Grandeurs incommensurables; dixième Livre d'Euclide

Si, à propos du dixième Livre des Éléments, le ])lus étendu, nous n'entrons guère dans le détail, ce n'est pas que le travail qui y est consigné — travail commencé par ïhéétète et achevé par Euclide — ait trop peu d'importance pour mériter notre pleine attention : au contraire, en dé[)it de l'exécution soignée de ce Livre, la difficulté que l'on rencontre quand on veut, d'un coup d'reil, en embrasser le contenu, provient de la lâche pénilde qui consiste à distinguer, sans aucun système de signes, entre les grandeurs irrationnelles qui s'y trouvent classées.

Aussi, bien que les classifications en (piestion soient employées ensuite pendant longtemps, ce Livre, toutefois, ne put acquérir une importance historique aussi durable que tant d'autres parties de l'œuvre d'Euclide, et la raison en est que, par la suite, le langage des symboles, môme aux premiers stades de son développement, va procurer un aperçu beaucoup plus simple des différentes espèces de quantités irrationnelles; et, nous-mêmes, nous contenterons de donner ici, à l'aide des symboles modernes, une idée de ce que sont lesgi^andeurs classées dans ce Livre, sans nous préocuper des dénominations au moyen desquelles Euclide en fait la classification.

Pour ce qui est de ces dénominations — afin d'éviter toute mépi'ise aux lecteurs du texte même d'Euclide — je ferai

CnANDELRS I.NCOMMENSL RABLES.

seulcmciil roiiurquer que, c|uan(l il parle de giaii(J«Mirs raiLonnelles, il n'ciitend pas iiiiifiiicmenl celles f|iii sont coin mensurables avec l'unité, mais encore celles dont les carrés le sont on, selon ?on expression, qui « sont conimensurablcs en puissance » avec l'unité. Au reste, Euclide ircnijjloie pas ici le terme d'anùf', au sens qu'il a dans les Livres consacrés à la théorie des nombres, mais nous désignons ainsi une quantité choisie arbitrairement, considérée comme rationnelle et qui, dans le contexte, joue le même rôle qu'une unité.

On s'assure de la commensurabililé et de l'incommensurabilité, comme nous l'avons déjà dit (p. '|5), en essayant de déterminer directement la plus grande commune mesure : l'incommensurabilité se reconnaît alors à ce que cette opéralion peut se continuera l'intini, tandis que les restes successifs diminuent sans cesse et au-dessous de toute limite fixée. Oite décroissance à l'infini est traitée par Euclide avec la même rigueur scientifique que toute approximation indéfinie chez les anciens, et, cela, toujours à l'aide de la qualriénu; définition du cinquième Livre : il en déduit (prop. i) qu'en soustrayant d'une grandeur donnée plus de sa moitié et, ensuite, des restes successivement obtenus, plus de leur moitié, on peut arriver finalement à une grandeur plus petite qu'une autre grandeur arbitrairement donnée.

A partir de cette proposition, il entreprend d'abord (|uelques investigations générales sur des quantités irrationnelles, sans tenir compte de leur formation et, de même, sur de nouvelles quantités irrationnelles com|)osées avec ces dernières; puis nennent des reclierches particulières sur les racines carrées, notamment celles que nous avons déjà mentionnées à propos des cas où ces racines apparaissent comme rationnelles et, notamment, sur les triangles rationnels rectangles. Les formes des grandeurs irrationnelles qu'il établit plus loin sont des racines quatrièmes de f|uantités rationnelles, des expressions de la forme /ji: \j' p- — q, \ P'^ 7 — P^ \' a±\J b, ainsi que les racines carrées de ces expressions ou, plus exactement, comme nous le verrons par un exemple, certaines transformations de ces racines carrées en sommes ou en différences : les termes de ces dernières se déterminent

l3o LES ilATHÉMATIQLES GRECQUES.

iilors au moyen d'équations de la forme œ--hj- = c(, -^J = l>, dans lesquelles a et 6 eux-mêmes ont déjà une forme donnée. En dehors des définitions des différentes classes de grandeurs irrationnelles, le travail qu'Euclide exécute ici consiste principalement en démonstrations propres à établir que les quantités formées sont irrationnelles et, en général, différentes les unes des autres; au reste, ce dernier point comporte la nécessité de faire ressortir expressément les cas particuliers pour lesquels une expression de l'une des formes peut se réduire à une forme plus simple, ou être composée d'expressions de formes plus simples : et, de cette façon, la transformation connue de l'expression doublement irrationnelle

en une irrationnelle plus simple appartient à cette catégorie.

