Hypothèses géométriques d'Euclide

Les hypothèses sur lesquelles Euclide fonde la Géométrie se trouvent dans les définitions, postulats et axiomes, de ses différents Livres.

Celles du premier Livre offrent un intérêt particulier parce qu'elles sont, avec les résultats successivement édifiés sur elles, à la base de celles des autres livres; aussi nous y arrêterons-nous, mais en les complétant tout de suite avec quelques-unes des hypothèses nouvelles, introduites ultérieurement : pour celles qui se rapportent à des théories particulières, comme la théorie des proportions, nous n'en parlerons qu'à propos de ces théories mêmes.

On trouvera certainement, à la première lecture des définitions, postulats et axiomes d'Euclide, qu'ils ne sont nullement au niveau des prétentions de forme et de logique élevées, comme nous l'avons dit, par les anciens : on y verra, par exemple, que diverses définitions ne disent absolument rien de ce qui est à définir, et ne donnent aucune garantie du fait qu'il existe réellement quelque objet répondant aux définitions.

La définition de la ligne droite ('-) n'apprend rien de mieux que si l'on eût dit : il y a une certaine espèce de lignes, qui s'appellent droites. Quelle sorte de lignes elles sont, c'està-dire quelles sont les propriétés des lignes qu'on emploierait de nos jours à la définition, il faut attendre, pour le savoir,

(') Hj'pothèse au sens général et vulgaire du mot; mais le contexte semble suffisamment l'éclaircir. Suppositions serait plus conforme au langage vulgaire.

(-) Les définitions de la droite et du plan, dans Euclide, sont d'ailleurs obscures et leur véritable sens était déjà perdu du temps de Proclus : «La ligne droite est celle qui est ex aequo en tous ses points. » — « Le plan est la surface ijui est ex œquo pour toutes les droites qui y sont situées. » Ces définitions paraissent provenir de la teclniique de l'art de bâtir, et n'avoir dès lors ru'iin ■ portée empirique (T\

HVI'OTIlfcSES GÉOMÉTRIQLT.S d'kICI.IDE. 9*»

les postulais (jiii contiennent l'l)ypollièse que la ligne droite possède telle et telle propriété : les postulats mêmes, et les axiomes, sont souvent exprimés avec une brièveté qui les transforme en énigmes et qui est en opposition frappante avec les détails circonstanciés traitant tout ce qui est théorème et démonstration proprement mathématiques.

Le fait est que le mathématicien renvoie aux définitions, postulats et axiomes, toutes les hypothèses (|u'il se croit autorisé à faire dans son domaine et, cela, sans explications du comment, ni raison du pourquoi.

Le devoir du mathématicien est dcMlonner préalahlement la spécidcation complète de ce qu'il veut supi)oscr et, en outre, de le faire assez clairement pour que, le cas de s'en servir échéant, il en résulte évidemment qu'il n(^ tire exactement parti que de ce à quoi il s'est réservé le droit de roroui'ii-; mais les abstractions qui l'ont conduit à établir les notions préalables et à leur attribuer, dans les postulats et les axiomes, les propriétés déterminées qu'il leur donne, bien plus même, la pieuve préalable qu'il ne leur a réellement attribué ni trop ni trop ]ieu de propriétés, tout cela ne le regarde pas. Il n'est, en sa qualité de mathématicien responsable que d'une chose : c'est de mettre celui qui lui concède toutes ses hypothèses dans la nécessité, par des déductions certaines, de lui concéder de même tout ce qu'il en déduira lui-même.

Ainsi, sa conclusion devra pratiquement prouver qu'il a fait un nombre suffisant d'hypothèses. Le fait qu'il n'ait pas émis trop d'hypothèses ne saurait être prouvé aussi directement; mais, s'il avaitcommis cette faute, il serait exposé à se voir prouver, par d'autres, que tellea de ses hypothèses étaient contradictoires, ou pouvaient dériver les unes des autres.

Pour bien juger les hypothèses géométriques expressément établies par les anciens, notamment par Euclide, il faut considérer 7f<<i//e.ç elles sont, plutôt que de s'attacher au manque d'indications sur leur origine, ou à la forme sous laquelle elles sont présentées. On voit alors que ce sont les mêmes que celles sur lesquelles aujourd'hui encore nous basons la Géométrie, et qu'elles ont été présentées avec une sûreté et

96 LES MATHÉHATIQLES GRECQUES.

une plénilude dignes de continuer à servir de modèle à ceux qui pourraient avoir l'occasion d'en compléter ou d'en modifier certains points; toutefois, afin de les comprendre entièrement, nous devrons çà et là toucher aux formes insuffisantes (pour une intelligence moderne du moins) sous lesquelles interviennent plusieurs d'entre elles.

