I -I- fi -f- 9.- -i- . . . 2" rz: 2""^' — I

D'ailleiu's, nous devons attacher h celte représentation (\('> produits et des i)uissances d'autant plus d'importance (|u'elle est demeurée jusfju'à pi'ésent le rondement des études ali;éhriques (\u\ prétendent à la généralité, et non restreintes aux iioiidires rationnels.

La proposition \ , •>'!, dit (pie : si

a : c = d : f et si

il s'ensuit alors

{r(-^b):c=icU-e):f;

eette proposition est presfpu' de même espèce que celles qui précèdent les propositions sur les rapi)orts composés. Cependant elle trouve seulement place ici par la raison que la projtosition '.}''. sert à déduire des deux proportions données, après inversion des rapports dans la deuxième (formation des valeurs réciproques), que

d'où à l'aide de i8, il résulte que

Une nouvelle composition des rapports (selon 2?) conduit alors à ce qu'il fallait démontrer : et la première de ces deux applications de la proposition 22 est intéressante, puisqu'elle montre que la division de rapports n'exige point de nouvelles propositions particulières.

La proposition 2,j dit que, si quatre quantités sont proportionnelles, la somme de la plus grande cl de la plus petite est

supérieure à la somme des deux autres : on le démontre au moyen de 19. tn cas particulier, dont on ne parle pourtant pas ici, consiste en ce que la moyenne entre deux grandeurs (moyenne arithmétique) est plus grande que leur moyenne proportionnelle (moyenne géométrique) : on le démontre par l'algèbre géométrique (VI, 27) et l'on en tire le diorisme pour les équations du second degré.

Si, malgré son exposition géoméirique, la théorie des proportions donnée dans le cinquième Livre est parfaitement générale et applicable à toutes sortes de quantités, elle n'en avait pas moins besoin d'un complément qui, selon la méthode des anciens, fût géométrique. L'existence des rapports résulte des définitions dès que l'on a des quantités susceptibles de former des rapports, selon la définition \; toutefois, ainsi rpie nous l'avons indiqué plus haut en passant, l'existence d'une fpianlité telle que, jointe à une quantité tlonnée, elle forme un ra|)port de valeur donnée, nécessite une démonstration (\ue l'on effectue i)ar construction géométrique d'une quatrième proportionnelle.

Ce complément géométrique des proportions se trouve dans le sixième Livre, qui renferme en outre les plus importantes applications de celte théorie à la géométrie, notamment aux ligures semblables, ainsi qu'à sa combinaison avec l'algèbre géométi'icpie; et le but inqiorlant que l'on atteint, grâce à cette combinaison, est de représenter géométriquement et de résoudre les équations du deuxième degré dans lesquelles ,r- est affecté d'un coefficient : quand ce coefficient a était rationnel, les anciens savaient, il est vrai, comme nous l'avons vu (p. 5o), transformer l'équation en une autre d'inconnue aa^, sans coefficient du terme carré — au contraire, si le coefficient est irrationnel et qu'il faille le figurer l)ar un segment, l'algèbre géoméirique ordinaire à deux dimensions devient insuffisante.

Considérons la proposition i, où l'on démontre que les triangles et les parallélogrammes de même hauteur sont proportionnels à leurs bases : ici, la définition euclidienne et générale de l'égalité des rapports trouve une excellente application; les bases égales déterminant des surfaces égales, l'interprétation

r.A Tiiï^;oRif: (;f;.\f;iiALK i)i:s i-isordu i io>s. i9..j

(le relie (léfiiiilion coiidiiil direclemeiil ;i lit itropo.silion ^'éiiélale, sans qu'il ail clé nécessaire, couiuk' on le fail dans nos Irailés modernes, d'élendre, en le généralisanl après coup, le cas où les fiiianlilés de même nalnrc sonl commensnrahles.

