L-icien Leplat

Huy.

Joseph Chenu . . .

Louis Rox ....

Hervé.

Aimé Masure . . .

Ypres.

Jules Comein . . .

Ypres.

Urbain Gombault . .

Saint-Trond.

Adolphe Galant . .

Ath.

Armand Kerkhofs. .

Id.

Laurent De Coninck .

Bruxelles.

Jules Bridoux . . .

Bouillon.

Emile Hannecart . .

Mons.

Georges Lelouchier .

Bruxelles.

Emile Watelet . . .

Courtrai.

Louis Namur . . .

Liège.

J.-M.-P. Dieudonné .

Malines (S'-Rombaut).

Albert Labouverie .

Bouillon.

Joseph Hendrix . .

Badilon Doutreligne .

Courtrai.

Robert Lepère. . .

Bruxelles.

Oscar Gustin . . .

Huy.

Edouard Kenettenorf.

Tournai.

Arthur Kockenpoo .

Ostende.

Ernest Colinct . . .

Chimay.

Constant Ghysens. .

Saint-Trond.

Joseph Lecrenier . .

Travail de l'élève Pierre Dandin.

l""" question. — D'après la définition do la division, diviser 4,138362 par 768, cest choi'clïbr un nombre nommé quotient tel que multiplié par 768, il reproduise le dividende 4138362 I 768 4138362. En comparant le dividende au diviseur je vois que le quotient contiendra :

1» des unités car 768 X 1 = 768 < 4138362

2« des dizaines car 768 X 10 = 7680 < 4138362

3« des centaines car 768 x 100 = 76800 < 4138362

4° des unités de mille car 768 X 1000 = 768000 < 4138362 Mais qu'il ne renfermera pas do dizaines de mille car, pour qu'il put seulement contenir une dizaine de mille il faudrait que le dividende fût égal à 7680000, nombre plus grand que le dividende 4138362. Donc le quotient se composera en général d'unités de mille, de centaines, dizaines et unités simples, et, par conséquent, le dividende sera l'assemblage par addition dos produits partiels ré.siilt!Uit do la multiplication du diviseur par les unités de mille, les centaines, dizaines, et unités simples du quotient. Cela posé cherchons à déterminer le chiffre des unités de mille du quotient; si

nous pouvions détacher du dividende le produit du diviseur par les unités de mille du quotient, en divisant ce produit par le diviseur, on trouverait le chiffre exact des unités de mille du quotient. Mais le produit du diviseur par les unités de mille du quotient ne peut donner au produit que des unités de mille, donc un nombre terminé par trois zéros, donc ce produit ne pourra se trouver que dans les 4138 unités de mille du dividende et les 362 unités ne pourront pas en faire partie, c'est pourquoi je les sépare par un point (.)• Mais 4138 outre le produit du diviseur par les unités de mille du quotient, peut contenir encore quelques unités de mille qui auraient reflué de la multiplication du diviseur par les centaines, dizaines et unités du quotient, plus du reste s'il y en a un. Donc en divisant 4138 par 768, on ne pourra pas trouver un chiffre trop faible. On ne pourra pas non plus en trouver un trop fort, car ce nombre surpasserait le quotient total, ce qui est absurde ; car il est clair qu'en divisant une partie du dividende par le diviseur, on ne peut pas trouver un nombre plus grand qu'en divisant le dividende tout entier par ce même diviseur. Donc en divisant 4138 par 768, on trouvera le chiffre exact des unités de mille du quotient. Il s'agit donc d'effectuer cette division, c'est à dire de chercher par quel nombre il faut multiplier 768, pour avoir au produit 4138.

Si le chiffre des unités de mille du quotient était connu, multiplié par le chiffre 7 des centaines du diviseur, il reproduirait à peu de chose près les 41 centaines du dividende. Mais 41 centaines, outre le produit des unités de mille du quotient par le chiffre 7 des centaines du diviseur, peut contenir en outre quelques centaines, qui auraient reflué de la multiplication des dizaines et unités du diviseur par le chiffre du quotient, plus du reste s'il y en a un, donc en divisant 41 par 7, on est certain de ne pas trouver un chiffre trop faible, mais on pourrait en trouver un trop fort, ce que Ion vérifiera en cherchant si le produit du diviseur par ce chiffre peut se retrancher du dividende partiel. Nous dirons en 41 combien de fois 7, il y est 5 fois; je multiplie le diviseur par ce chiffre et comme le produit 3770 peut se retrancher du dividende partiel 4138, j'ai conclus que 5 est bien le chiffre des unités de mille du quotient.

