Prolonger de façon illimitée une ligne droite limitée

3. Décrire un cercle de centre donné et de rayon donné. k. Tous les angles droits sont égaux entre eux.

5. Si une ligne droite, qui en coupe deux autres, forme du même cùlé des angles internes dont la somme soit moindre que deux droits, les deux dernières lignes citées se couperont, sur leurs prolongements, du côté où la somme des angles est inférieure à deux droits.

Les constructions qui doivent servir à composer toutes les autres, d'après ces postulats, sont celles qu'on exécute pratiquement avec la règle et le compas, mais on se tromperait cependant si l'on voulait envisager les postulats à cet unique point de vue : entre autres faits, les deux derniers postulats ne seraient point alors à leur vraie place, et c'est la raison même qui, de très bonne heure déjà, lit commettre à des éditeurs la faute qui consiste à ranger ces postulats parmi les axiomes.

Comme on le voit, nulle mention n'est faite de la règle et du compas : on ne donnerait, du reste, même avec ces instruments, qu'une image incomplète de la ligne droite et du cercle mathématiques.

Les trois premiers postulats eux-mêmes — ce que nous avons déjà dit en général touchant les hypothèses d'Euclide — ne donnent absolument aucune; explication sur la question de savoir d'où et par quels moyens on établit ce qu'on a voulu supposer. Les problèmes des anciens sont, en substance, des propositions sur l'existence, et leurs solutions des démonstrations de l'existence de ce qu'ils traitent ou de ce qu'ils cherchent : de même, les postulats sont àe^ affirmations de l'existence de ce qu'on veut faire admettre, sans démonstration ni preuve. Les affirmations contenues dans les trois premiers postulats veulent donc simplement dire qu'une

(') EucUdis Elemenia; eJidit et latine interpretatus est J.-L. IIeibero Upsia?. i883-88, 8°.

llVPOTIlfeSES GfiOMfiTIlIQlKS DKICLI DK. 99

liyiic droite est possiljlc par (lcii\ poini.v (pielconques donnés, que celle droile peut se piolon',^cr indéfirjiment, et qu'il exisle un cercle possible, élaiil donnés un centre el un rayon (luelconques ou, en d'autres l(M'mes, rpTil y a un cercle de centre donné et passant par un point donné.

En réalité, le troisième postulat doit être entendu de celle façon, et il n'exige en aucune sorte (|ue l'on concède sans dénionstralion l'existence d'un cercle de centre donné et de rayon donné en un autre lieu du plan : on le voit tout de suite à ce qu'Euclide, dans la deuxième proposition, montre que la détermination d'un tel cercle peut se faire, avec les constructions admises par les postulats, à l'aide de la construction d'un triangle équilatéral exposée dans la première proposition. Par la restriction ici sous-entendue, Euclide n'a fait que se conformer au devoir de n'émettre pas trop d'hypothèses : s'il n'eût été qiu^stion que d'exécution pratique au moyen du compas, la position du rayon donné eût été indifi'érenle, et l'on peut affirmer que la méthode indiquée dans la deuxièm.e proposition n'avait point pour but l'exécution prati((ue des tracés.

Avec cette conception du sens des postulats, il est évident qu'il ne suffit pas d'admettre l'existence des lignes droites el des cercles le plus simplement déterminés; on exécute les constructions géométriques en déterminant, au moyen de l'intersection de différentes lignes, des i)oints qui pourront servir ultérieurement à la détermination de nouvelles lignes : il faut alors admettre l'existence des points d'intersection aussi bien que celle des lignes, car elle ne saurait être une conséquence de ces dernières. C'est pourquoi le cinquième postulat établit expressément, en hypothèse nouvelle, que deux lignes droites se coupent : pour que cette affirmation soit réellement vraie l'on doit faire toutefois une restriction nécessaire — restriction qui joue ici le même rôle que celui du diorisme pour un problème. Si le point d'intersection n'était pas posé comme existant en vertu du cinquième postulat, les solutions des problèmes 01^1 l'on se sert de points d'intersection de lignes droites n'auraient absolument pas fourni les démonstrations de l'existence des figures construites, démonstrations qui devaient être le résultat essentiel des constructions.

lOO LES MATHÉMATIQUES GUECQLES.