Après (pioi, siiivcnl les proposilions 2 cl 3 sur les iransversales parallèles dans le Iriangle, cl sur la division (Tun cùlé du Iriangle par la ligne (|ui pailage en deux l'angle opposé (bissectrice); puis les proposilions capitales (4-7) sur les triangles semhlables : on les démontre par construction d'un triangle semblable à l'un des triangles donnés, et congruent à l'aulie, et on les p(Mii ap|ili<|iier loiil de suile (8) à un Iriangle reclangle et aux deux triangles dans lescpiels il esl divisé par la bauleur sur l'Iiypolénuse.

9-i3 contiennent la division d'un sei:ni('nl en parties égales, ou pro|)orlionnelles, ainsi que la consiruclion de la troisième pro|)orlionnelle (c'esl-à-dire de la quatrième à et, h el b), de la quatrième elde la moyenne proportionnelle : celte dernière construction esl la même qu'on a déjà appliquée, en algèbre^ géométri(iue, à la détermination du colé d'un carré égal à un l'ci-tangle donné, — mais il fallait alors la démontrer au Iremenl.

Ensuite, c<î sonl (i4-:i3) des pro|)osilions sur le rap|)orl entre les surfaces des figures, mais nous avons déjà parlé de la principale propriété sur les aires des parallélogrammes à angles égaux : dans la démonstration (19) établissant que le rapport de triangles semblables — comme nous disons aujourd'bui — esl égal au carré du rapport entre deux côtés bomologues, on ramène, poiu" pouvoir le comiioser avec lui-même, le rapport {a\b) de ces deux cotés à la forme b:c, de telle sorte que le rapport carré devient a'.c. Ce groupe de propositions contient encore la suivante : dans une proportion, le reclangle (produit) des termes extéiieurs esl égal au rectangle des termes intérieurs (16).

A l'aide de la tbéorie des proportions, la Un du Livre Iraite (28-29) l<-s applications de surfaces généralisées, lue généralisation, précisément indépendante de la tliéorie des proportions, consiste à remplacer les rectangles par des parallélogrammes d'un angle donné quelconque; mais cette dernière transformation reste sans inlluence sur la sienirication géo-

124 LES M.VTllKMATIQUES GUECQUKS.

métrico-algéblique de ces problèmes, et nous en pouvions faire abstraclion pour ne parler que des rectangles. Alors les problèmes doiH il s'agit sont les suivanis :

Sur un segment donné {a) appliquer une surf ace donnée (B) sous forme d'un rectangle {de hauteur x) et tel que le rectangle manquant ('28), ou en trop (29), soit semblable à un rectangle donné {de côtés c et d).

Los solutions sont exactement les mêmes que celles que nous avons déduites (p. Sj-Sg) de 11, 5 et 6, pour les cas où les figures, manquant ou en trop, doivent èlre des carrés, excepté cependant que les carrés d'alors sont remplacés par des rectangles qui sont semblables au rectangle donné • la similitude apparaît nettement à ce qu'une seule et même droite est diagonale pour les deux rectangles semblables.

Afin de mettre en évidence l'extension donnée à l'algèbre géoniétri(|ue par ces propositions, nous nous servirons de la représentation algébrique suivante des problèmes, et des déplacements de figures (jui les résolvent :

B T= ar — : -, ./- ' d

c y- , d fa

représentation dans laquelle, par l'emploi moderne de?^ signes, nous avons voulu éviter un double énoncé. Il s'agit, pour

trouver .r, de construire le rectauiile - ( - 1= -..r ) semblable

au rectangle donné et égal à la ditïerence ou à la somme

des surfaces connues

et r>. Pour cela — B étant sup-

posé être une ligure rectiligne donnée — on se sert du problème 2.J, déjà mentionné à propos des pythagoriciens :

LA TlltOUIi: r,f:NÉ[iALE l)i:S PHOI'OHTIO.NS. I '•)

("oMsliuire une ligure (|ui soit égaie à une ligure iccliiigue donnée et semblable à une aiilic

