur cos^ - A — sin^ r A en fonction de - A : il vient : 2 2 2 '
{pi | c^ (sin2 - A + cos^f- A) — 2bc (cos^ - A — sin^ - A)
a= \X ^>2sin2^ A4-c^sin2-A + &2cos2- A + c2cos2-A — 2&ccos«--A + 26csin- A
a = \/ sin2 -K(p^-\- 2bc -\- c^) + cos-2 ^ A (ô^ — 26c + c^)
+ hf sin-^ \K^{a — hf cos^ \ A.
Divisons tous les termes sous le radical [a ■\- b^ sin^ 5 A et multiplions au-dehors du
radical par [a -\- b) sin - A.
[a — bf cos^ - A
[a -\- hf sin^ - A 4i
Remplaçons
« = (« + J) sin i A iXl +|^;cotg^i A. - — — — ^ cotg^ - A par tg^ «p, quantité calculable par logarithmes.
a = (a + 6) sin - A 1/ 1 4- tg^ <P ; a ^= {a -\- b) ûxi
Ul/i
sm^ <p
/ {a -\- b) sin - A
, , , '. 1 , I / cos2 cp + sin2 cp V -r ; g
= (a 4- è) sin - A |X '■ — = ■
^ ' ' 2 cos^ <p cos <p
Cette quantité peut être calculée par logarithmes. En effet, il vient :
log a = log {a -\- h) -f- log sin A — 10 — log cos <p -\- 10, log a = log [a -{-b) -\- log sin - A — log cos <f .
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