AD : I)G = P : Q

et déterminons les points E et F, sur son prolongement, de telle sorte que EA = AD et CF = DC; on peut, sans changer les conditions d'équilibre, répartir uniformément le poids P sur ED, et celui de Q uniformément sur DF, de sorte que le poids total P H- Q se trouve uniformément réparti sur EF. Grâce à la symétrie, l'équilibre existe alors si EF est appuyé au point médian P>.

Toutefois, au premier Livre de son écrit Sur l'E<juiUbre des figures planes, Archiméde fait celte démonstration sans recourir à une répartition continue : il s'occupe d'abord du cas où P et Q sont commensurables et, par conséquent, peuvent se répartir sur des points également distants, puis il passe, à laide de la démonstration par exhaustion, au cas où P et Q sont incommensurables. Comme de coutume, il établit exprès-

TIlCOItlF. T)K l'équilibre PAU ARCniMfeDE. l55

sénicni les liypollicses sur lesquelles se fonde sa démonstration : et ces liypotlièses sont précisément les conditions d'équilibre, ou de non-équilibre, du levier à bras égaux.

En raison de ce qui va suivre, Arcbiméde établit encore les hypolbèses suivantes : Les centres de gravité de figures semblables sont des points homologues ; le centre de gravité d'une ligure dont la convexité se tourne partout vers l'extérieur tombe nécessairement à l'intérieur du périmètre, ou de la surface qui limite cette figure. D'ailleurs, la façon dont il prouve que le centre de gravité d'un triangle est au point d'intersection de ses médianes nous paraît aujourd'hui inutilement prolixe, et c'est par là qu'il termine son premier Livre : mais la raison môme de cette prolixité, c'est qu'il ne lui fallait bâtir sa démonstration que sur les hypothèses qu'il avait expressément établies.

Nous avons déjà vu comment Arcbiméde utilise les théorèmes sur l'équilibre pour établir la surface d'un segment de parabole ; plus tard, dans le deuxième Livre de son Traité Sur l'Équilibre des figures planes, il va trouver le centre de gravité d'un tel segment, et cette détermination repose sur un théorème suivant lequel les centres de gravité de différents segments de parabole doivent diviser leurs diamètres respectifs dans le môme rapport : on le démontre en décomposant les segments de parabole en un nombre infini de triangles, subdivision qu'Archimède employa dans sa détermination géométrique (') de la surface du segment {cf.fig. i6, p.i48).

Quant à la valeur, inconnue jusqu'ici, de ce rapport constant, ellepeuts'obtenirparla décomposition du segment AB(] dans le triangle ABC avec deux nouveaux segments : Arcbiméde résout sous forme géométrique l'équation du premier degré que l'on engendre ainsi.

Il connaît encore un autre centre de gravité, celui d'un segment quelconque de paraboloïde de révolution^ bien que celui-ci ne se trouve point cependant de la même manière que le centre de gravité du segment de parabole : cette détermina-

( ' ) Dans le septième paragraphe du texte couservé, (jiielque éditeur postérieur, par une méprise évidente, a restreint la conclusion de la démonstration aux seuls segments semblables.

l56 LES MATHÉMATIQUES GUECQIES.

lion doit, en effet, sous une ou l'autre forme, dépendre effectivement des m^e^'^/'«/<o«.y déjà mentionnées et que connaissait Archimède. Personnellement, pourtant, il ne nous explique en aucune manière comment il en vint à connaître ce centre de gravité, mais il en parle et s'en sert à différentes reprises dans le second Livre de son écrit Sur les Cor-ps flottants.

C'est dans le premier Livre de cet Ouvrage d'Hydrostatique qu'est établi le fondement du théorème capital et bien connu sur l'équilibre des corps immergés, totalement ou en partie, propriété connue de nos jours sous le nom de principe rf Archimède; au reste, ici même, Archimède se place à un point de vue suffisamment général pour pouvoir prendre égard à la forme arrondie de la terre et à la direction centrale de la pesanteur.

C'est ce qu'il fait en étudiant, dans la dernière proposition du Livre, la situation d'équilibre d'un segment de spbère partiellement immergé; mais certaines parties essentielles de cette recberche ont malheureusement été perdues. Lorsqu'il veut établir qn'il n'existe point d'autres positions d'équilibre en dehors de celle où l'axe du segment est vertical, Archimède ne doit certainement pas se contenter simplement des raisons de symétrie; du moins, c'est ce que nous pouvons présumer en voyant, dans le deuxième Livre, le traitement plus complet auquel il soumet cette question : Trouver les positions d'équilibre du segment déterminé par une coupe perpendiculairement à l'axe dans un paraboloide de révolution. Bans cette étude la surface de l'eau est supposée plane, et il recourt également aux centres de gravité de segments formés par des plans obliques sur l'axe.

