Déterminations infinitésimales chez Archiméde

Les mérites extraordinaires d'Archimède sont bien manifestes en d'autres domaines : nous les avons effleurés en partie déjà pour y revenir plus lard, mais, toutefois, sa puissance créatrice nous frappe, avant tout, dans les investigations infinitésimales auxquelles Eudoxe avait déjà donné un fondement si solide, et dans la théorie de r équilibre, dont on ne connaît avant lui aucun traitement rigoureux. Ces recherches lui offrent de multiples occasions de montrer i|ue, outre les Mathématiques élémentaires, il est égalemeni lamiliarisé avec la théorie des sections coniques : si familiarisé, même, qu'il va jusqu'à traiter les sections pratiquées sur des surfaces engendrées par la révolution de sections coniques; mais, comme nous préférons réunir plus tard ce que nous aurons à dire de la théorie grecque des sections coniques, nous nous contenterons, en parlant ici des Ouvrages d'Archimède, de mentionner à chaque fois les prol)riéléà des sections qu'il emploie, sans nous enquérir préalablement de la source dans laquelle il en puise la notion.

Commençons donc notre analyse des rechercbes infinitésimales d'Archimède par le Traité Sur la Quadrature de la Parabole, car ce Traité, par exception, nous indique le point de départ de l'auteur pour aboutir au résultat; et ce résultat donna sans doute l'impulsion à des travaux de même nature dans ses autres écrits.

Archiméde qualifie de mécanique la mélhode par laquelle il a d'abord trouvé la surface du segment limité par un arc de parabole et sa corde, et, cela, parce qu'il s'y appuie sur les tbéorèmes des moments statiques et du centre de gravité du triangle, théorèmes qu'il a exposés dans son Livre Sur V Équilibre des figures planes dont nous aurons à parler plus loin.

Sa méthode peut être indiquée brièvement comme il suit : si l'on prend la corde AC (dont nous désignerons la longueur par a) pour axe des abscisses et, pour axe des ordonnées, le diamètre AG, passant par l'une des extrémités A de la corde; si l'on désigne en outre par a- et/ les coordonnées d'un point E de la parabole, par j, l'ordonnée ZL, corres-

DÉTERMINATIONS INFINITÉSIMALFS CHEZ ARUllMkUE.

f)on(laiit à l'abscisse a:, de la tangente CG à l'autre extrémité (le la corde; Archimède déduit d'abord, des théorèmes déjà connus sur la parabole, que,

L'ordonnée/i a donc, dans la position qu'elle occupe réellement, le même momeni, par rapport à la ligne Ad, qu'aurait l'ordonnée y si on la déiilaçail parallèlement à elle-même jus- (pi'en C. Par une division de la ligure en stries, au moyen de

Fis. i5.

parallèles à l'axe des ordonnées, et par une application de la démonstration par exhaustion qui établit la justesse de l'opération qu'on exprimerait à présent par

a y dj:= y,x dx,

Archimède démontre que le moment, par rapport à AG, du segment entier de parabole transféré en C, est le même que le moment du triangle ACG dans sa position naturelle. Maintenant, comme la distance à AG du centre de cravité du

triangle ACG est le tiers de celle du point C, il en résulte que le segment est le tiers du triangle ACG, ou les deux tiers du triangle limité par la corde et par les tangentes en leurs extrémités. — Dans le détail de sa démonstration, Archimède imagine d'ailleurs la parabole comme suspendue à Vautre extrémité d'un levier à bras égaux ayant son point d'appui en A. Malgré la rigueur de cette démonstration, Archimède y joint cependant encore une démonstration géométrique particulièrement élégante. Soient AEBFC le segment, et BD le diamètre qui partage en deux la corde AC : on inscrit d'abord le triangle ABC dans le segment donné, puis les

Fis. iG.

triangles AEB et BFC dans les segments formés, des triangles correspondants dans les nouveaux segments, etc.; on trouve facilement alors que chaque élément (comme AEB) d'une nouvelle série de triangles est égal à | d'un triangle ( tel ABC) de la série précédente, et comme il y a dans chaque série nouvelle un nombre de triangles double de celui des triangles de la série antérieure, on obtient

Segment ABC =. [i 4- { -i- {{)^ -h. . .] AABG = | A ABC.

La démonstration se fait ici par exhaustion, ainsi que nous l'avons indiqué à propos du douzième Livre d'Euclide.

Tandis que, chez Archimède, la quadrature géométrique de la parabole repose en fait sur la sommation d'une série infinie, nous avons employé de notre côté, dans la reproduction de sa démonstration mécanique, les signes d'intégrales pour désigner une décomposition en portions qui diminuent simultanément à l'infini. Cependant, en toute précision, on ne

[)/rrERMI>ATIO>S INFINITÉSIMALES CHEZ AKCIllMfeDE. l'iO

saurait donner ici le nom (Vintégralion au procédé d'Archiinède; car il sert, au contraire, à éviter une intégration en ramenant simplement la recherche i)ro|)Osée à une autre, dont le résultat, il est vrai, a été trouvé auparavant sans intégralion, à savoir à la détermination du centre de gravité d'un triangle.