Je retranche ce produit du dividende total, et il reste 348362.

Le dividende étant la somme des produits partiels du diviseur par les unités de mille, les centaines, dizaines, et unités simples du quotient, si l'on en soustrait le produit du diviseur par les unités de mille du quotient, il est évident que le reste sera composé de la somme des produits partiels du diviseur par les centaines, dizaines et unités simples du quotient. 348362 sera donc un nouveau dividende sur lequel nous raisonnerons comme sur le précédent, avec cette différence et même cet avantage que nous savons déjà que le chiffre des plus hautes unités du quotient correspondant est de l'ordre des centaines d'unités simples. Si le chiffre des centaines d'unités simples du quotient était connu, multiplié par le diviseur, il ne pourrait donner au produit que des centaines, donc un nombre terminé par deux zéros, donc ce produit ne pourrait se trouver que dans les 3483 centaines du dividende et les 62 unités ne pourraient pas en faire partie, c'est pourquoi je les sépare par un point (.). Mais 3483 centaines outre le produit du diviseur par les centaines du quotient peut contenir en outre quelques centaines qui auraient reflué de la multiplication du diviseur par les dizaines et unités du quotient plus du reste, s'il y en a, donc en divisant 3483 par le diviseur on ne pourra pas trouver un chiffre trop faible, mais on ne pourra pas non plus en trouver un trop fort sans quoi ce nombre surpasserait le quotient total de 348362 par le diviseur, ce qui est absurde car il est clair qu'en divisant une partie du dividende par le diviseur, on ne peut pas trouver un nombre plus grand qu'en divisant le dividende tout entier 348362 par le même diviseur. Donc en divisant 3483 par 758, on trouvera le chiffre exact des centaines du quotient. Il s'agit d'effectuer cette division c'est à dire de chercher par quel nombre il faut multiplier 758 pour avoir au produit 3483. Et comme précédemment nous dirons en 34 combien de fois 7 il y est 4 fois, je multiplie le diviseur par ce chiffre et comme le produit 3032 peut se retrancher du dividende partiel, j'en conclus que 4 est bien le chiffre des centaines du quotient.

Je soustrais coproduit du dividende total et le reste est égal & 45162. Le dividende 348362, étant composé de la somme des produits partiels du diviseur par les centaines.

dizaines et unités simples du quotient, si l'on soustrait le produit du diviseur par les centaines du quotient, il est évident que le reste sera composé de la somme des produits partiels du diviseur par les dizaines et unités simples. Donc 45162 est un nouveau dividende partiel sur lequel nous raisonnerons comme sur le précédent avec cette différence et même cet avantage que nous savons déjà, que le chiffre des plus hautes unités du quotient correspondant est de Tordre des dizaines d'unités simples.

Maintenant de même que nous avons obtenu les centaines du quotient, en divisant les centaines du dividende par le diviseur, nous obtiendrons le chiffre des dizaines du quotient, en divisant les dizaines du dividende 45162 par le diviseur; nous aurons donc à diviser 4516 par 758, et comme précédemment nous dirons, en 45 combien de fois 7, il y est 6 fois mais 6 fois serait trop grand, je mets 5 ; je multiplie le diviseur par ce chiffre et comme le produit 3770 peut se retrancher du dividende partiel 4516, j'en conclus que 5 est bien le chiffre des dizaines du quotient.

Je retranche donc ce produit du dividende et le reste est égal 7262. Le dividende 45162 étant égal à la somme des produits partiels du diviseur par les dizaines et unités du quotient, si l'on en soustrait le produit du diviseur par les dizaines du quotient, le reste sera égal au produit du diviseur par les unités du quotient. Donc 7262 est un nouveau dividende partiel sur lequel nous raisonnerons comme sur le précédent avec cette différence et même cet avange que nous savons déjà que le chiffre du quotient correspondant est de l'ordre des unités simples. Nous diviserons ce dividende par le diviseur et comme précédemment nvius dirons en 72 combien de 7, il y est 10 fois mais 10 serait trop grand je mets 9. Je multiplie le diviseur par ce chiffre et comme le produit 6822 peut se retrancher du dividende j'en conclus que 9 est bien le chiffre des unités simples.