Cette transformation est respectivement effectuée, 54 et 91,

pour les signes -h et — ; on l'emploie ensuite, dans 5- et 94,

pour transformer l'expression \p±i\p'^—q, dans le cas où 7 n'est pas un carré, en

C'est à cette forme que conduisent les équations des propositions 39 et 76, dont le but est d'établir l'existence des irrationnelles, dites majeure et moindre: et les opérations au moyen desquelles on effectue ces transformations, ou d'autres semblables, sont représentées, sous la forme de l'Algèbre géométrique, mais, au fond, ce sont les mêmes qu'on exprimerait aujourd'hui en langage algébrique et que l'on emploierait à résoudre les équations correspondantes.

19. — Éléments de Stéréométrie; polyèdres réguliers; onzième et treizième Livre d'Euclide.

Tout en faisant preuve, dans son dixième Livre, d'une très profonde habileté d'algébriste lorsqu'il traite des problèmes

fai^;Mi'\Ts UK STÉriÉOMÉTiui:. i33

(lu'oii iiljoi'dcrait à préscMil par iiiic r(''>ohiUoii répélée'd'équalions du second degré, Euclide crée en particulier des moyens nouveaux pour désigner les grandeurs auxquelles il ahoulil dans sa détermination des cotés et des arêtes des polygones et des polyèdres réguliers; mais, avant d'en arriver là dans son treizième Livre, il lui faut exposer tout d'abord, dans le onzième, les premiers éléments de la Stéréométrie.

Dans les premières j)ropositions relatives à la position récipro(|ue des droites et des plans, on rencontre dès l'origine les mêmes théorèmes et les mêmes démonstrations que dans les traités modernes : Euclide doit ici cependant, comme en (léométrie plane, à côté des théorèmes, faire place aux constructions, puisque c'est par elles que se font les démonstrations nécessaires de l'existence des figures en question. Et si l'on veut bien considérer que les constructions à l'aide de plans ne sont pas préparées ici comme le sont, dans les postulats du premier Livre, les constructions au moyen des droites, on voit rpril est obligé do les ramener, autant cpic possible, à des constructions planimétiiques : c'est ainsi qu'Euclide abaisse ([troposition ii) une |)erpendiculaire sur un plan à jiartir d'un point A, situé en dehors de ce plan, en menant d'abord, du point A, une perpendiculaire AD à une droite cpielconque BC du plan, puis, de A, une perpendiculaire sur la droite du plan qui est, elle-même, perpendiculaire sur BC au pied D de la première perpendiculaire. Il ohtient ensuite (12) la perpendiculaire en un point quelconque d'un plan en abaissant d'abord, d'un point extérieur, une perpendiculaire au plan, puis en menant par le point donné une parallèle à cette perpendiculaire.

Euclide comprend en particulier, dans son Livre, les propositions qui peuvent trouver plus tard leur application dans la recherche et la construction des parallélépipèdes et des polyèdres, par exemple, dans 20 et 21, les propositions connues sur les faces d'un angle solide, trièdre ou quelconque. Après quoi, la construction d'un angle trièdre dont les faces soient données est préparée dans 22, et exécutée dans 28 : elle s'eîfectue en sectionnant des segments égaux sur les côtés des angles donnés comme faces, puis, avec les hases qui sont opposées aux angles donnés dans les triangles isoscèles ainsi formés,

l34 LES iMATHÉMATIQUES GRECQUES.

on construit un triangle que l'on inscritdans un cercle; le centre de ce cercle est alors la projection du sommet Irièdre cherché. La possihilité de cette construction est démontrée soigneusement, à condition toutefois que les faces satisfassent aux conditions posées dans les propositions 20 et 21 : et voilà bien rendu évident le fait que ces conditions sont suffisantes.

Le reste du Livre traite notamment des parallélépipèdes, des rapports entre leurs grandeurs, et se termine par la détermination du volume d'un prisme triangulaire; d'ailleurs, les démonstrations de volume souffrent de la lacune que présentent les hypothèses géométriques sur les grandeurs stéréométriques, et dont nous avons pari'' plus haut, page 106.

