r-^ r-= rz i

une solution de l'autre équation en nombres supérieurs 0^1=2 X -i- y et v,= 2.z" -t-j» , et, si l'on continue ainsi, les valeurs

— ^—^ etc., qui, tour a tour, sont trop petites ou trop grandes,

se rapprochent toujours davantage de sji; on peut partir, si l'on veut, (\q X z= y ^\.

Au reste, les pythagoriciens connaissaient déjà la valeur

approximative 4-

Il se peut, dans des cas spéciaux, qu'on ait entrepris ainsi l'extraction de la racine carrée; tel devait être le cas qui se rattache aux démonstrations, déjà mentionnées en passant, de l'irrationalité de racines carrées spéciales (p. 45 ) et, d'ailleurs, la méthode donnée par Euclide pour vérifier l'irrationalité implique une telle extraction de racine, tout en ressemblant à l'emploi actuel des fractions continues et de leurs convergentes. Cette similitude se remarque déjà dans le calcul que nous avons exposé de \/2; il se peut, du reste, que pour d'autres extractions spéciales de racines, comme

ÉQUATIONS QUADRATIQUES NUMÉRIQUKS. 49

tlnns ce calcul, on sesoil sei'vi égalemenl d'équations iiidéleriiiiiiées du second degré qui, avec les équations indéterminées (comme x^-^- y-=^z'^) à l'aide desquelles on conslituait des exemples numériques oi!i fût évitée l'extraction de la racine carrée, conlribuèrent à développei' cliez les Grecs l'habitude de manier certaines équilions indéterminées du second degré, habitude dont témoignent les écrits de Diophante à une époque bien postérieure.

Mais, précisément, le fait que l'on ait recouru à des méthodes spéciales de ce genre prouve assez qu'on ne fut nullement habile, en général, pour extraire les racines carrées : on disposait pourtant du môme moyen général qu'à jjrésent, à savoir les expressions de {a±b)-, dont la forme géométrique était presque aussi pratique que notre forme algébriciue moderne, et il se peut, notamment, qu'Archimède ait employé ces expressions pour oJJlenir les racines (|ui, malheureusement sans aucune indication de méthode, se trouvent dans sa Mesure du cercle.

Les entiers des racines carrées de quelques nombres entiers à sept chiffres — dans notre numération écrite — auraient alors été calculés à peu près au moyen des mêmes opérations (jue maintenant puisque, pour corriger les valeurs approchées obtenues déjà {a), on (lisi)osait des inégalités

a z:z — "> ^ a- zjz u ~> a ^n •

De même, Archimèdc établissant les limites

a pu, par la fméthode indiquée, tirer ces inégalités de l'approxnnalion — :; ou, plus justement, de la valeur -^,6, approximative de i5 v^3 (:= v/-^^"'— 0- C'est ce qu'on voit en

taisant a = 26, bz=i dans les inégalités ci-dessus: ^ se tire

de la même manière de l'approximation plus simple ^•

Une preuve qu'il n'existait point de méthodes généralcz.

5o LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

menl connues pour extraire des racines carrées quelconques, c'est qu'un A.rchimède, seul, put arriver à déterminer- comme compris entre les limites 3 4 et 3yj, détermination irréalisable avant lui. Ce^qui suit nous montrera, il est vrai, qu'on était en mesure, avant lui, de venir à bout sans grand'peine des difficultés géométriques, mais qu'on avait reculé devant le calcul numérique et l'extraction, qu'il comporte, des racines carrées, calcul inévitable si l'on voulait faire un emploi pratique de ces racines : aussi est-il naturel de trouver la plupart de ces calculs chez Héron qui, lui, se proposait des applications pratif]ues, et l'on vient même de découvrir la méthode qu'il possédait pour les exécuter, méthode qui ne ditTère guère de celle que nous avons attribuée à Archimède. Néanmoins le degré d'exactitude, dans ses déterminations, n'est pas très grand en comparaison de ce qu'atteignait la théorie générale établie depuis plusieurs siècles déjà.