Si cette considération est juste, on regrettera qu'il n'y ait pas de postulats pour reconnaître aussi bien l'existence des points d'intersection de la ligne droite et du cercle, ou de deux cercles : sans nul doute, la délimitation [larfaile des cas où l'intersection a lieu, réellemonf, exige déjà le développement de plusieurs proposilions, et c'est peut-être parce qu'Euclide ne peut toutdesuile faire celte délimilalion, avec toute la généralité requise, qu'il «'est aiislenu d'établir les postulats en question; toutefois, ]iour que l'emploi du cercle aux constructions soit possible, d'une façon générale, certaines hypothèses sur son intersection avec la ligne droite et avec d'autres cercles sont au moins nécessaires. Quelles sont les hypothèses dont se sertEuclide? c'est ce qu'il nous faut chercher dans les applications qu'il en fait.

On voit, en effet (proposition I, 12), que, pour s'assurer qu'un cercle de centre d(uiné coupe une certaine droite, il fait passer ce cercle par un point situé du côté de la droite opposé au centre, et qu'il considère (propos, i) comme évident que deux cercles, ayant chacun son centre sur la circonférence de l'autre, se coupent en deux points; de môme encore (propos. 22) qu'un cercle, qui passe à la fois par un point intérieur et par un point extérieur à la circonférence d'un autre cercle, coupe cet autre cercle. Il ressort bien des passages en question qu'il s'appuie sur ces hypothèses : ailleurs, il n'avance rien touchant l'intersection d'un cercle avec une droite, ou avec un cercle, sans avoir préalablement démontré l'existence de cette intersection.

Les hypothèses expressément instituées par Euclide ne renferment-elles donc absolument rien sur les hypothèses dont il se sert, en fait, dans les passages cités, et notamment propos. 12, et cela d'une manière qui montre assez qu'il en dut avoir conscience? Les postulats, du moins, non; mais, comme nous l'avons vu, les différences entre postulats et définitions ne sont pas si tranchées qu'il faille s'en tenir à l'examen des premiers seulement. Alors il est clair qu'Euclide peut justifier l'usage qu'il fait de ces hypothèses par ce qu'il a dit dans les définitions, à savoir qu'un cercle est une figure qui enferme le centre, d'où il découle qu'une ligne circulaire coupera une ligne droite suffisamment prolongée en deux points, si elle a

nvpoTnfcsEs Gl5oMf;TRiQL"r:s d'eucliue. lot

loulefois son centre d'un côté de cette ligne et passe par un point qui soit situé de l'autre côté; et qu'elle coupera également une autre ligne circulaire, si elle joint un point interne à un point externe. Hemarr|uons, du reste, ([u'on peut, en certains cas, démontrer d'une pareille manière l'intersection des lignes droites sans recourir au cinquième postulat, en considérant que les périmètres des polygones délimitent aussi des surfaces dont l'étendue n'est pas infinie : Euclide emploie ce procédé (I, 21).

lleste à expliipier comment l'aniimalion f[ue tous les angles droits sont égaux a pu |)rendi'e [)lace parmi les postulats.

Il ressort des axiomes que tous les angles sont égaux s'ils sont congruenls, sinon, non; et l'ariirmation est ainsi exactement la même que celte autre : tous les angles droits sont congruenls. Un angle droit étant alors défini (déf. 10) copime celui (|ui est égal à son angle voisin, le postulat a pour but d'établir que l'angle formé par une droite et son prolongement est d'une grandeur déterminée, ou r|ue le prolongement d'une ligne droite donnée, au delà de l'une de ses extrémités, est déterminé univoquement. C'est bien là ce qu'Euclide a voulu dire, et l'on en acquiert la certitude quand on voit que, en fait, le postulat est précisément appliqué de cette manière : ce qui a lieu dans la démonstration de la proposition I, i4.

Le quatrième postulat est donc un complément du deuxième, à savoir que la détermination du prolongement d'une ligne droite, contenue dans ce dernier, est univoque, et c'est précisément pour cela qu'il a pris place parmi les postulats, et non parmi les axiomes.