Je soustrais 6822 de 7262, il reste 440 qui est le reste de la division. Donc 5459 étant un nombre tel que multiplié par le diviseur il forme un produit qui augmenté du reste do la division 440, est égal au dividende 4,138,392 donc il est bien le quotient de cette division.

2^ qicestïon.

Le plus grand commun diviseur de 2329 et de 629 ne peut pas être plus grand que 629 puisqu'il doit le diviser, donc 629 serait le plus grand commun diviseur demandé s'il divisait 2329. De là nous sommes amenés à essayer la division de 2329 par 629, nous avons 3 pour quotient et 442 pour reste, donc 629 n'est pas le plus grand commun diviseur demandé. Mais je dis que le plus grand commun diviseur de 2329 et de 629 est le même que celui de 629 et de 442. C'est ce que je prouverai, si je parviens à démontrer que tous les diviseurs communs à 2329 et à 629 sont aussi communs à 629 et à 442 ; et que tous les diviseurs communs à 629 et à 442 sont aussi communs à 2329 et à 629. Or tout nombre qui divise 2329 et 639 divise le produit de 629 par 3 mais il divise aussi 2329, donc il divisera leur différence 2329 — 629 X 3 =» 442. (car tout nombre qui en divise deux autres divise leur différence). Maintenant tout nombre qui divise 629 et 442 divise 629 X 3 et comme il divise aussi 442, il divisera leur somme 629 X 3 4-442 = 2329 (car tout nombre qui en divise deux autres divise leur somme). Donc tous les diviseurs communs à 2329 et à 629 sont aussi communs à 629 et à 442 et réciproquement. Donc le plus grand commun commun diviseur de 2329 et de 629 est le môme que celui de 629 et de 442. Donc le plus grand commun diviseur de deux nombres est le même que celui qui existe entre le plus petit de ces nombres et le reste de leur division. Le plus grand commun diviseur de 629 et de 442 ne peut pas être plus grand que 442, puisqu'il doit le diviser; donc 442 serait le plus grand commun diviseur demandé s'il divisait 629. De là nous sommes amenés à essayer la division de 629 par 442. Nous avons 1 pour quotient et 187 pour reste. Donc 442 n'est pas le plus grand commun diviseur demandé. Maintenant de même que nous avons prouvé que le plus grand commun diviseur do 2329 et de 629, était

le même que celui do 629 et de 442, nous prouverons de même que le plus grand commun diviseur de 629 et de 442 est le même que celui de 442 et de 187. Nous serons ainsi amenés à essayer la division de 442 par 187, nous avons 2 pour quotient et 68 pour reste, donc 187 n'est pas le plus grand commun diviseur demandé. Maintenant de même que nous avons prouvé que le plus grand commun diviseur de 629 et de 442 est le même que celui de 442 et de 187, nous prouverons de même que le plus grand commun diviseur de 442 et de 187 est le même que celui de 187 et de 68. Nous serons ainsi amenés à essayer la division de 187 par 68. Nous avons 2 pour quotient et 51 pour reste, donc 68 n'est pas le plus grand commun diviseur. Maintenant de même que nous avons prouvé que le plus grand commun diviseur de 442 et de 187 est le même que celui de 187 et de 68, nous prouverons de même que le plus grand commun diviseur de 187 et de 68 est le même que celui de 68 et de 51. Nous serons amenés à essayer la division de 68 par 51, nous avons 1 pour quotient et 17 pour reste, donc 51 n'est pas le plus grand commun diviseur. Mais comme nous avons prouvé que le plus grand commun diviseur de 1 87 et de 68 est le même que celui de 68 et de 51, nous prouverons de même que le plus grand commun diviseur de 68 et de 51 est le même que celui de 51 et de 17. Nous serons donc amenés à essayer la division de 51 par 17, nous avons 3 pour quotient et 0 pour reste. Donc 17 est le plus grand commun diviseur.

En effet 17 divise 51, et il se divise lui même, donc il divise le dividende de la division 68 ; divisant 68 et 51, il divise le dividende de cette division 187; divisant 187 et 68, il divise le dividende de la division 442 ; divisant 442 et 187 il divise le dividende de la division 629 ; divisant 629 et 442, il divise le dividende de la division 2329.