Le douzième Livre contient, entre autres, la détermination du volume d'une pyramide : nous aurons l'occasion d'en parler plus amplement, en même temps que des autres déterminations obtenues dans ce même Livre au moyen de la démonstration ])ar exhaustion.

Le reste de la Stéréométrie se trouve dans le Livre suivant, XIII, qui comprend la détermination des cinq polyèdres réguliers ainsi que celle de la grandeur de leurs arêtes, étant donné le diamètre de la sphère circonscrite : pour cela, quelques lemmes géomélrico-algébriques sont indispensables, tout comme une détermination des côtés des polygones réguliers plus complète que celle qui fut fournie, dès le quatrième Livre, par la construction des polygones.

Les premières propositions s'expriment, en Algèbre moderne, de la manière suivante : si x et r sont les sections d'un segment a divisé en moyenne et extrême raison, et que l'on suppose j;'> r, alors

(i ) j' -H - = - v'^ [(2) est la léciproque de 1];

(4) a'^^y'—Zx"-,

(5 ) cC- -zr^ X {a + x)\

d'où l'on conclut, dans (6), que x et >' appartiennent à cette espèce d'irrationnelles qui devaient prendre le nom ù'apotonies dans le dixième Livre.

ÉLÉMK.MS DE S TfiUtOMj^lTItin:. l35

Puis viennent quelques pioposilions sur les cùlés des pentagone, hexagone eUlécagone réguliers : à remartpier, nolaninieul, dans la dixième, une élégante dénionslratiou établissant rpie, |iarnii les trois cùlés de ces polygones, le premier est rhypoténuse, les deux autres sont les cùlés d'un triangle rectangle.

La proposition ii, se fondant sur des considérations géométri(pies, calcule le cùté du pentagone, étant donné d, diamètre du cercle circonscrit; la détermination euclidienne aboutit directemeni à calculer ce cùté de la njanière cpie nous

indiquerions par -4/ <,:.), mais les moyens manquenl

à Euclide potu" établir une telle expression : il se contente d'exprimer le théorème en affirmant que le cùté du pentagone, d étant rationnel, est irrationnel, de la forme (pi'il appelait « irrationnelle moindre », dans son dixième Livre, et de donner à sa détermination réelle la forme d'une démonstration de cette aflirmalion. Il est vrai (pie cette démonstration est prolixe : et la cause en est dans le fait qu'Euclide devait prouver expressément qu'on ne peut faire disparaître l'irrationalité double, car dans ce cas la (luanlile irrationnelle appartiendrait à une autre classe.

12 détermine le cùté d'un triangle équilaléral.

i3 construit un tétraèdre régulier, et montre que l'arête /." est égale à d\i, en désignant par d le diamètre de la si)lière circonscrite.

i4 construit un octaèdre régulier et prouve que A^ ^ <:/\/t.

i5 construit un hexaèdre régulier et prouve que k ^d\^^.

iG construit un icosaèdre régulier et, en effectuant un calcul réel, démontre que l'arèle est « une irrationnelle moindre ».

17 construit un dodécaèdre régulier et, par exécution d'un calcul réel, démontre que son arête appartient aux grandeurs irrationnelles dites apolomes.

18 montre, sur une seule et même figure, les constructions des dilTéreiites arêtes : cette figure sert eu même temps à les comparer entre elles.

Ces constructions prouvent que les cjnq polyèdres régu-

l3G LES MATHÉ>IATIQL'ES (iRECQLKS.

lieis existent réellement; ce à quoi lu proposition linale du Livre ajoute une démonstration établissant qu'ils sont les seuls possibles.

La plui)art des édilions d'Euclide comprennent encore un livre, dit quatorzième, qu'il faut attribuer à un matbématicien un peu plus récent, Hypsiclès, et un quinzième Livre qui est certainement beaucoup moins ancien; on en fait, d'ailleurs, les appendices de l'œuvre d'Euclide parce que, comme le dernier Livre d'Euclide, ils traitent des polyèdres réguliers.

Le Livre d'Hypsiclès constitue etïeclivement un progrès dans l'étude de ce sujet : comme exemple des propositions qu'il contient, nous pouvons citer celle qui dit que les cercles circonscrits aux faces d'un icosaèdre et d'un dodécaèdre réguliers sont d'égale grandeur, à condition que les deux polyèdres soient inscrits dans la même sphère. En tant que monographie, ce Livre n'appartient plus, à proprement parler, aux Eléments, mais c'est un joli type des investigations dont s'occupaient les mathématiciens de l'époque alexandrine et, d'après son avant-propos, il forme la continuation de recherches semblables qui remontaient au grand géomètre Apollonius.