Ses extractions de racines carrées se rattachent, d'ailleurs, à une autre circonstance : c'est chez lui qu'on trouve, pour la première fois, des exemples du traitement d'écpialions numériques du second degré; ainsi nous voyons que, le terme jc- ayant un coefficient numérique a, il changeait ce terme en a-x"^ en multipliant l'équation par a et considérait, après cela, ax comme inconnue. Sans doute, Euclide avait également, nous le verrons, traité de telles équations et, cela, d'une manière générale, applicable encore même si le coefficient a est irrationnel, mais, précisément à cause de sa généralité, cette forme de traitement ne montre pas clairement comment on s'y prenait dans le calcul prati(iue.

Nous voici parvenus jusqu'au temps d'Héron et nous n'avons encore rien dit des calculs exécutés avant lui pour dresser les Tables de cordes d'arc des auteurs astronomiques. Tables établies d'après le système sexagésimal emprunté, entre temps, aux Chaldéens. Héron n'en fait aucun usage; on peut donc admettre que sa méthode est, en substance, la méthode d'origine grecque, mais plus développée de son temps qu'elle ne l'était à l'époque qui nous occupe pour l'instant.

En revanche, les racines carrées qu'on trouve dans Ptolémée sont calculées en unités sexagésimales à peu près de la même manière que nous calculons aujourd'hui des racines en

f:QL'ATIO>S Ql ADRVTIQITS NUMÉ RIQL'IS. 5l

IVacdnns drcimalcs, et il a élé dit précédemment que, de l)oniie heure déjà, les («recs roiinaissaient le fondement tliéori(|uo de ce calcul d'après la fonniile pour {a -^ 0)-; ils eu ixiient donc naturellement venir, l'Aslronomie exigeant de plus eu [dus la précision numéiirpie, à exécuter réelle--' meut ces calculs. (Cependant il se pourrait que les vieilles Tables de nombres sexagésimaux carrés ou cubiques, déjà mentionnées page lo, fussent un indice que l'on connaissait (Tanlique date, en Haliylonie, l'extraction des racines et que, sous ce rapport encore, les Grecs apprirent déjà quelque chose des peuples d'Orient lors que le système sexagésimal fut inlroduit chez eux.

Ce ne sera guère nous tromper que de voir dans la découverte et le traitement ultérieur des grandeurs irrationnelles la source de ce qui fit, et la force principale, et la principale faiblesse des Mathématiques grecques.

D'un côté l'on chercha, d'un elfort continu, à rendre toute démonstration applicable, même à ces grandeurs qui ne se peuvent qu'ap[)roximalivement exprimer par des nombres et l)Our lesquelles, eu conséciueuce, toute démonstration numérique serait insuffisante : ainsi se développèrent les scrupu leuses tendances des Grecs à l'impeccabililé de leurs déduclions et à la [)récision de l'expression, qualités grâce au\([ue]les les Mathématiques sont devcMiues la Science exacte par excellence, et les mots certitude mallièmatique synonymes d'absolue certitude. Les Grecs ont jeté, de la sorte, le fondement nécessaire au sublime édifice d'Archimède et d'Apollonius, et c'est à ce fondement même que dut revenir comme à sou point d'appui la Mathématique moderne quand il lui fallut, après si longtemps, reprendre à nouveau la môme puissance scieutiluiue; bien plus, même de nos jours, elle a recours aux principes logiques développés et tenus en haute estime par les Grecs, soit pour s'assurer, dans la voie arithmétique où elle est engagée, la même certitude que les Grecs assuraient à leurs formes géométriques, soit pour rendre inattaquable le calcul infinitésimal.

D'autre part, une œuvre aussi grandiose n'aurait point dû entraîner lindifTérence pour les essais tendant à calculer approximativement cc([ui ne comporte pas de pleine et entière

cxaclilude : Archimède ne monîia-t-il point que Ton pouvait exprimer d'une manière irréprochable les résultats même d'un pareil calcul? C'est ce qu'il fait, précisément, en indiquant les UiniLes entre lesquelles doivent être situées les quauiités cherchées, mais son exemple ne fut pas suivi dans les autres Ouvrages strictement mathématiques où le calcul pratique en vint bientôt à n'être plus considéré que comme secondaire, et les mathématiciens proprement dits ne lui accordèrent point l'attention qu'il mérite : nous verrons plus tard le grand tort qu'une telle abstention devait causer aux Mathématiques elles-mêmes.