Le pi'oblénie 28 exige, coimiic dioiisnie, f|ne

OU ijieii (pie la ligure donnée, IJ, ne soit au plus égale au reelangle conslruil sur la nioilié du segment a, el send)lal)le au rectangle donné cd : ce diorismc csl adjoint au problème à la manièr(î ordinaire, mais la nécessité en est démontrée dans la précédente proposition ■>.- avec la même transposilion <pu' celle (|ui sert dans 58. Comme nous l'avons déjà remarqué au l)aragraplie 1 1, ce diorismc sera sans doute directement issu de l'analyse qui correspond à l'exposition syntliétique de 28; et, si l'oii rcm|)lace le rectangle cd par un carré, le diorisme dit alors (pi'un carré est plus grand qu'un rectangle dont la somme des côtés soit la même (résultat qui découle également, comme nous l'avons déjà noté, du Livre Y, 2.5).

La proposition 3o traite de la division d'un segment eu moyenne et extrême raison : la construction a déjà été indiquée une fois (II, 11, p. 42), et s'appuyait aloi's sur II, 6; la même construction s'appuie encore sur la proposition VI, 29, (|ui est une généralisation de II, 6. La raison pour laquelle Kuclide se répète est la même que pour la construction des moyennes proportionnelles; à savoir, (\ue ce problème est, celte fois, grâce à la tbéorie des projiorlions, autrement exprimé qu'auparavant.

La proposition 3i com|)reiid l'exlension du lliéorème de Pythagore à des figures semblables quelconques et consti-uites sur les côtés d'un triangle rectangle; de |)lus, en vertu de cette proposition 3i que l'on attribue à Euclide lui-même, on peut effectuer à l'aide du triangle rectangle l'addition de figures dans les applications de surfa.ces de 28 et de 29, si B toutefois est donné comme semblable au rectangle c<r/, ou lui est rendu semblable.

Dans la proposition 33, la dernière du Livre, on démontre que les angles au centre, ou insciits dans un cercle, sont proportionnels aux arcs correspondants.

Connue on le voit, donc, lecin(iuièmeel le sixièmcLivre cou-

126 LES MATllÉ.MATIQUES GRECQL'ES.

(iennenl les principes nécessaires à un trailenienl exact et parfailement générai, i)ar la tliéorie des proportions jointe à i'algèijre géométrique, de proJjlèmes qui, dans notre algèbre, dépendent d'équations du premier et du second degré. Les autres Iravaux conservés nous prouvent bien que l'on a réellement utilisé ces principes, en particulier le traitement géométrico-algébrique des seclions coniques d'Apollonius, de rnème que de fort nombreuses questions (jui nous furent conservées par Pappus; il y avait même une préparation expresse à toute cette besogne algébrique : il est aisé de s'en apercevoir à diverses propositions (.les Data d'Euclide énonçant une foule de problèmes de cette espèce, dans les formes dont nous avons parlé, et dont on jugea utile de pouvoir considérer la solution comme si bien connue, pendant la continuation dos recberches d'analyse, que l'on put se contenter d'y ramener simplement les nouveaux problèmes.

Ce que nous exprimerions |)ar une équation du premier degré à coefficients quelconques, les Data, pour avoir une forme valable, en général, l'expriment par une proportion. Pour ne donner qu'un exemple, entre cent, la proposition i5 des Data tlit que : si l'on ajoute des quantités données à deux (puinlités qui sont dans un rajiport domié, ou bien les sommes elles-mêmes sont dans le rap])ort donné, ou bien le surplus de l'une, excédant une quantité donnée ('), est avec l'autre dans le rapport donné.

Cela écpiivaut à déterminer .v par la propoition

La première des alternatives mentionnées exprime que .r peut être nul, à savoir si

On évite, d'ailleurs, un .r négatif en remplaçant l'équation pai' la suivante :

( a — m ^ : ( h ^ /t — ./•)=: «7 : fi.

(') A savoir .r, donnée, non pas comme liypotlièso, mais en vertu tie la construction à faire d'après la démoistration de la proposition. Nous dirions plutôt aujourd'hui : que l'on peut déterminer. (P. T.)