A ces œuvres sur les polyèdres réguliers, i-altachons encore un autre travail qui traite d'un sujet voisin, à savoir la détenninalion par Archimède des polyèdres semi-réguliers, c'est-à-dire de ceux qui sont limités par des polygones réguliers de différentes espèces : dans un ouvrage perdu, mais dont Pappus nous rend compte, Archimède trouva qu'il existait treize solides de cette nature.

20. ^ Démonstration par exhaustion; douzième Livre d Euciide.

Dans la détermination exacte des quantités qui interviennent comme valeurs limites pour une approximation indéfinie, Eudoxe avait appliqué essentiellement les mêmes moyens que ceux qui lui servaient, dans la théorie des proportions, à iraiter exactement les grandeurs qu'on ne peut déterminer qu'approximativement à l'aide de rapports numériques rationnels : et la méthode qu'il inventa, afin d'établir sûrement ces

Dr^MONSTRATlD.N l'Ait KXII Al STION. I 3y

viileiirs limites sans recourir à l'idée d'inlini, mise alors au ban par les mathématiciens, présente des formes si précises qu'elle mérite vraiment un nom particulier, rpii lui fut donné au xvii'' siècle; nous l'appellerons DémonsLralion par exhausiion. Cette démonstration repose sur l'hypothèse, établie dans la quatrième définition du cinquième Livre ou, plus directement, sur la proposition i du dixième Livre, tirée elle-même de cette hypothèse, à savoir qu'en enlevant la moitié d'une grandeur, ou plus de la moitié, et en répétant celte opération un nombre suffisant de fois, on peut arriver en fin de comi^le à une (juantité plus petite que n'importe (juelle grandeur, donnée à l'avance et tle même espèce : en noti-e langage moderne

Lini y.. 5. }', . . .= o, si y., 3, j-, . . . ^ '.

Étudions la démonstration par exhaustion dans sa première application chez Euclide, ([ui (Liv. XII, 2) s'en sert pour établir que les surfaces de deux cercles sont proportionnelles aux carrés de leurs diamètres : la proposition précédente, t, démontre ([ue des polygones semblables inscrits sont proportioiuiels aux carrés de leurs diamètres, et l'on peut alors dire, brièvement, que la démonstration de 2 consiste à considér(Mles cercles comme limites de ces polygones.

La validité de ce passage à la limite est garantie par la démonstration par exhaustion, et l'application à cet etïet de X, i, qui n'intervient que dans la démonstialion même, a pour but d'établir, dans ce cas, que l'on peut inscrire dans un cercle un polygone ayant un nond)re de côtés tel que la ditférencîe entre le cercle et lui soit inférieure à n'importe quelle limite donnée : en efTet, par une duplication du nombre des côtés du polygone, les tiianglcs que l'on inscrit dans les segments de cercle qui constituent cette ditVérence ont pour grandeur la moitié de rectangles (jui comprennent ces segments et, par conséquent, sont eux-mêmes plus grands que la moitié des segments.

Pour démontrer, maintenant, A et B étant les cercles, a et b leurs rayons, (\\\q

l38 LES MATHÉMATIQILS GRECQUES.

on admet que

et, pour vérifier si C < B est alors possible, on inscrit, dans A cl B, des polygones réguliers semblables. A', B', avant assez de côtés pour que B — B < B — C, donc B' > C. On devrait avoir alors

«2 : Z>-==zA: C = A' :B';

ce qui est impossible, car A>A', mais C<B'; le cas oii C > B se ramène au précédent, puisque de C > B on pourrait déduire que

où

11 est clair que, les quantités variables A' et B' ayant les valeurs limites A et B, et le rapport A' : B' ayant une valeur constante, la même démonstration peut toujours servir à montrer que le rapport A : B possède la même valeur; si, en particulier, A' =: B', on a A = B. Toutefois, les anciens n'établissent pas" cette proposition une fois pour toutes, comme on le ferait dans la tbéorie moderne de l'infini, car cela reviendrait à vouloir expliquer des notions de même nature que l'approximation infinitésimale, et par suite à les admettre, ce (lu'ils ne forit pas; ils se contentent, tant Euclide que plus tard Arcbimède, de répéter les mêmes formes de démonstration dans chaque cas particulier oii s'en présente l'occasion.

