L'infini

On sait que Pythagore faisait du nombre le principe de toutes choses, en disant : Les choses sont nombres. Nombre signifiant chez les Grecs les nombres entiers, les nombres de la série numérique naturelle, cette sentence s'accorde bien, d'une façon générale, avec les études des pythagoricien, précédemment mentionnées sur la théorie des nombres entiers, comme avec le sens mystique qu'ils attribuaient à certaines relations numéri(iues. Il reste, cependant, difficile de donner au texte de cette sentence une signification directement conforme aux mathématiques pythagoriciennes, et il faut, en effet, que cette signification immédiate ait été antérieure aux explications, plutôt idéalistes, données, par la suite, de la phrase en (|uestion.

Tels quels, les mots ne peuvent guère vouloir dire autre clîDse si ce n'est que tout est déterminable numériquement et, comme il ne saurait être question ici que de la grandeur des choses, le sens est que ces choses se peuvent exprimer par (les nombres. C'est même effectivement le cas pour les grandeurs commensurables, quand on choisit une unité suffisamment petite, et il n'y ain^ait donc pas à s'étonner de la sentence si ce n'étaient, précisément, les pythagoriciens qui aient découvert que des quantités de même nature ne sont pas toujours commensurables : |)ar conséquent, la sentence citée est fausse dans son sens littéral.

Toutefois, l'explication que nous venons de tenter, seule

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coiifoniic à l'usage grec du niul nombre, n'csl pas, par cela mtMîie, nécessairement erionée : il se peut que la sentence pylliagorique soit plus vieille que la découverle des quantités incomnionsurables, ou bien même, peut-être, est-ce en essayant (le la justifier que l'on fut amené à découvrir ces quantilés, et une formule philosophique à lariuelle on a déjà attaché maintes considérations n'est pas si facilement mise de côté, alors même qu'on la reconnaît fausse dans son sens primitif; on doit s'efforcer de modifier ce sens de manière qu'il continue dètre applicable, ce qu'auraient peut-être même tenté de faire les pythagoriciens.

Pour le cas présent, pareille modification put être facile : on trouvait l'incommensurabilité des grandeurs en poussant à l'infini les calculs qui servaient à déterminer la plus grande commune mesure, et il n'y avait pas loin de là à soutenir que la plus grande commune mesure est alors infiniment petite, et contenue un nombre infini de fois dans les grandeurs. Dans ce cas, les choses étaient déterminées par des nombres infinis, ou par d'infinies approximations produites par les rapports entre des nombres toujours croissants.

Celte explication, cepentiant, ne serait guère admissible si l'on ne pouvait prouver que ties mathématiciens, pythagoriciens et autres, ont vraiment de leur temps déterminé des (juanlilés de cette manière, par approximation infinie. Sans doute, nous ne possédons aucun renseignement direct sur ces déterminations, mais la campagne qui fut menée contre elles, notamment par une autre école philosophique, celle d'Elée, en atteste l'existence et, par cette campagne, j'entends les fameux sophismes mis en avant vers le milieu du siècle par le fondateur de l'école éléale, Zenon : en général, ils ont pour but de montrer les incohérences auxquelles on aboutit quand on veut composer des grandeurs continues avec des particules infiniment petites en nombre infini.

Deux de ces sophismes démontrent que le mouvement est inipossii)le, et la première démonstration est la suivante : pour aller d'un lieu à un autre il faut, avant d'atteindre ce dernier, accomplir d'abord la moitié du chemin, puis la moilié de la moitié, et ainsi de suite jusqu'à l'infini, ce qui exige que l'on parcoure des bouts de route en

nombre infini. Ce mouvement, dit Zenon, est donc impossible.

Achille aux pieds rapides, dit encore Zenon dans un second sophisme, ne saurait rattraper la lente tortue, car il lui faut d'abord atteindre l'endroit qu'occupe actuellement la tortue, puis parcourir la route faite par la tortue dans l'intervalle, etc., à l'infini : mais cet infini est inépuisable.

Encore que Zenon ait subtilisé jusqu'à nier la réalité i>hysique elle-même du mouvement, la considération sur laquelle il fonde son paradoxe nous intéresse : le mouvement cpii, de sa nature, doit être continu, est impossible selon lui, parce que nous ne pouvons le concevoir tel, étant donné que nous ne pouvons exprimer le mouvement continu par décomposition en moments isolés et distincts. Ces décompositions qu'il combat doivent, cependant, avoir été tentées par ses adversaires. Voyons, au reste, ce qui en est : le premier sophisme met en jeu la justesse de cette asserliun que

( - j +. . . jusqu'à l'infini,

et. dans le second sophisme, il s'agit, si nous admettons que Achille se meuve n fois plus vite que la tortue, de ce que la

somme i h \ r -i-. . . a une valeur finie si l'on augmente

indéfiniment le nombre des termes.