(iIl.VM)EL"llS COMMENSLRABLES ICT I.l-I R TltAH r:.>Ii:M M Mf^TMOI i;. 1 27

Noms avons déjà dit |)i<''(('Mloiiiiiieiil (p. 88) (|ii(; les iJaLa rcnfonneiil des [iroljlèiiics diiecleiiieiil lédiicliljlcs à des applicalions de siuCaccs.

(loinnie types de propositions dénotant, dans les Uaia, la notion do pioljlèmcsqni flé|)cndenl [dus indiieetonicnld'éciuations dn second degré, noimiiun^ ici les |)io|tositions 85 et 8- : si deux segments comprennent, sons un angle donné, un parallélogramme de grandeur donnée, et si la somme ou la différence des carrés ( construits j sur ces segments est donnée, les segments sont, aussi donnés. Fn d'autres termes, on connaissait (sous forme géométrique) les solutions des écpiations

jL-y =. a, ./•- ± y"- -=. h.

17. — Grandeurs commensurables et leur traitement numérique: septième-neuvième Livre d'Euclide.

Dans le septième Livre, lùiclide introduit une uinu- par laquelle on exprime en nombres entiers les grandeurs (|u'elle mesure : il traite ensuite, dans ce Livre et les deux suivants, des nombres entiers, de leiu-s rapports et autres relations entre eux. Pour les nombres entiers, ce Livre présente des pi-oposilions sur les |)roporlions, propositions (pie le cinquième Livre a déjà démontrées en toute généralité : mais il faut dire aussi que la ibéorie générale des proportions du cinquième Livre était assez nouvelle et, par consérpient, n'était point encore suffisamment développée pour servir à établir tout ce qu'elle embrasse dans la réalité; — ainsi, cette théorie des proportions nous fut (raiismise au septième Livre selon l'ancien mode de traitement, dans lequel on ne tient aucun compte de ce que les termes des rapports peuvent être incommensurables.

La raison pour laquelle on ne pouvait laisser tout simplement de côté la théorie des rapports entre nombres entiers, comme impliquée dans la théorie plus générale déjà exposée, c'est que, pour ceux-ci, il fallait considérer autre chose que ne le fait la tliéorie générale, notamment les questions de divisibilité et la simplification des rapports numériques : on le voit immédiatement à ce fait que, pour les

LES MA] llf:.UATIQi:i:S (JRUCQLES.

noniljres, Euclide donne une (Irjinilion nouscllc de la piopoi-

lionnalilé, \à définition 20. Suivant cette détnntion, -j —- ~

lorsque « et c sont, soit les mêmes miilliples, ou la mcMue partie aTKiuote, soit les mômes parties aliquotes de b et de d, c'est-

à-dire si, en même temps, a = m - et c

m — ; sans doute,

en ce qui concerne l'égalité des rapports, celte définition ne

renl'erme rien d'autre que ce qu'impliquait déjà la cinquième

définition du cinquième Livre, mais on verra i/ienlôt que,

selon la manière dont ou l'utilise, elle introduit cependant

une hypothèse qui n'est pas sans importance.

Les propositions i et 3 étahlissenl et démontrent les règles connues pour la détermination de la plus grande commune mesure : il y est démontré — tlirectement — qu'on ohtient une commune mesure, et — antiihéliquemcnt — qu'on obtient la plus grande.

4 établit que, a et h étant des nombres entiers, et /' leur plus grande connnune mesure, on peut toujours écrire

a ■=■ mf, h z=z nf et, par suite, a =.i)i - : si a < h, alors ni'^ 1 ,

//>!, D'après cela, m et n sont des nombres premiers entre eux; et si, maintenant, s'appuyant sur cette délerminalion, on cherche à vérifier selon la définition 20

que - = -•> on introduit alors l'Iivpotlièse que, si tel est le cas, ^ b d

le dernier facteur -) de c = //? -, est un nombre entier n n

donc

que «, s'il divise un produit nul aV (pi'il soit premier avec l'un des facteurs m, doit diviser l'autre facteur d.

