I. Soit à résoudre le système d'équations

l/,. + y^ + \/^y -"^ logi/^Ml^-^-

La 2^"« donne log {b'' — xy) = 2 log \/ x^ -\- y^ == log (l/a;^ -\- y^Y = log {x^ -f y«), d'où b^ — xy = x'^ -\- y'^, ou {x^ + y^) + xy ^^h^ {y). En élevant au carré la première des équations proposées, on obtient : x^ -\- y'^ -\- ^'y ~\- 2 y xy (a?"* -{- y^) = a"^,

d'où 2\/ xy {x^ 4- y^) = a^ — b\ et xy {x'- -f- y') = ^^ -. — - .

On connaît donc la somme et le produit des deux quantités xy et x"^ -\- 3/2, donc ces dernières sont les racines d'une équation du 2^ degré : X'^ — è^X -\- — = 0 ;

b^~\- |/m — ia^ — bY &-2 + a [/ 2b^ — on a donc x^ -{- y^ = ^r =

1)1 Q^ XX 2b^ a^

et xy = —^ . En ajoutant xy aux deux membres de l'équation (1), on a

{x-\-yf = b^-\-xy=^ ^ , eta;-l-2/=±^ g '

On connaît maintenant xy et x -\- y ; donc les deux quantités x, y sont encore les racines d'une équation du second degré :

v^^vK 2 + - 2 = °-

On aura donc un premier système de valeurs de a? et y en prenant le signe supérieur devant le coeficient de V, savoir :

En prenant le signe -}- devant le coeficient de V, on a le second système de valeurs

Pour que les valeurs de xeiàey soient réelles, il faut d'abord que 2b'^ soit plus grand que

g^ ou 02 > ou ^» > ± — -^; il faut en même temps que l'on ait 3è^ — a{/2b^ — a^>0

et 3g y 2b'^ — g"^ — è^ > 0 ; cette dernière inégalité montre que a doit être positif, alors on aura toujours Sô^ — a\/ 2b^ — g'^ > 0, car cela revient à W' > 2g^^>2 — g'* ou g4 + 9^>4 2a^^^2 > 0 ou (g"^ — è^)^ -) 80^ > 0, ce qui a toujours lieu ; la condition 3g [/26-2 — g2 > &2 revient à Og* -f ô^ — ISg^ô^ < 0; en égalant à zéro le trinôme 9g* -}- è* — ISg'^'è^, et en tirant la valeur de ô^, on trouve que ce trinôme se décompose ainsi : 9g4 + &4 ISg^^^a' =, (^2 9^2 5^2 |/2) (^^ 9g2 + ôg^ I/2) ; il faut donc, pour que ce dernier produit soit négatif, que l'on ait en même temps ^2 9^2 6^2 1/2 < 0 avec b'- — 9g2 + 6g2 I/2 > 0, ou bien ^>2 9^2 ôg^ ^^2 > 0 avec 6^ — 9g2 -}- 6g'^ |/ 2 < 0 ; cette dernière hypothèse est inadmissible, car on tire de la dernière : 9g2 — b'^ — 6g2 |/2 > 0, et en ajoutant avec 6^ — 9g-^ — 6g'-^ l/2 > 0, on aura — 12g2 \/ 2 > 0, absurdité ; il faut donc qu'on ait ^?^ — 9g'2 — 6g2 ^2 < 0 avec 62 — 9g2 + ^a'' y 2 > 0, d'où b^ < Sg^ (3 + 2 l/2) et ô^ > 3g'2 (3 — 2 l/2) ; cette dernière condition exclut la première è^ > —, car on a 3g°^ (3 — 2 y 2) > -^ ; en effet,

il faut pour cela que 3 (3 — 2 I/2) > ^ ou 2 |/2 <3— iou8<9-f— — 1, ce

qui est une identité ; donc les conditions nécessaires pour que x et y aient des valeurs réelles, c'est que a soit positif et qu'on ait b^ < 3g2 (3 + 2 \/ 2) et b=^ > 3g'^ (3 — 2 l/2),

ou

b <-\-a \/ ^ + 6 1/2 et ô > — g 1^9 — 6 |/2.

II. La question revient à mener par le point T une droite partageant la base ABCD en deux parties équivalentes.

Soit donc un quadrilatère abcd à partager en deux parties équivalentes par une droite menée d'un point t donné sur un côté. Je joins td et te et je mène ag et hh parallèles à td et te respectivement.