Il s'agit, en revanche, iV intégrations véritables dans le Traité Sur les Spirales et dans celui Sur les Conoïdes et les Sphéroïdes : Archimède y établit, en ell'et, des théorèmes qui correspondent exactement à nos formules

J' X dx = ,| c-, et /

n '-'Cl

(ît les applicpie à diverses déterminations géométriques que l'on obtiendrait aujourd'hui de la môme manière que lui à l'aide des formules intégrales ci-dessus — sauf pour ce qui est de répéter la démonstration par exhauslion à propos de chaque question particulière. Parmi ces théorèmes, le premier se trouve dans l'Introduction au Traité des Conoïdes et des Sphéroïdes, le deuxième dans un corollaire au théorème lo sur les spirales : ce sont les suivants :

— /<-</< -t- 2 /< — o h — . . . -^ nh <: h ,

n^ (n — iY

~h'-<:h'--i-{2hY-^(3hy-r-...-{nh)-< ' , h-. à 6

Le premier résulte directement de la sommation des termes d'une progression arithmétique que l'on connaissait certainement depuis longtemps; le deuxième repose sur une sommation (faite dans le théorème lo) de la série en question.

Archimède trouve que

= {n -+- i) {nhy- -^ h ( h — 2 h -^ 3 h -^ . . . ~ nh):

h, 2 h, etc., sont figurés par des segments, et si nous considérons h comme unité et que nous désignions [jarsla somme cherchée des carrés, la démonstration peut se traduire de la

manière suivante :

En ajoutant

{n -- n — i -^ n — 2 — ... -4- i ) on obtient

Or cette quantité est égale à 3^ : cela découle nettement de la sommation des équations suivantes, dont la justesse ellemême résulte de la formule qui donne la somme des termes d'une progression arithmétique,

n- ^= Il — 2 ( /i — i ^- n — 2 -H ... -H I ) , {n — 1)-^ n — I -T-2(« — 2 -T- /? — 3 — . . .+ T ), .

D'ailleurs, bien que secondaire en apparence, la sommation des termes en A^-i- (2//)- — . . . est un résultat algébrique important dans l'investigation d'Archimède.

Dans son Traité des Spirales, il applique ce produit au calcul d'un secteur de spirale d'Archimède /■ = a. 9 ; la surface d'un pareil secteur étant

i f r'-dQ -^ ^ f r-dr

elle pourra donc se trouver à l'aide de la seconde des intégrales que nous venons d'écrire. Archimède détermine de la manière suivante son rapport à un secteur circulaire de rayon r : en même temps que les secteurs, il divise l'angle 9, — 00) construit alors deux séries de secteurs circulaires qui sont enfermés par des secteurs de spirale, ou les renferment, puis il fait la comparaison avec ces secteurs circulaires en employant la démonstration par exhaustion.

Par conoïdes il désigne, soit des paraboloïdes de révolu-

l)f-TEK.niNATIO.\S INFINITÉSIMALES CIIE/ AHCFIIMÈDE. l5r

(ion, soit des liy[)erl)oloïdes de révolulioii à deux nappes dont une seule, toutefois, est utilisée; les, sphéroïdes sonl des, ellipsoïdes de révolution. Dans le Traité de ces surfaces, Archimède détermine le volume de segments limités par un plan (juelconque; il connaît la nature d'une section plane arbitraire pralic|uée sur une surface de cette espèce, et le moyen d'en déterminer aussi les axes à l'aide des segments pratiqués par le plan sin- le diamètre conjugué de la surface; de plus, il trouve la surface d'une ellipse, chose facile, il est vrai, si l'on veut comi^arer les figures décrites dans l'ellipse et dans Je cercle construit sur l'un des axes de l'ellipse comme diamètre.

Les déterminations de volume se ramènent aux intégrations qu'Archimède connaissait sous une autre forme.

Les deux Ouvrages que nous venons tie citer ne sont pas seulement remarquables par leur étude des surfaces et des volumes : sous un bien autre rapport, d'après ce que nous en avons dit, il est aisé de voir que le Traité des Conoïdes et des Sphéroïdes fouvnil encore des éclaircissements sur la connaissance que possédait Archimède des sections coniques; de même, dans le Traité des Spirales, se trouvent quelques-unes des intercalalions précédemment mentionnées.

Avec le calcul des surfaces, une autre question infinitésimale se rattache encore au but principal de ce Traité : à savoir la détermination des tangentes aux spirales. Pour cela, — bien entendu sous le contnMe obligatoire d'une démonstration par exhaustion, — Archimède considère le même triangle infinitésimal que l'on emploie maintenant pour les tangentes à des courbes exprimées en coordonnées |)oIaires : comme résultat, la sous-tangente polaire est égale à r.9. J)'ai Heurs, les sous-tangentes aux extrémités des diflférenles spires complètes offraient pour lui un intérêt particulier, auquel nous avons déjà fait allusion page 63, puisqu'elles sont des représentations rectilignes de circonférences.