('ette proposition fondamentale de la théorie des nombres est donc déjà comprise dans les hypothèses, et il n'importe guère, au point de vue théorique, qu'Euclide ait basé plus tard sur ces hypothèses plusieurs des propositions qu'impli(pie la précédente; ainsi, dans 3o, lorsqu'on dit fpi'un nombre premier (|ui divise un produit doit aussi diviser l'un des facteurs de ce i)rodui t. Les hypothèses en question sont employées

uolammenl dans la itroposition 20 : si y = -, et si c et d sont

GUANDELIIS COMMKNSURABLES l-T ].TX\l TIIAITEMK.M MMfiltlQI K. I l'j

aussi petits que possible, c divise a et f/ divise 0, Cette dernici-e proposition est importante pour la démonstration par laquelle on parvient à la proposition 3o.

Comme on le sali, on se sert, dans la démonstration réelle du lliéorcme fondamental cité, de celte circonstance que. si a et ^ sont |iremiers entre eux, k est le plus grand commun diviseur de ka et de /•/>, — proposiiion qu'Euclidc no fait point entrer dans son Livre et qui découle des règles de déierminatlon du plus grand commun diviseur. Ce qui manque, dans Euclide, c'est une démonstration pour établir <pie

la transformation, décrite dans 4, de a en m - est l'unique possible

pour lacpielle m et n soient premiers entre eux.

De ce (|ue nous venons de dire, il résulte sans doute quEuclide ne donne pas à la théorie des nombres entiers une base aussi profonde qu'à la Géométrie et à la théorie i\e< iirandeurs générales continues; mais le soin qu'il apporte, par ailleurs, à exposer et à établir la nombreuse série des projiositions essentiellement théoriques prouve assez, toutefois, qu'il voyait bien la nécessité, en Arithmétique même, d'un traitement exact, et qu'il faisait usage des opérations pour la théorie desquelles il dépense tant d'application. Cependant, les trois Livres arithmétiques n'ont point eu jusqu'à nos jours pour la Mathématique l'importance fondamentale ({u'eurenl les Livres antérieurs, et une parlie des suivants; aussi nou< eontenterons-nous ici de quelques reinar(|ues très peu nombreuses sur le restant de leur contenu.

La théorie des rap[)orts, au septième Livre, n'est en principe qu'un exposé des propositions générales les plus importantes em|)loyées dans le calcul des fractions. (Aussi, contrairement à ce que nous avons fait pour le cinquième Livre, avons-nous écrit les rapports sous forme de fractions.)

Les proportions continues, que traitent le huitième et le neuvième Livre, sont, comme nous l'avons déjà dii, la forme antique des progressions géométriques, mais employées ici avec des termes entiers : les rapports entre des termes à indices différents dans une telle série figurent la forme antique des diverses puissances des nombres entiers et des fractions. Certaines propositions sur les racines sont Le résultat d'une intercalation de moyennes proportionnelles, z. 9

l3o LES MATHÉMATIQUES C.RECQLES.

Les propositions les plus impoitantes qui aient été obtenues, pour la théorie des nombres, sont les propositions 20 et 36 flu neuvième Livre : la première démontre l'infinilé de la suite des nombres premiers par ce fait ([ue le produit de tous les premiers nombres premiers + i, ou bien est un nombre premier supérieur, ou bien encore contient en facteur un nombre premier supérieur; la deuxième annonce que le produit (i -4- 2 H- 2--4-. . . + 2") 2", si le premier facteur est un nombre premier, constitue un nombre « parfait », c'est-à-dire tel qu'il soit égal à la somme de ses parties aliquotes (p. 28), ce dont il est facile de démontrer la justesse, puisque — comme nous l'avons déjà dit (p. 120) — la proposition 35 nous donne la sommation,'nécessaire ad hoc, des progressions géométriques.