Dès la propositions, dans laquelle il est établi que deux pyramides triangulaires de même hauteur sont pro])ortionneiles aux surfaces de leurs bases, Euclide trouve une occasion de répéter la démonstration citée, après avoir démontré dans 3 et 4 que les hypothèses nécessaires pour qu'elle soit ap|)licable existent bien réellement. Il procède alors de la manière suivante : au moyen des plans EFG, EGIH, et EHK passant par les milieux de 3 ou de 4 arêtes, il décompose, comme dans la figure suivante, une pyramide triangulaire en deux pyramides qui lui soient semblables, de dimensions linéaires moitié moindres, et en deux prismes égaux entre eux; chaque prisme a la môme

DÉMONSTItAïlON l'AU i:\IlALSTIO.N. 1 3y

liiiiileiir cl la même suriace de base fjue l'une des petites pyramidcs, ce qui se déduit des propositions du Livre précédenl.

l"iu. il.

Si Ton (li\ise maintenant chacune des petites pyramides de la même manière, et que Ton continue de la sorte, on obtiendra comme valeurs approximatives de la pyramide la somme d(>s ■1 premiers prismes, des 4 suivants, des 8 suivants, et ainsi de suite. Chaque fois, d'ailleurs, que l'on passe à une nouvelle approximation, on voit que les prismes enlevés à la pyramide équivalent à plus de la moitié : en eftet, les deux petites pyramides, produites i)ar la division d'une pyramide primitive, sont plus petites que les deux prismes, puisqu'on peut les disposer de manière à ne constituer (]ue des parties de ceux-ci.

Si, maintenant, on a deux i)yramides, A et B, de même hauteur, et qu'on se serve comme Aaleurs approximatives de ces pyramides des sommes de prismes A' et B', obtenues en poussant également loin la division des deux pyramides, il ne s'agit i)lus (4) que de montrer que A' : B' est égal au rapport entre les surfaces de bases (F et G). Désignons, pour

les deux pyramides, les sommes des deux premiers prismes par iii el t',, les sommes des 4 prismes, issus de la division suivante par i/o et Co, celles des 8 suivants par 1(3 et (3, etc., nous parviendrons au résultat désiré en démontrant que

et la démonstration i)ar exhaustion donne alors (dans 5) :

La signification du procédé que nous employons ici apparaît, surtout, si l'on remarque que la proposition 3 donne les conditions qui assurent, d'après \, i, que

A := //[ -T- //o -T- "3 -r- • • • etc., jusqu'à l'infiui,

considération qui l'ail immédiatemeni naître l'envie d'étudier plus complètement la série convergente.

On voit sans difficulté — ce dont Euclide même s'est servi en partie, Liv. XII, 4, — que chacun des deux prismes égaux, dans //i,est semblal)le à deux des 4 prismes égaux dans u.2, etc., d'où il résulta

II, — { (1^,1/-, = Ut., . . ., ou ijîen

i/q désignant un prisme de même hauteur et de même surface de base que la pyramide P. A l'appui, cependant, de la justesse de cette proposition, il est facile de donner une démonstration par exhaustion.

Sans doute, Euclide n'emploie pas ce procédé. Si, néanmoins, nous avons jugé l)on de le donner en cet endroit, où nous cherchons à coimaître,]non pas seulement les méthodes d'Euclide, mais en général celles des anciens, c'est qu'Archimède, en réalité et comme nous le dirons bientôt, emploie absolument la même sommation d'une série infinie pour trouver la surface d'un segment de parabole.

Au lieu de celte sommation, dans la proposition 7 Euclide utilise la division connue d'un prisme triangulaire en trois pyramides pour trouver le volume de la pyramide triangulaire : et il est fort inutile de nous arrêter à la transition

DÉMONSTIIATION PAR i:\IIAt STIO.N. I -) I

;iii\ pyramides à base polygonale, non plus qu'à la Iransilior) des prismes et des pyramides aux cylindres et aux cùues, Iransilion qui s'cfi'ecluc naturellement à l'aide de la démonstration par exliauslion.