Au l'esté, un lecteur moderne ne regretterait point l'absence d'un tel postulat, habitué (lu'il est à tenir compte du nombre dos solutions, et il penserait immédiatement, i)ar conséquent, ([ue Vunivocité est déjà sous-entcMulue par le deuxième postulat; mais, enfin, puisque ce quatrième existe, c'est l'absence d'un autre qu'il faut regretter, venant exprimer que la détermination d'une ligne droite donnée dans le premier postulat est univoque, elle aussi. Euclide fait expressément usage de cette univocité dans la proposition I, 4 où, pour sa démonstration, il se sert de l'argument « que deux lignes droites ne peuvent enfermer de surface »; or cette affirmation coin-

cide al)Solument avec celle-ci : que le premier postulat est univoque, et elle ne se trouve point parmi les hypothèses établies. 11 y a là, à n'en pas douter, une inconséquence que l'on avait déjà remarquée dans l'antiquité, et elle est cause que des éditeurs ont admis l'hypothèse nettement employée I, [\, soit parmi les postulats, auxquels elle appartient au même titre que le postulat I, 4, soit, plus tard, parmi les axiomes : ce nouveau postulat exprime en outre que la détermination d'un point comme point d'intersection de deux droites, au moyen du cinquième postulat, est univoque.

En revanche, Yunivocité du troisième postulat, sur la détermination d'un cercle au moyen du centre et du rayon, n'a pas besoin d'être supposée : là, on peut, en effet, recourir de nouveau à ce fait que, déjà, dans les définitions, le cercle est déterminé d'une manière plus complète que la ligne droite; Euclide est à même, de la sorte, de démontrer dans les propositions III, 5 et 6, que des cercles concentriques ne peuvent ni se couper ni se toucher, qu'ainsi le lieu géométrique complet des points situés à égale distance d'un point donné consiste uniquement en »«f courbe fermée ou, en d'autres termes, que le troisième postulat ne donne qu'un cercle.

Les premier, deuxième, quatrième et cinquième postulats d'Euclide, complétés par l'hypothèse employée proposition I, 4, et d'après laquelle le premier postulat doit donner une détermination univoque; complétés encore, comme nous le verrons, par une hypothèse contenue dans le septième axiome, expriment alors toutes les propriétés sur lesquelles se fonde l'emploi de la ligne droite en géométrie. A son insu, nous le verrons, et sans s'en être rendu compte lui-même, Euclide s'en servit simultanément pour établir les propriétés fondamentales du plan.

La définition expresse du jilan (I, 7) est, en soi, aussi insignifiante que celle de la ligne droite : le plan est encore mentionné dans les définitions 1,8 et 1 5, où il est dit que les côtés d'un angle doivent être situés dans le même plan, et que le cercle est une figure plane ; or, ce que supposent tacitement les postulats posés est ]^lus important, à savoir que les diverses déterminations ont lieu dans un seul et môme plan. Sans cela, le cinquième postulat serait absolument dénué de sens.

IIVI'OTIIÎ'SES GÉOMÉTRIQUES n'i-rri.iDF.. io3

La propriété alliilniée an plan, iiolanimeiil par le premier cl le deuxième postulat, est celle eu vertu de laquelle il roulienl totalement, avec ses prolongements jusqu'à rinlini, toute droite (|ui passe par deux de ses points. Si Euclide avait expressément établi lui-même cette propriété, il y eût pu trouver une base réelle pour les trois premières propositions du onzième Livre disant qu'une ligne droite située en partie dans un plan n'en i)eut sortir, que deux lignes droites qui se coupent sont situées dans un plan (et le déterminent), ot que la ligne d'intersection de deux plans est une droite; au contraire, il donne d'autres démonstrations, parmi lesquelles celles du Livre XI, i, suppose nécessairement la justesse du théorème du Livre XI, 2, lequel, inversement, repose à son tour sur \I, 1 .

Sous le rapport logique, tant en principes qu'en forme, la stéréométrie d'Euclide est traitée en général d'une manière bien inférieure à sa géométrie plane : nous en aurons une preuve plus importante encore à propos de ses axiomes, mais, malgré ce défaut, on verra cependant que les mathématiciens grecs connaissaient dans une très large mesure les théorèmes et les opérations stéréométriques.

Tandis que pour les définitions et les postulats nous avons dû, afin de nous faire une idée exacte des hypothèses, recourir en partie aux applications qu'Euclide en a faites dans ses théorèmes, ceux des axiomes du premier Livre, d'autre part, dont on considère l'authenticité comme indubitable et dont, pour cette raison, nous voulons exclusivement nous occuper, à savoir les axiomes i-3 et 7-8 ( ' ), donnent une idée aussi brève que claire du fondement et de l'application des notions d'égalité €t d'inégalité aux quantités, en général, et aux grandeurs géométriques en parliculier.