Mais, au temps de Zenon, on savait sûrement calculer le

temps nécessaire à Achille pour atteindre réellement la tortue;

es adversaires de Zenon savaient donc aussi que la valeur

finie de la somme de termes en question, on nombre infini,

est j et les considérations que Zenon prétend absurdes

impliquent si nettement ces résultats positifs, qu'à moins d'admettre, comme moi, que ce soient ses adversaires qui ont établi ces résultats, — ou de semblables, — il faudrait presque les lui attribuer à lui-même : car on ne se met pas ainsi, sans esprit mathématique et sans grande sagacité, à entreprendre de chic des décompositions aussi fructueuses au point de vue mathéuiatique.

Mousvoyons donc qu'au milieu du cinquième siècle on n'était pas sans s'être occupé de la sommation d'une série géométrique

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infinie, sonimalion que nous verrons employée plus tard par Arcliimède, en dues formes cl avec une sûreté plus grande.

A un point de vue slrictemenl logirpie, pourtant, Zenon n'a pas tort : en effet, il ne peut être admissible qu'on se serve de quantités infinies pour démontrer des résultats positifs, tant que l'infini n'est expliqué que par son nom, car il n'y a dans son nom qu'une idée j)urement négative, à savoir qu'il ne peut être atteint. Dans les Mathématiques grecques, on se rangea du côté de Zenon, au point que l'idée tlinfini comme moyen de démonslralion positive fut, au siècle suivant, tout à fait rejetée, ou du moins traitée de manière à défier de semblables controverses.

Mais cela n'eut pas lieu tout de suite : l'école atomislique, qui considérait les corps pliysiques comme composés de ])articules indivisibles, se livra certainement à son tour à une investigation infinitésimale de la composition géométrique de ces corps. Ce fut au moins le cas pour Démocrite, l'bomme le plus imi)ortant de cette école, et l'on rapporte qu'il traita la question de savoir si deux sections i)lanes de cône, parallèles et infiniment voisines l'une de l'autre, devaient être considéi'ées comme égales ou inégales : dans le dernier cas le cône serait scaliformc, tandis que ce serait un cylindre dans le premier, et cette question se i)osait tout naturellement à c[ui voulait calculer par une sorte d'intégration le volume d'un cône, ou plutôt démontrer sim|)lement les théorèmes sur l'égalité des cônes, à la manière dont le font d'ailleurs encore nos traités élémentaires. Que Démocrite se soit occu|)é de questions infinitésimales, les titres de plusieurs de ses écrits, tous perdus aujourd'hui, rindi(|uenl peut-être également : Des lignes et des solides incomniensarables, Des nombres; peut-être aussi ce titre : Du contact du cercle et de la sphère. Néanmoins on no sait rien de son œuvre mathématique et cela, pi'obablement, ])ar la raison qu'à l'époque suivante les Matbémati(iues furent cultivées surtout par des savants qui se rattachent à l'école de Platon et que cette école réprouvait complètement la philosophie de Démocrite..

Démocrite aurait donc approfondi l'idée d'infini de façon à assurer quoique autorité aux spéculations basées sur elle; il en aurait peut-être même montré l'emploi pour de véritables

investigations matliématiques, par exemple pour rechercher le volume du cône, mais cette idée ne put néanmoins se maintenir comme moyen admis de démonstration mathématique et, bien plus que la dialectique de Zenon qui, parlant d'un point de vue philosophique, essayait de prouver l'insuiTisance de l'idée d'infini pour établir des résultats nullement douteux en soi, les conclusions erronées auxquelles elle pouvait servir contribuèrent à battre en brèche cette idée même d'infini.

Comme exemple de ces conclusions, nous citerons la démonstration du sophiste Anliphon affirmant possible la quadrature du cercle, c'est-à-dire la construction exacte du carré précisément égal à un cercle donné, démonstration qui peut — si, du moins, nous nous en rapportons à ses adversaires — se résumer de la manière suivante : on peut construire, dans le cercle, un triangle équilatéral et, par suite, en divisant les arcs en deux, des polygones réguliers d'un nombre croissant de côtés; en poursuivant celte construction à l'infini, le polygone se confond enfin avec le cercle. Tous les polygones étant carrables, conséquemment le cercle l'est aussi.

C'est par de leis abus que fut ébranlée la confiance dans les considérations d'ordre infinitésimal, et elle ne put se maintenir dans les mathématiques proprement exactes, quelque soin ([u'ail apporté Aristote dans sa Physique pour montrer comment la continuité des changements est inbérenle à la natiu^e de l'espace, du lemps et du mouvement. Les sophismes de Zenon, aussi bien que la réponse d'Aristote à ces sophismes, nous montrent toutefois (jue, si on laissa de côté les quantités infiniment petites, ce ne fut pas faute d'intelligence, mais en vertu d'un libre parti, dicté par des considérations logiques. La mélhode inventée avant Aristote par Eudoxe rendait ce parti possible : elle permettait, en effet, de démontrer complètement, sans recourir aux quantités infiniment petites, la justesse des déductions en la matièiT, ce à quoi sert la preuve par exhauslion: mais je ne m'étendrai sur celte preuve qu'après en avoir vu les applications dans Euclide, et j'attendrai, de même, pour expliquer la théorie des proportions cVEudoxe, qui est liée à la démonstration par exhauslion, que nous ayons rencontré celte théorie au cin-