Donc 17 divise 2329 et 629, d'où je conclus qu'il est le plus grand commun diviseur.

Si les deux nombres étaient premiers entre eux on pourrait le reconnaître à ce signe dans le cours des calculs :

C'est si l'on trouvait pour reste un nombre premier, et que ce nombre ne diviserait pas exactement le reste précédent.

En effet, puisqu'on vertu du principe que le plus grand commun diviseur de deux nombres est le même que celui qui existe entre le plus petit de ces nombres et le reste de leur division, le plus grand commun diviseur doit diviser tous les restes, il doit diviser notre nombre premier. Mais un nombre premier n'est divisible que par lui même ou par l'unité, donc le plus grand commun diviseur ne peut être que ce nombre premier ou l'unité ; donc si ce nombre premier n'est pas le plus grand commun diviseur, nécessairement ce sera l'unité qui sera le plus grand commun diviseur et par conséquent ces deux nombres seront premiers entre eux.

3® question. — 1° Dans toute proportion la somme ou la différence des deux premiers termes est au second, comme la somme ou la différence des deux derniers est au quatrième.

Soit la proportion : 12:3 = 16:4

Elle deviendra 12 ± 3 : 3 = 16 ± 4 : 4.

Nous allons d'abord prouver que dans toute proportion la somme des deux premiers est au 2® comme la somme des deux derniers est au 4®.

Nous aurons 12 H" 3 : 3 = 16 + 4 : 4.

En effet en augmentant chaque antécédent de son conséquent, l'antécédent contient une fois de plus le conséquent, donc la raison est augmentée d'une unité. Or les deux raisons étaient égales, donc augmentées d'une unité, elles le sont encore, donc les deux rapports sont encore égaux et par conséquent la proportion n'a pas cessé d'exister.

Nous allons maintenant prouver que dans toute proportion la différence des deux premiers est au deuxième comme la différence des deux derniers est au quatrième.

Nous aurons : 12 — 3 : 3 -= 16 — 4 : 4. En effet en diminuant chaque antécédent de son conséquent, l'antécédent contient une fois de moins le conséquent; donc la raison est diminuée d'une unité. Or les deux raisons étaient égales, donc diminuées d'une unité, elles le sont encore, donc les deux rapports sont encore égaux, et par conséquent la proportion n'a pas cessé d'exister.

Donc en combinant cos deux propriétés, nous aurons que dans toute proportion la somme ou la différence des deux premiers termes est au second, comme la somme ou la différence des deux derniers est au 4®.

2° Si l'on multiplie plusieurs proportions par ordre, c'est à dire terme à terme, les produits qu'on obtiendra formei'ont une proportion. Soient les proportions :

Si on les multiplie terme à terme on aura :

18 X 24 : 6 X 6= 15 X 16 : 5 X 4. Cette proportion sera vraie, si je parviens à prouver que le produit dos extrêmes est égal au produit des moyens.

Effectuons le produit des extrêmes, il est égal àl8x24x5x4, mais dans ce produit nous pouvons, sans en changer la valeur, intervertir l'ordre des facteurs et nous aurons qu'il est égal à 18 X 5 X 24 X 4.

Effectuons le produit des moyens, il est égal à6x6 X 15 X 16; mais dans ce produit nous pouvons, sans en changer la valeur, intervertir l'ordre des facteurs et nous aurons qu'il est égal à6xl5x6xl6.

Je dis que le produit des extrêmes 18 X 5 X 24 X 4 et le produit des moyens 6 X 15 X 6 X 16 sont égaux.

En effet je puis supposer ces deux produits composés chacun de deux facteurs : 18 X 5 X 24 X 4 = (18 X 5) X (24 X 4) et 6 X 15 X 6 X 16 =- (6 X 15) X (6 X 16). Or le premier facteur du produit des extrêmes 18 X 5 est le produit des extrêmes de la première proportion, et le premier facteur du produit des moyens 6 X 15 est le produit des moyens de la même proportion, donc ces deux facteurs sont égaux. Le 2^ facteur du produit des extrêmes 24 X 4 est le produit des extrêmes de la deuxième proportion et le deuxième facteur du produit des moyens 6 X 16 est le produit des moyens de la même proportion, donc ces deux facteurs sont égaux. Donc ces deux produits 18x5x24x4 et6xl5x6xl6 sont composés de facteurs égaux chacun à chacun, donc ils sont égaux entre eux. Donc puisque cos quatre quantités sont écrites de telle manière que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, elles forment proportion dans l'ordre où elles sont écrites.