Mais, sans doute, la détermination {la Sphère et le Cylindre) (le la surface sphérique est le résultat le plus important que nous devions à Archimède dans le domaine des intégrations, et ne s'écarte pas sensiblement de nos Traités élémentaires :

l52 LES MATIIÉiMATIQUES GRECQUES.

il aboutit à démon Irer notamment, comme l'indique le titre de l'Ouvrage, que les zones de la sphère et les portions correspondantes de la surface courbe du cylindre circonscrit sont égales. Partant de là, on arrive facilement à d'autres formes de déterminations el, de même, à celles des volumes de la sphère, du secteur et du segment.

Archimède, pas plus qu'Euclide d'ailleurs, n'introduit jamais aucune unité, de sorte que ces derniers calculs consistent essentiellement dans la construction de cylindres et de cônes égaux aux volumes cherchés.

Le second Livre du même Ouvrage (en dehors de la détermination du volume des segments, que nous venons de citer) traite différents problèmes sur ces mêmes volumes, entre autres celui-ci : Partager une sphère, par un plan, en deux segments qui soient dans un rapport donné, et l'on sait que la solution de cette question dépend d'une équation du troisième degré. C'est bien aussi à une équation de cet ordre qu'Archimède ramène le problème en lui donnant la forme suivante : Partager par un point X un segment DZ, sur lequel les points B et T sont donnés, de telle sorte que

DB^: T)X2=XZ:TZ.

DB est ici le diamètre 2 /• de la sphère, sur le prolongement duquel on rapporte BZ = /•; DX est la hauteur de l'un des segments, et si ce dernier est avec l'autre dans le môme rapport ({ue m : /<, alors

TZ=:-^.r.

Archimède promet de résoudre cette équation plus tard, et il fait seulement remarquer, pour l'instant, ([ue la condition de possibilité exigée pour Féqualion se trouve elfectivemenl remplie dans le problème actuel sur la sphère. Une des raisons de cet ajournement, par suite duquel la solution manque malheureusement dans notre texte, pourrait bien avoir été qu'Archimède, dans le même Livre, avait à faire une autre application de cette même équation : la dernière proposition du Livre (la neuvième) dit, eu effet, que le plus grand segment de sphère ayant une surface courbe donnée est une demi-sphère; or on

DÉTERMINATIONS INFINITÉSIMALES CHEZ ARCHIMÈDE. iJi

aperçoit clairement, à la démonstration riui en est donnée cl ([ni, du reste, est incomplète dans le texte conservé, ((u'ellf ne fut faite qu'après que le résultat eût élé trouvé déjà d'une autre manière.

Au contraire, la déduction véritable du tliéoréine en question avait naturellement sa place dans l'addition que promet Archimède à propos de la division de la sphère; car en effet, chez les Grecs, un théorème comme le neuvième, relatif à un maximinn, intervient toujours à litre de diorisme pour un problème : dans le cas actuel, il devait avoir pour but de trouver un segment de sphère dont le volume et la surface courbe fussent donnés — problème qui est précisément résoluble au moyen de l'équation donnée ci-dessus.

Maintenant, nous avons dit que l'addition promise ne se trouve point dans notre texte : on suppose, néanmoins, qu'elle était conteiuie dans un autre vieux manuscrit, découvert et publié en partie par un commentateur dArchimède, Eutokius, et dans lequel l'équation d'Archimède est résolue à l'aide do sections coniques; on y déduit alors des conditions de possibilité dont l'application au problème « Trouver un segment de sphère de volume donné et de surface courbe donnée », fournirait directement la proposition 9. Nous donnerons ultérieurement cette solution elle-même, car elle nous est un des meilleurs types conservés de la façon dont les anciens traitaient les problèmes dits solides.

On voit déjà, par de tels exemples contenus dans le Traité d'Archimède, que la détermination de la surface sphérique ouvre un vaste champ à d'autres recherches : elle permet encore des applications pratiques, ainsi qu'à d'autres sciences, comme la Géographie.

Ces circonstances contribuèrent, certes, à ce que cette détermination l'emportait aux yeux d'Archimède lui-même sur toutes ses autres découvertes; mais il faut dire aussi qu'il y avait pourtant une raison suffisante déjà dans ce fait qu'il put ainsi calculer l'aire d'une surface courbe non développable, à une époque où le calcul des surfaces planes elles-mêmes, et des volumes, était encore si peu avancé. Et combien sont rares, même de nos jours, les surfaces dont on puisse représenter les aires d'une manière assez simple I

l54 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

D'après le vœu d'Archimède, on plaça sur sa tombe un monument qui contenait une sphère avec un cylindre circonscrit, l^n siècle et demi après, Cicéron, lorsqu'il était quesleur en Sicile, retrouva et restaura ce monument.