La démonstralion qui élahlit, dans iS, que tleux s|tlM''ies sont pi'opoi'lioiinclles aux cubes des r;iyons est cependant plus ditdcile, car il est impossible, ici, de formel- des valeurs approximatives aussi simples que pour les surfaces circulaires; aussi, comme préliminaire à cette démonstration, Kuclide résout-il (17) le problème suivant : Inscrire, dans une spbère donnée, un polyèdre qui enferme entièrement ime autre sphère donnée, concentrique et plus petite. Cette question peut se résoudre de la manière suivante : dans un grand cercle de la plus grande sphère (appelons ce cercle é(|uateur) on inscrit un polygone régulier d'un nombre pair de côtés {9./1), de telle sorte qu'il enferme le grand cercle de la sphère la plus petite et situé dans le même plan; on inscrit alors dans l'équateur de la grande sphère un polygone régulier d'un nombre double de côtés (4«)> puis, par les sommets de ce polygone et par le pôle de réquateui", on construit de nouveaux grands cercles (méridiens) que l'on divise, à partir du point d'intersection avec l'équateur, en autant de parties (4/O qu'en a l'équateur. Les points de division seront alors les sommets du polyètlre cherché, dont les surfaces latérales sont des trapèzes et des triangles, ces derniers étant situés autour des pôles.

Il résulte nettement de la démonstration com[)lète d'Eu- ( lide qu'il ait voulu donner cette solution, encore que dans le texte actuel ce ne soit pas elle qui précède sa démonstration, mais bien une autre solution, d'ailleurs erronée.

Sans doute, ici, l'on n'est point en présence d'une série de valeurs approximatives pour les sphères, mais, toutefois, la démonstration par exhaustion y peut être employée comme précédemment : en effet, si A et B sont les sphères données, «et b leurs rayons, et que C soit une sphère concentrique à B déterminée par l'équation A : C = a^ : b^, on peut, si C < B, inscrire dans B un polyèdre B', enfermant entièrement C, et dans A un polyèdre A', semblable à B', Ces polyèdres sont alors employés de la même manière que les quantités que

I Vi LES -MATHÉMATIQUES GRECQUES.

nous avons désignées par A' et B' dans la démonstration par exhanstion donnée plus haut.

Pour mettre cependant en pleine lumière la valeur logique delà démonstration par exhaustion, il serait utile de la comparer au\ procédés modernes. Bien que les anciens évitent absolument des expressions telles que « valeur limite d'approximation infinie », la démonstration par exhaustion n'en détermine pas moins, en réalité, comme nous l'avons dit, ces valeurs mêmes; et c'est précisément la notion rigoureuse de limite qui gît à la base de tout le procédé, puisque l'on désire pouvoir pousser l'approximation (finie) jusqu'à ce que l'écart entre la valeur approchée et la valeur limite soit inférieur ;i toute grandeur donnée.

La démonstration par exhaustion est donc une démonstration exacte, antithétique, de ïi/nivocilé de ce mode de détermination, ou de ce fait que deux quantités, qui sont ainsi limites des mêmes valeurs approximatives, sont égales: elle est, par cela même, l'un des termes nécessaires de toute recherche infinitésimale complète, et un terme tel que, chaque fois qu'il y a démonstration par exhaustion, on peut dire qu'on • a affaire à une investigation infinitésimale, à savoir celle qui conduit au résultat dont la justesse sera postérieurement démontrée.

Les recherches infinitésimales qu'on trouve chez les anciens auteurs, là oî^i ils se sont servis de la démonstration par exhaustion, peuvent d'ailleurs se ramener à certaines méthodes infinitésimales employées encore aujourd'hui : ainsi peut-on dire que non seuleinent les pyramides, dans Euclide, XII, 5, et le segment de parabole dans Archimède, mais encore les cei^cles, dans la proposition XII, 2, sont tous déterminés à l'aide de séries convergentes, et aussi qu'Archimède, nous le verrons, recourt aux mêmes sommes de quantités infiniment petites, et en nombre infini, actuellement nommées intégrales dé/i/nes. La démonstration par exhaustion rend rigoureuse l'application exacte de ces procédés, mais les anciens, du moins dans ceux de leurs écrits qui nous sont parvenus, s'attachent tellement à assurer cette rigueur, dans chaque cas particulier, qu'il ne leur reste plus de place pour développer, au delà du besoin momentané, les méthodes dont

nfiMONSTHATION PAR EXHALSTION. I j.^

ils se servent pour lioiiver leurs résultats, — non plus ipuî pour en créer de nouvelles.