La première contribution à la notion d'égalité est fournie par l'axiome premier : des grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles, et l'intervention du mot égal dans l'explication de l'idée d'égalité n'enlève point toute sa valeur à cette explication, ce que l'on reconnaît, notamment,

(') Eiulidis Elementa. Ed. IIeiberg. Lipsiic. i8S3-SS.

lo'i LES MATHÉHATIQLKS GRECQUES.

à ce qu'on ne peut, dans l'explication que contient l'axiome, suJjstituer le moti/ie'^rt/au inote^'«/. Elle ne suffit pas, toutefois, à donner une notion utilisable des grandeurs, car il faut y ajouter qu'une quantité ne change pas si on la divise et si, ensuite, l'on en recompose toutes les parties: c'est la matière des axiomes 2 et 3, qui affirment qu'égal, également augmenté ou diminué, donne égal. Mais il faut, de plus, comprendre encore, pour pouvoir aussi considérer l'inégalité, qu'on obtient quelque chose de moindre si, dans la recomposition, on ne prend pas tontes les parties, et c'est ce que dit précisément l'axiome 8 : le tout est plus grand qu'une partie.

Les mêmes axiomes donnent aussi une explication de l'addition et de la soustraction des grandeurs, en général; ils impliquent, en outre, que l'ordre des termes de la somme est indifi'érent.

Quand une arithmétique moderne (') définitl'idée de grandeur comme il suit : on dit des propriétés des objets qui ne changent pas si l'on en assemble les parties dans un ordre différent, mais qui changent si l'on en enlève des j)arties, qu'elles j)0ssèdent une grandeur; cette définition est parfaitement d'accoi'd avec les axiomes cités, présentant môme l'avantage d'élucider un peu plus directement ce que c'est qu'égal, plus grand, ou moindre.

Cette idée générale de grandeur doit se compléter avec des caractères particuliers qui en rendent l'application possible à des espèces déterminées de grandeurs, comme grandeurs géométriques, poids, etc., ainsi qu'a des quantités numériques purement abstraites; Euclide, pour qui la grandeur géomélri(iue est une quantité abstraite, puisqu'elle lui sert en Algèi)re géométrique à représenter des quantités de toutes espèces, même numériques, doit donner tout d'abord le caractère de l'égalité des quantités géométriques : c'est ce qu'il fait dans le septième axiome du premier Livre, dont nous allons })arler tout de suite, et ce n'est qu'au cinquième Livre qu'il donnera une représentation immédiate des quantités ab-

(') JuLius Petersen, Arithmetik og Algebra iil Skolebrug. Kœbonhavn, 1879, p. 0.

llYI'OTIli'SES G(^;OMf:TRIQlES A)'rX(.l.\l)l-. io5

slraitcs, comme rapports, ainsi qtie les caractères de leur égalité et de leur inégalité.

Les rapports à l'unilé soiil des nombres, dans l'acception moderne et généraU; du mot, mais l'unité n'apparaît qu'au septième Livre et n'y est em|)loyée qu'à titre de mesure pour les (pijinlités commcnsurahles ; aussi discuterons-nous les hypothèses faites à cet égard en nous occii|)ant spécialemenl |)lus tard de ces Livres.

Après ces quelques remarques sur divers procédés d'eslimalion des grandeurs, il nous faut revenir à l'estimation géométrique que l'on trouve au septième axiome du premier Livre : il y est énoncé que les quantités congruentes, c'està-dire celles qui se peuvent superposer, sont égales, caractère d'égalité géométrique précédant très naturellement celui de l'inégalité, renfermé dans le huitième axiome, et qui ne nécessite aucun sup|)lément particulièrement relatif aux quantités géométriques. l*ar le septième axiome, Euclide marque de la façon la plus formelle quel doit être le point de départ de toute recherche sur la gi'andeur géométri([ue : déjà, dans la pratique, on prend ce point de départ en comptant le nombre de parties de la grandeur à mesurer qui, toutes, sont congruentes avec la mesure; on le retrouve (Misuite dans le corps de doctrine d'Euclide, comme dans tous les suivants, où l'on traite des (|uantités géométriques. Égales sont en première ligne les quantités congruentes, inégales deux quantités dont l'une n'est qu'une partie de l'autre ou congruente à cette partie.

