DÉMONSTRATION PAR EXHAUSTION. I

ici je fais allusion. Il ne cherche point à y obvier du reste à l'aide de définitions formelles des notions dont il s'agit; mais bien plutôt, au lieu de cela, il pose expressément les hypothèses qu'il emploie à la manière des anciens, — il postule, — en dehors des postulats généraux, il les pose, dis-je, dans les procédés d'approximation par lesquels il détermine les grandeurs, et dans ses démonstrations pour la convergence de ces procédés.

Ces hypothèses sont posées comme postulats dans son Ouvrage Sur la Sphère et le Cylindre; elles affirment alors que :

1° La ligne droite est le plus court chemin entre deux points;

2'' De deux lignes tracées entre les mêmes points, et qui tournent leur convexité du même côté, la ligne externe est la plus grande;

3° Une surface plane est plus petite qu'une surface courbe de même périmètre;

4° De deux surfaces courbes limitées au même contour plan et qui orientent leur convexité du même côté, la surface externe est la plus grande.

Ce n'est évidemment que par une méprise qu'on a parfois voulu voir une définition de la ligne droite dans le premier cas de ces postulats, — séparé de son contexte, — car ce postulat et le suivant servent bien plus à définir la longueur d'une ligne courbe; les deux derniers, à définir l'aire d'une surface courbe. Que ces définitions indirectes soient suffisantes, cela résulte enfin de ce qu'elles conduisent en réalité aux déterminations, tandis que les 2° et 4°, en revanche, dont on ne pourrait sûrement se passer entièrement, renferment un peu plus que le strict nécessaire.

Après avoir pris connaissance ici des principes généraux dont Archimède s'est servi pour établir rigoureusement ses déterminations infinitésimales au moyen de la démonstration par exhaustion, nous pourrons, dans ce qui va suivre, nous contenter d'indiquer les décompositions à l'aide desquelles ces déterminations furent obtenues, et les résultats atteints de la sorte, sans qu'il soit nécessaire d'entrer dans les détails de leur démonstration.

l46 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.