Commençons par tirer au clair les définitions qui peuvent donner lieu à quelques remarques.

Le />oi/>^ est défini par son indivisibilité (I, déf. i). Puis on passe à la ligne : longueur sans largeur (I, 2), à la surface, avec longueur et largeur (1, 5"), et au solide : longueur, largeur et épaisseur (XI, i).

Ces définitions n'élucident nullement comment on parvient aux concepts de point, ligne, surface et solide; mais, comme une hypothèse sur laquelle il faut bâtir, elles supposent qu'on est en possession déjà de ces concepts, et que l'on entend ce que [lailer veut dire en attribuant au point o dimensions, à la ]ign(; 1, etc., et cela implique aussi ([ue l'on comprend que la ligne soit un lieu géométrique de points, la surface et le solide des lieux géométriques de lignes et de surfaces.

Pour acquérir réellement ces concepts, il ne faut pas suivre, régulièrement, cette marche synthétique du point à la ligne, à la surface et au solide, mais la marche analytique inverse, en parlant du solide comme de quelque chose d'immédiatement donné, en considérant la surface comme limite du solide, etc. : cette marche, d'ailleurs, n'était pas inconnue des anciens, comme on peut le voir à une autre série de définitions (XI, 2, I, 6 et I, 3) qui, sans constituer chez Euclide des définitions nouvelles de la suiface, de la ligne et du point, indiquent simplement comment, solide, surface et ligne sont délimités.

J'ai déjà remarqué, en passant, que ce n'est pas dans les définitions, mais seulement dans les postulats en y joignant l'un des axiomes, (pi'il faut chercher l'explication de ce qu'est une lignedroite. L'existence de la ligne circulaire, également, n'est établie que dans les postulats, tandis que la définition, qui leur est antérieure (I, i5) paraît trop en dire sur ses propriétés : celte définition, en effet, non seulement nous apprend que tous les points de la ligne circulaire sont à la même dis-

iiYPOTUfesES Gi^:oMi':Tiiini r.s n'ii n nu:. <)7

lance du ccnlrc, mais iiuliqiio en outre (|ue le cercle luimême est une figure, c'est-à-dire une portion de plan limitée par la ligne circulaire, — et que le centre est situé à l'intérieur de cette ligne. S'il n'est donc pas dit que la ligne circulaire doit comprendre Ions les points. jouissant de la propriété mentionnée tout d'abord, toujours est-il que la première des indications oflre un movcn i)récienx de distinguer entre la ligne entière et l'arc de cercle, et c'est par là fpi'elle mérite de conserver sa place parmi les délinilions. Nous verrons, au reste, que si ces données n'avaient point trouvé place ici, il eùl fallu les comprendre parmi les postulats, sous une forme ou sous une au Ire.

Au contraire, la définition du diamètre du cercle (I, 17) contient une addition qui est sûrement superlluc, et pour la définition, ei,de i)lus, en tant qu'hypothèse, puisqu'il y est dit, non seulement que le diamètre passe par le centre, mais encore qu'il partage le cercle en deux parties égales : or ce dernier point est une proposition qui se démontre par la congruence des deux parties en lesquelles le cercle est divisé; mais, peut-être aussi, un éditeur postérieur l'a-t-il intercalée dans la définition, parce qu'elle ne se trouve efTectivemcnt tlansauciui théorème d'Euclide.

La définition de Vangle. par Euclide, est presque aussi vide en soi que la définition de la ligne droite. Il y est toutefois suppléé par les axiomes qui établissent à (juels critéria l'on reconnaît ([u'une quantité géométri([ue est égale, supérieure, ou inférieure à une autre de même espèce : en effet, ces critéria sont également applicables aux angles el, comme on sait en outre que des angles peuvent être additionnés, ils acquièrent ainsi des grandeurs bien définies (cf., p. 104); remarcpions, du reste, (jue la définition primitive de l'angle est encore valable tout aussi bien pour l'angle formé par des lignes courbes. On utilise cette notion, III, iG, ]iour montrer que la perpendiculaire au diamètre, en nu [loint de la circonférence, forme avec le cercle un angle moindre (ou se rapproche plus du cercle) que toute autre ligiïe droite.

Les postulais que pose Euclide dans le premier Livre sont z. -T

gS LES -MATHÉMATIQUES GRECQUES.

les suivants, d'après la plus récente et la plus sûre revision (lu texte (') :