Autre démonstration. Nous pouvons mettre les proportions sous forme de fractions, ayant pour numérateur chaque antécédent et pour dénominateur respectivement chaque conséquent et nous aurons :

,o iM Si deux quantités sont égales à deux autres, le produit des deux premières sera

— = -p- égal au produit des deux dernières. Or pour multiplier deux fractions entre elles,

il faut multiplier numérateur par numérateur et dénominateur par dénomina-

- = - . TVT 18 X 24 15X16^ ^ ^ , , • . 1 •

6 4 teur. Nous aurons — — - = -— , — . En remplaçant la barre qui est le signe

de la division par le signe (est à) (:) des proportions nous aurons :

4° question. — On fixit partir d'Ostende pour Verviers, un courrier qui parcourt 8 kilomètres dans une heure ; 9 heures après, on fait partir pour la môme destination un courrier qui fait 12 kilomètres en une heure. A quelle distance de Verviers celui ci atteindrat-il le premier, les deux villes étant distantes do 240 kilomètres.

A quelle distance de Verviers se rencontreraient les deux courriers si celui qui fait

8 kilomètres en une heure, partait d'Ostende, et si au même moment l'autre couri'ier partait de Verviers pour aller à la rencontre du premier.

18 heures 12

Le premier courrier part 9 heures avant le seaond, et il fait 8 kilomètres à l'heure,

donc sur 9 heures, il aura fait 72 kilomètres. 11 est donc 72 kilomètres en avant quand le second se met en marche. Mais ce dernier fait 12 kilomètres en une heure, donc par heure il regagne sur le premier 12 — 8 = 4 kilomètres ; et pour regagner 72 kilomètres il lui faudra autant dlieures que 4 est contenu en 72 = 18 heures. Mais sur ces 18 heures le second courrier qui fait 12 kilomètres par heure, aura fait 18 X 12 = 216 kilomètres. Donc il a parcouru 216 kilomètres à partir d'Ostende, et comme Ostende et Verviers sont distantes de 240 kilomètres, le second a rattrappé le premier à 240 — 216 = à 24 kilomètres de Verviers.

Les deux courriers font ensemble en une heure 12 + 8 =20 kilomètres. Mais pour qu'ils se rencontrent il faut qu'ils parcourent 240 kilomètres. 11 leur faudra donc autant d'heures pour se rencontrer que 20 est contenu en 240 = 12 heures. Mais sur ces 12 heures, le second courrier qui fait 12 kilomètres à l'heure aura fait 12 X 12= 144 kilomètres à partir de Verviers; donc la rencontre a eu lieu à 144 kilomètres de Verviers.

5® question. — Algèbre. — Un rentier partage une somme de 120000 francs en deux parties qu'il place à intérêt, l'une à 4 - %> ©t l'autre à 5 %. H se crée ainsi un revenu annuel de 5800 francs.

On demande le montant de chaque capital.

Soit X la somme qu'il place à 4 - %.

120000 — a? la somme qu'il place à 5 %.

Si 100 en 1 an rapporte 4 - ou -.

2 X 100 ^ X 00 Qx

^^ — — 2 X 100 ~ 2ÔÔ' Si lOÔi francs en I an rapporte 5 francs.

120000 — X rapporte 120000 — x fois plus = ^ ^ ^^^iqq^ ~ ""^ ' Or d'après l'énoncé de la question la somme des intérêts est de 5800 francs. ^ 9«; 5 X (120000 — x) ^^^^ ^, . 9a; , 600000 — hx ^^^^

^"" 2-ÔÔ ^ îôô - "^^^' ^^^ 2ÔÔ + — m — = ^^^'-

En faisant disparaître les dénominateurs nous aurons :

d où —x = — 40000

d'où X = 40000

Donc la somme placée à 4 - % s'élève à 40000 francs et par conséquent celle placée à

5 % vaut 120000 — 40000 = 80000 francs.