I.A (,11 ADIIATI UE DU CERCLE

coiislniil d'iiboid un lr;i|»('ze, dont liois côtés sont é^^aux chacun à Cl, et le quatrième égal à a\/?) [en puissance trois fois aussi grand que les autres, c'est- à-dire que son carré est trois fois aussi grand que le carré de chacun des autres côtés); on circonscrit un cercle à ce trapèze, et l'on prend la

lunule comprise entre l'arc de la corde a\JZ cl \\n arc plus jielit, sous-tendu par la même corde, et qui soit semblable à l'arc des cordes a. On voit alors que la lunule est égale au trapèze.

Ililipocrate construisit encore une troisième lumile carrable : je vais rendre compte de celte construction et de l'usage qu'en fait l'auteur en reproduisant direclcmonl ici une partie du rapport d'Eudème (').

« Soit un cercle qui ait ]utur diamètre la droite AUi r— 2 r), pour centre le point k. Menons la droite Cl) perpendiculaire

sur le milieu de la droite BK. Inscrivons entre cette perpendiculaire et la circonférence la droite EZ, dirigée vers B et

égale en puissance à une fois et deuiie le rayon ( =: /i /-

Menons la droite EH parallèle à la droite AB. Joignons Kà E et à Z. Soit en H la rencontre de la droite EH et du prolongement de celle menée de K à Z. Joignons enfin B à Z et à H.

^ ' ) Comme a essayé de le restituer P. Tauriery daiis les Mémoires dp la Société de Bordeaux, t. Y, 2' série, 2* fascicule, en le débarrassant des propositions ajoutées par Simplicius ; les parenthèses ordinaires ne renferment que des additions explicatives, faites par P. Tauuery à la traduction du texte grec.

6o LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

Il est clair que l'une de ces deux dernières droites est le prolongement de la droite EZ qui tombe en B, que l'autre, la droite BH, sera égale à la droite EK. Ceci posé, le trapèze EKBH est inscriplible dans un cercle. Décrivons aussi le segment qui circonscrit le triangle EZH. <^Chacun des deux segments sur les droites EZ, ZH sera semblable à chacun des trois segments sur les droites EK, KB,BH./

Ceci posé, la lunule formée sera égale au rectiligne composé des trois triangles « c'est-à-dire au pentagone EKBHZ. . . » ce que l'on peut démontrer par ce fait que chacun des deux segments situés sur EZ et ZH est égal à une fois et demie chacun des trois segments situés sur EK, KB et BH.

TTippocrate démontre encore que l'arc extérieur EKBH de (•elte lunule est plus petit qu'un demi-cercle, l'angle inscrit dans le segment EKH étant obtus, démonstration qui, avec r^os signes, s'exprime de la manière suivante :

EZ^>EK'^-KZ^

Que KB- soit plus grand (\ue 2KZ- doit résulter pour Hippo- Trate de ce que l'angle KZB est obtus, mais on ne dit pas, cependant, comment il le prouve, et il l'a conclu, probablement, de ce que son angle adjacent EZK, opposé à EK et plus petit que EZ, doit être aigu.

Dans le fragment qui nous est conservé l'on trouve encore la construction d'une lunule qui, ajoutée à un certain cercle, donne une surface carrable, et c'est précisément celle lunule dont la (juadralure eût abouti à celle du cercle, mais elle n'est identique à aucune de celles antérieurement carrées et Hijjpocrate, qui était capable de construire lui-même ces lunules de telle sorte qu'elles fussent carrables, dut certainement, quoi qu'en dise Aristote, s'en apercevoir aussi bien que nous.

Pour donner, d'après les investigations qu'on vient de citer, une idée positive des travaux malhémati(iues d'alors, il faut remarcjuer tout de suite, à jjropos d'une construction comme