X. . . . . , le 20 janvier 1881. B. P. Fr

Au 31 mars vous payerez à M. N., ou à son ordre, la somme ' , .

de deux mille huit cent francs, que vous passerez sans autre avis • ^

de votre serviteur.

-^ Paul. .5'

A M. Jean, à ^ '.^

6° Mathématiques.

Algèbre.

I. Quand on a deux progressions l'une arithmétique commençant par 0 et l'autre géométrique commençant par 1 , les nombres de la progression arithmétique sont les logarithmes des nombres correpondants de la progression géométrique.

1° Le logarithme d'un produit est égale à la somme des logarithmes des facteurs de ce produit.

2° Le logarithme d'un quotient est égale au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur.

3° Le logarithme d'une puissance est égale au logarithme du nombre multiplié par l'indice de la puissance.

4° Le logarithme d'une racine est égale au logarithme du nombre divisé par l'indice radical. Soient les progressions étendues également des deux côtés de 0 et de 1 .

çn qi q^ q^ q ^ ^ ^ î' î^

Je prends deux nombres a et b dans la progression géométrique ascendante. Soit a = q'>^ et b = q^ , alors ab = ^+n^ mais q^+n a pour logarithme (m -f- n) 5. Donc log ab = {m -\- n) 5. Mais log a = log q^^ = mS ; log b = log q^ = n5 ; d'où log a -j- log b = mS -{- nS ^= (m -\- n) 5. Or, log ab = (m -\- n) 5 d'où il s'ensuit que log ab = log a -\- log b.

Maintenant je suppose b dans la progression descendante égale à — •.

qn qm J'aurai encore ab = — . Si m > n, ab = q^—'*^ et log ab = (m — n) §. Mais

log a = mS ; log b = — n5 en ajoutant log 1 ~{- log b = mS — nS = (m — n) 5- Mais nous avons log ab = [m — n) 5; donc encore une fois log ab ■-= log a -\- log b.

Si m < n, l'aurai ab = et log ab = — (n — m) 5.

^ J gn-m ° ^ '

Mais log a = mS, log b = — nS-, en ajoutant log a -{- log bc, mS — n5 = — (« — m) o.

Mais log ab = — (n — m) S. Donc log ab = log a -{- log b.

Soient a et b dans la progression descendante ; a ^= ■ — et è = — , alors ab •-= ;—

* "^ qm qn gm+n

et log ab = — [m -\- n) 5,

Mais log a = — mS, log 6 = — nS; en ajoutant log a -\- log b = — mS — nS=^ — (m-\-n)S . Or log ab = — (m -}- n) 5 ; donc log ab = log a -\- log b.

II. Deux courriers A et B partent en même temps des points C et D pour aller l'un vers l'autre. Au moment de leur rencontre, le courrier A a fait 40 lieues de plus que le courrier B, et leurs vitesses sont telles qu'il faut encore à A 9 jours pour arriver en D et à B, 16 jours pour arriver en C. Déterminez la distance CD, le point de rencontre T et la vitesse de chacun des courriers.

Solution. — Soit x le nombre de lieues fait par B. x -\- 40 sera le nombre de lieues fait par A et la distance CD =x-\-40-\-x = 2x-{- 40. Le courrier A peut faire en

9 jours X lieues, en 1 jour il fait donc -.

B Do'^c la vitesse de A = -.

Obi

a; 4- 40 Le courrier B peut faire en 16 jours x -\- 40 lieues; en 1 jour il fait donc — r-: — . Donc

la vitesse de B

A fait - lieues par jour; donc il a tait ses x + 40 lieues en = — : jours.