Euclide emploie ce môme procédé dans le premier Livre pour montrer comment les égalités et les inégalités de côtés et d'angles d'un même triangle, ou de triangles différents, s'entraînent mutuellement, et les résultats qu'il en déduit sont ensuite combinés avec les bjpothèses générales sur les grandeurs; il s'applique encore à employer aussi peu que possible le principe géométrique et spécifique de la congruence : aussi, dans 1, 26, ne tire-t-il pas immédiatement parti de la congruence pour démontrer que des triangles sont égaux suivant toutes leurs parties si seulement un côté et les deux angles adjacents sont donnés égaux, mais il le conclut par antithèse des cas de congruences antérieures.

Pour les lignes droites et les angles, l'égalité est identique

Io6 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

à la congruence; mais, pour les lignes brisées, les portions de surfaces planes et d'espace, l'égalité peut exister aussi sans la congruence : pour démontrer l'égalité, il suffit alors de combiner les parties congruentes, conformément aux hypothèses générales sur les grandeurs. On trouve le premier exemple de ce fait chez Euclide, I, 35, lorsqu'il démontre que des parallélogrammes de même base et de même hauteur ont la même surface.

Ce n'est cependant que par jiassage aux limites que l'on pourra parvenir aux grandeurs des lignes et surfaces courbes, à celles des surfaces planes limitées par des courbes, aussi bien qu'à celles de la plupart des portions d'espace ; elles ont été recherchées dans l'antiquité par la méthode d'exhaustion et exigent, en partie, l'introduction de nouvelles hypothèses : c'est ce que nous verrons lorsque nous jjarviendrons au douzième Livre d'Euclide, ou bien en discutant aussi les travaux d'Archimède.

En revanche, nous devons dire tout de suite que la façon dont Euclide emploie, en Stéréométrie, l'axiome de congruence qu'il a posé dans le septième axiome, est affectée d'une lacune très importante : cette lacune tient à ce que, dans sa Stéréométrie, aucune distinction n'est faite entre congruence et symétrie, mais il est visible, toutefois, qu'Euclide ne lient pas pour congruentes les figures symétriques, car, en ce cas, il eût cru posséder dans le septième axiome une base suffisante pour les déterminations de volumes. Au lieu de cela, il établit une nouvelle hypothèse qui puisse convenir aussi bien aux figures congruentes qu'aux figures symétriques : dans la dixième définition du onzième Livre, sont définiea égales et semblables les figures d'espace qui sont limitées par le môme nombre de figures planes égales et semblables (c'est-à-dire congruentes). Cette définition contient — outre une nomenclature — uîie hypothèse géométrique, donc un axiome, à savoir que ces figures doivent être aussi égales en volumes ('), et cet axiome sert, Liv. XI, 29 pour démontrer que des parallélépijjètles de même base et de

( ' ) Cauchy a démontré que des figures de cette sorte sont en réalité toujours congruentes ou symétriques.

NOTE SLR LES HYPOTHÈSES DE LA GÉOMÉTltlE. IO7

même hauteur ont des volumes égaux; en outre, on peut en conclure (Liv. XI, ?.8) que les deux prismes trilalères dont se compose un parallélépipède ont des volumes égaux; or on sait que les prismes ([ue l'on déplace dans la première démonstration sont congruenls, et que les prismes trilatères de la dernière proposition peuvent se changer en prismes congruents par déplacement de leurs parties. Euclide, cependant, n'en a point l'ait la remarque, car l'introduclioa d'nn nouveau jMincipe pour l'égalité des solides eût alors été superlliic cl, par conséquent, contraire au procédé euclidien ordinaire.

Le septième axiome n'a été, pour rem])loi que nous venons d'indicpier ici, qu'un signe d'égalité géométrique ou, si l'on veut, une définition de c<'tle égalité; mais il recèle, en tous cas, une véritahle hypothèse géométrique ou un axiome d'importance très essentielle, axiome exprimant qu'il peut être question, en réalité, de figures congruentes, c'est-à-dire de déplacement de figures en d'autres endroits de l'espace. D'après l'axiome d'Euclide, ce sont les grandeurs géométriques qui déterminent tout ce qui demeure invariahle durant un tel transport, mais ce en quoi consistera la transposition n'est nullement caractérisé; l'axiome même n'en |)arle aucunement, et les applications montrent que l'on pensait à la transposition empiri(iue, connue d'après les solides physiques dits invariables.

Quand nous avons dit, précédemment, (pic l'axiome I, 7 est nécessaire pour caractériser parfaitement une ligne droite, nous avions précisément à la pensée l'hypothèse dont se sert Euclide, par exemple dans la démonstration des tliéorèmos de congruence, et d'après laquelle la transposition ne change point une ligne droite.