Lorsque, au xvii" siècle, on se remit aux recherches infinilcsimaies, notamment en s'attacliant à l'élude d'Archimède, il s agissait, d'ahord et surtout, de comprenrlre, non seulement comment il établit ses résultats, mais, en outre, de voir au moyen de quel processus il les avait découverts et comment on pouvait soi-même en trouver de nouveaux; c'est à cette fin que les métliodes allaient donc être développées. Néanmoins, la plupart du temps, on continua d'assurer les résultats acquis pou à peu, soit en répétant l'application de la démonstration par exliaustion, soit, du moins, de leur donner crédit en faisant remarquer que cette démonstration leur serait applicable : c'est ainsi, par exemple, fine procédait Fermât, et l'on continua même encore lorsque le calcul différentiel et intégral eut été fondé par \e\vton et Leibnilz.

En revanche, (|uand on se fut lentement habitué à se servir d'une telle méthode, qui fournissait ties résultats nouveaux, et que l'on fut devenu routinier dans le maniement des inliniment i»elils, on en vint souvent à négliger les précautions logiques et la confirmation de certitude que la démonstration par exliaustion avait pour but de donner : on envisagea les quantités infiniment petites comme suffisamment définies par leur nom seul et, parfois même, on allait jusqu'à considérer une grandeur comme définie par une série infinie, sans s'être môme assuré de sa convergence.

Au xix*" siècle, seulement, on est tout à fait revenu aux exigences d'exactitude auxquelles satisfaisaient les anciens grâce à la démonstration parexhaustion, et l'on y parvient en établissant précisément l'existence des valeurs limites par des démonstrations qui, au fond, coïncident avec cette même démonstration par exhaustion. Seulement, à présent, celte dernière démonstration se fait, comme nous l'avons déjà indicpié lors de sa première application, in^e fois pour toutes, ou bien n'est employée que dans l'établissement de notions aussi générales que le sont la somme d'une série infinie, ou d'une intégrale définie, tandis que, dans l'antiquité, on la répétait à propos de chaque application particulière.

Il reste, toutefois, entre le traitement de ces questions

l44 Ï-ES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

dans l'antiquiU' cl à présent, une diiïérence de forme assez importante qui, sans doute, laisse intacte la stricte rigueur des conclusions, mais provient des points distincls d'où l'on est parti. Cette difîérence s'est déjà fait jour lorsqu'il a été question, en général, de la continuité des grandeurs, continuité dont l'existence était directement supposée par les anciens dans les quatre premiers Livres d'Euclide pour les grandeurs géométriquement représentées, et ce n'est qu'après, au cinquième Livre, qu'on introduit les procédés arithmétiques dont on peut également se servir pour comparer les quantités non commensurables; maintenant, au contraire, c'est cette détermination arithmétique elle-même des grandeurs qui tient le premier rang, pour ne l'appliquer qu'ultérieurement à des quantités plus empirifjues et aux variables continues.

Aujourd'hui l'on part souvent du pi'océdé d'approximation arithmétique convergente, à l'aide duquel on détermine la surface d'une figure plane, par exemple d'un cercle, ou un volume, par exem|de celui d'une pyramide, et on l'emploie pour définir la surface ou le volume; au contraire, les anciens considéraient la surface plane et le volume comme définis par les axiomes généraux sur les grandeurs que nous avons déjà appris à connaître dans le premier Livre d'Euclide; et, ainsi, cette proposition que le cercle est plus grand que tout polygone inscrit et plus petit que loni polygone circonscrit était une conséquence directe du huitième axiome. Des axiomes du premier Livre on déduisait les procédés d'approximation qui servaient alors aux déterminations, et qui sont maintenant employés aux définitions.

Oii il y a toutefois accord complet, c'est en ceci que, dès ce lemps-là, tout comme à présent, on exigeait que la com^ergence de ces procédés fût démontrée en toute riguear.

Les axiomes généraux sur les grandeurs ne suffisent pas, cependant, quand il s'agit de déterminer la longueur d'une ligne courbe ou l'aire d'une surface courbe : aussi tient-on aujourd'hui poiu' particulièrement nécessaire de définir ces notions au moyen même du procédé d'approximation par lequel, de fait, on détermine ces grandeurs; et l'on verra qu'Archimède, du moins, remarquait la difficulté à laquelle