En Statique, les travaux d'Archimède constituent le fondement, aussi bien de la Mécanique théorique que des applications pratiques de la Mécanique : il alla lui-même assez loin dans les applications, si nous en croyons maints récits postérieurs d'auteurs antiques, beaucoup plus sensibles aux résultats matériels qu'à un travail de science pure; l'emploi du poids spécifique pour déterminer la composition des alliages {Couronne d'Hiéron) est une application directe du principe d'Archimède; il aurait, dit-on, construit des appareils pour mouvoir de grandes masses avec une faible force; la vis, dite

LA THÉORIE DES SECTIONS CONIQUES AVANT AI'OLLONIL S. iS'J

d'Arcliimède, est bien une de ses inveiilions. Son li;iliilel<'' en mécanique trouva parliculièiemenl à se manifester dans la construction des machines de j^nerre, durant le siège de Syracuse; mais, hàtons-nous de le dire, s'il n'est pas impossible qu'il ait inventé des miroirs paraboliques, leur emploi pour incendier la flotte romaine n'en est pas moins une pure légende.

Enfin, dans l'antiquité, on parlait avec une grande admiration iVunplaneta/iu/n mécanifinc qu'aurait construit Archimède.

23 — La théorie des sections coniques avant Apollonius.

Nous avons déjà dit (p. 71), à propos du problème délien, ainsi que lors de la consiruction de deux moyennes proportionnelles, que cette (jueslion fut résolue par Ménechme, disciple d'Eudoxe, à l'aide des points d'intersection entre deux des courbes

ay —: x"-, bx z= y-, xy := ab,

<oui-bes qu'il représentait, d'ailleurs, comme des sections planes d'un cône de révolution; conformément à cette tradition, il est naturel d'attribuer à Ménechme l'invention des sections coniques. On sait en outre que, pour les imaginer, du moins jusqu'à Apollonius, on employait un plan perpendiculaire à une génératrice de la surface du cône : aussi les ellipses, paraboles et hyperboles prenaient-elles les noms de sections de cône à angle aigu, droit, obtus.

Ménechme et les mathématiciens antérieurs à Apollonius avaient-ils donc connaissance de quelque procédé particulier pour déterminer les propriétés de sections perpendiculaires à une génératrice? Était-il impossible, avec la même facilité, d'appliquer cette méthode à prouver que les sections différemment situées possédaient exactement les mêmes propriétés? Ce serait aller certainement trop loin, et l'on ne peut conclure de la sorte, car il n'existe aucune trace d'un tel procédé dans les Mathémati(|ues grecques : il serait, du reste, difficile de l'inventer, au moins en ce (\in concerne l'ellipse et l'hyperbole.

Mais nous pouvons proposer d'expliquer cette anomalie

l58 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

de la manière suivante : Poui' déterminer les deux moyennes proportionnelles, on pouvait se servir des courbes définies par les équations ci-dessus; or, nécessairement, une telle définition devait alors être accompagnée d'un postulat affirmant que ces courbes existaient réellement, ou, en d'autres teimes, que les points déterminés par cette définition se succédaient d'une façon continue. Toutefois, cette nécessité pouvait être évitée lorsqu'il était possible de donner pour ces courbes une construction fondée sur des postulats antérieurs : bien plus, il eût été même inadmissible, en ce cas, d'instituer de nouveaux postulats. Et, précisément, la construction que trouve Mé necbme consiste à déterminer lesdites courbes comme sections de cônes circulaires; la continuité de la surface conique est alors assurée par celle de la courbe directrice, le cercle, et la continuité de la courbe de section l'est à son tour par celle de la surface du cône.

Pour cet usage, toute manière de produire ces courbes comme sections de cône circulaire est également bonne ; et s'il faut s'assurer qu'une courbe, dont on connaît les constantes, peut être considérée comme une section d'un cône, le plus commode est même d'avoir des règles fixes pour la solution de ce problème. En prenant en même temps comme surface de cône celle d'un cône droit, et pour plan de section un plan perpendiculaire à une génératrice, on voit très facilement que la solution répond bien au but cherché si l'on veut considérer tout d'abord les sections paraboliques produites comme des sections du cône à angle droit.

Soient T le sommet, KTC une section suivant Taxe, GPH la trace d'une section parallèle au plan de base, / le segment intercepté sur une droite entre le point P et la surface du cône, droite qui se trouve [)erpendiculaire en P au plan de la figure :

Si APl ÏK, on a, alors,

y- = GP . PH = \/2T AP .AI --1 AP . AL.

La section élevée en AP perpendiculairement au plan de la figure est alors représentée, si AP == x et AL =70, par

et, conformément à cette construction, Archimède appelle