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celle (11111 Irapèzo an moyen do ses cùlés, la brièveté de l'indicalion; retenons aussi que l'emploi des grandeurs des côtés d'un triangle pour rechercher si un angle du triangle est aigu, droit ou obtus, est considéré comme bien connu, tout comme le théorème suivant lequel les surfaces de cercles sont entre elles comme les carrés décrits sur les diamètres. Pourtant on ne pouvait connaître encore la démonstration euclidienne de celte dernière |iroposition, ni même aucune démonstration dont se fussent contentés les mathématiciens grecs qui vinrent ensuite, mais on aura pu néanmoins se convaincre de la justesse du théorème à l'aide de considérations comme celles dont abusait Antiphon.

On pouvait sans difficulté construire une ligne telle que

ri/--, soit par la méliiode mentionnée en algèbre géométrique pour changer en un carré un rectangle de côtés /• et - /•, soit par application du théorème de Pvthagore. L'inie/-

calalioH de EZ=/'4 /- entre (>[) et la circonférence, de manière que son prolongement passe en B, dépend d'une équation du second degré qu'on savait résoudre à cette époque par construction géométrique, comme nous l'admettons avec assurance; cependant il est possible, et nous l'expliquerons bientôt, qu'on ail procédé difï'éremment pour cette construction.

Les diverses tentatives faites pour carrer le cercle à l'aide de la règle et du compas furent infructueuses, et notre époque a démontré qu'elles devaient l'être. Aussi, le désir (le trouver une solution exacte qui, selon les exigences d'alors, conduisît par construction à une re|)résentation géométrique, ne pouvait-il être satisfait que par l'inlroduclion d'autres courbes que la droite et le cercle; il ne s'agissait pas, d'ailleurs, d'obtenir mécaniquement de telles courbes, et encore moins d'en déterminer une série discontinue de points, car ces points n'eussent ainsi permis qu^une approximation. L'important, là comme en d'autres cas semblables, c'était, par une exacte définition, de constituer une base théoricpie

mathémaliquement sûre, base sur laquelle on put édifier au besoin de nouvelles investigations où figurât la quantité construite; on procéda en cela, comme nous procédons encore aujourd'hui, en introduisant des fonctions nouvelles pour la détermination de quantités qui ne se peuvent représenter qu'approximativement à l'aide des fonctions antéiieurement connues.

Le mieux était alors, bien entendu, qu'une seule et même courbe put servir à ditTérentcs constructions, et qu'ainsi la tiiéorie générale d'une telle courbe fût heureusement applicable pour toutes les constructions.

Ce fut précisément le cas pour une courbe employée à la quadrature du cercle, nommée de ce fait quadratrice, et qui dut être imaginée par Hippias d'Élis pour un aulre problème, celui de la tiiparlition de l'angle : en désignant par / l'ordonnée d'un de ses points dans un système de coordonnées rectangulaires, et par Q l'angle que fait le rayon vecteur du même point avec l'axe des abscisses, nous pouvons représenter la propriété d'après laquelle les anciens la définissaient au moyen de l'équation suivante

où nous désignons par p un angle droit et par b la vah'ur de y correspondante à 9r=p; les angles sont mesurés par les arcs ([u'ils interceptent comme angles au centre d'un cercle de

ravon b, de sorte que o ^= /> — > avec la désienalion maintenant

usuclb.' de t..

j et 9 étant proportionnels, on reconnaît fout de suite que cette courbe peut servir à la division d'un angle en parties égales, ou bien en parties telles qu'elles soient dans un rapport donné, et c'est Dinostrale, le premier, qui la reconnut applicable à la quadrature du cercle ou, du moins, qui démontra qu'elle l'était, en établissant que l'abscisse de son

point d'intersection avec Taxe des abscisses est égale à — ou

—^; car le quotient — ne peut être m plus grand m plus