Je joins tg et th ; je prends le milieu t' de gJi, et tt' sera la droite demandée, si toutefois cette droite tt' est tout entière dans le quadrilatère. En effet, les triangles tgd et tad. sont équivalents, car ils ont même base td et, puisque leurs sommets a, g sont sur une parallèle à cette base, leurs hauteurs sont égales ; de même, les triangles tch et tbe sont équivalents ; donc, à cause de la partie commune tdt' , le triangle tgt' est équivalent au quadrilatère tadt' ; de même le triangle tht' et le quadrilatère tbct' sont équivalents ; or les 2 triangles tgt' tht' sont équivalents, car ils ont même hauteur et leurs bases gt' y ht' sont égales ; donc aussi les deux parties tadt' , ibet! sont équivalentes.

Il pourrait arriver que la droite tt' rencontre de, non pas entre d et c, mais sur le prolongement de de, en t'^. Alors on mènera t'f parallèle à te, et tt'' sera la droite cherchée. €f I h' r

En effet, les triangles tt"e et tt'f / ^ t C

sont équivalents, comme ayant même base te et des hauteurs égales ; donc, puisque tad et

gd le sont aussi, et à cause de la partie commune tde, la partie tadct" est équivalente au triangle tgt' , c'est-à-dire à la moitié du triangle tgh ou à la moitié du quadrilatère abcd\ donc la partie restante tbt" est aussi équivalente à la moitié du quadrilatère.

Lorsque j'aurai mené ainsi la droite TT' passant par le point donné T, et partageant la base ABCD en deux parties équivalentes, le problème sera résolu, et le plan STT' partiigera la pyramide en deux parties équivalentes.

III. 1° Cherchons les intersections delà droite?/ = a7-}-2avecrune des courbes renfermées dans l'équation t/^ -\- axy — bx^ -\- 2cx = 0 ; pour cela, combinons ces deux équations. En remplaçant dans la 2^, y par sa valeur donnée par la l""", on a a?* (a — b -\- \) -J- 2a7 (a -|- c -f- 2) -j- 4 = 0, équation dont les racines sont les abscisses des points d'in tersection de la droite et de la courbe. Or, comme la droite y = a? -f- 2 est une asymptote de la courbe, les racines de cette équation doivent être toutes les deux infinies ; il faut

donc, pour cela, qu'on ait a — & -f- I = 0 et a -\- c -\- 2 = 0, d'où b = a -\- l et c = (a -I- 2).

2° En remplaçant dans l'équation de la courbe b et c par leurs valeurs en fonction de a, il vient : i/^ -{- aooi/ — (a -\- \) x^ — 2 {a -[- 2) x = 0. Or on sait que les coordonnées du centre annulent les dérivées de l'équation prises par rapport à a; et p. Pour avoir le lieu des centres des courbes comprises dans l'équation précédente, il suffit donc de combiner les 2 équations : 27/ -\- ax = 0, at/ — 2x {a -}- l) — 2 {a ^ 2) = 0; tirons de

chacune la valeur de a: a = et a ^ ^- ; en égalant ces deux valeurs.

on a = ""HTp — ~^2' ^^' ^" réduisant au même dénominateur, et après réductions :y'^2xy Ar x^ — 2y ^2x = ^', la quantité B^ — 4AC est ici égale à 4 — 4 ou 0, donc le lieu demandé paraît être une parabole, à première vue ; mais si nous résolvons l'équation y"- — 2xy -f- a;'^ — 2y-\-2x= 0, en la mettant sous la forme y^ — 2y [x-^\) -|- a;^ -j- 2a7 = 0, nous tirerons

y= ^-y-^ ^--^— -^=«^-f liK(a7+l)-2-(a;"24-2a;) = a;-f 1±1;

donc l'équation ci-dessus représente un système de deux droites ayant pour équations respectivement ?/=a7 + 2eti/ = x. D'ailleurs, on peut décomposer l'équation ci-dessus comme suit : {y — xf — 2 [y ~ x) = 0 ou {y — x) (y — x — 2) =- 0, équation qui

se décompose en deux : y =^ x et y = x -{-2 ; le lieu est évidemment la droite y = x-\-2 qui est la droite donnée, car, comme l'asymptote passe par le centre, les centres de toutes les courbes en question se trouveront sur leur asymptote commune y z= X -\- 2 ; cette droite est parallèle à la bissextrice de l'angle des axes des coordonnées ; pour la construire, on voit qu'en faisant successivement a; = 0 et y = 0, on a y = 2 et X = — 2, donc on prend sur l'axe des y positifs et sur l'axe des y négatifs deux longueurs égales, et on joint les deux points obtenus. Quant à la solution y = a;, elle doit être rejetée, c'est un lieu étranger à la question.