LA TIIÉOHIK DES SECTIONS CONIQUES AVANT APOLI.OMIS

encore le denii-pacamèlre p la portion jusqu'à l'axe, c'esl à-dire depuis le soinmel A de la [(aralifdc jiis(iu'à l'axe du côni .

On voit donc bien que Ménechine oblenait précisément la solution du problème proi)osé : représenter, comme section d'un cône, une courbe dont l'étiiiation est y''-^ipx. Il ne s'agissait que de rendre droit l'angle du cône, de situer la section perpendiculairement à une génératrice, et de faire en sorte que hx portion jusqu'à l'axe fût égale à p.

La représentation correspondante pour l'ellipse et l'hyperbole, en tant que sections perpendiculaires à une génératrice dans un cône de révolution à angle aigu, ou obtus, olfre les mêmes avantages : nous nous servirons, cette fois encore, des notations de \'Ajig. i8, en y joignant seulement la désignation A, pour le point d'intersection de AP avec la seconde génératrice ÏC du plan de la figure ; dans le cas de l'hyperbole, c'est le point d'intersection de AP et du prolongemeni de TC au delà de T.

Si AP := -3?, PAi=:a.'i, et si, en outre et comme précédemment d'ailleurs, \di portion jusqu'à l'axe, ou AL, est le demiparamètre/? et que AAi =2«, on trouve

^2^i^,AP.PA,= ^-a:x,.

^ AAi a

Or cette détermination par l'équation l'apportée aux axes, sous

une ou l'autre forme (leur détermination se rapprochait plutôt

y^ p\ de l'équation -^^^^ — ^^ )' est justement celle que les plus

anciens géomètres grecs donnaient pour base à l'étude de l'ellipse et de l'hyperbole (selon que x -\- Xy-^ i a ou que

l6o LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

x^ — OC r^ia) : les constantes de la courbe étant représentées d'une façon simple dans la figure on a là, en fait, une bonne et sûre méthode pour représenter ces courbes comme sections de cônes, et l'on montre bien ainsi qu'elles sont des sections coniques pour toutes les valeurs des constantes.

Néanmoins, notre explication implique que ces courbes fussent déjà connues auparavant et représentées, bien entendu, sous forme géométrique, par l'équation mentionnée plus haut; il paraît, en effet, probable que l'ellipse, en particulier, ait été connue, et puisse fort bien avoir été considérée comme section de cylindre.

Nous avons déjà dit que l'on avait trouvé l'application de l'hyperbole à la construction de deux moyennes proportionnelles, notamment pour l'hyperbole équilatère, bien que, il est vrai, on la déterminât à l'aide d'une autre équation, en la rapportant à ses asymptotes. Pour rechercher alors si cette courbe n'était pas déjà connue d'une autre manière, par exemple n'était pas un cercle, l'application à la construction des deux moyennes proportionnelles offrit tout d'abord une excellente occasion de transformer la détermination primitive à l'aide des moyens dont on disposait, c'est-à-dire à l'aide de l'Algèbre géométrique; la transformation en équation aux axes est un résultat assez facile à obtenir par ces procédés, mais il est peu vraisemblable que l'on ait vu une connexion directe entre l'équation par rapport aux asymptotes et la représentation comme section conique.

Grâce aux sections perpendiculaires à une génératrice, on parvint donc à représenter toute parabole, ellipse ou hyperbole, comme section d'un cùne de révolution. Bien entendu, la réciproque apparut également vraie : à savoir que toutes les sections ainsi pratiquées sont des paraboles, des ellipses ou des hyperboles; et il nous semble fort impossible qu'on ait négligé de faire la remarque que, dans cette dernière détermination, la position particulière du plan sécant ne joue absolument aucun rôle.

En tous cas, la même méthode devait apparaître applicable dès qu'il fut question des autres genres de sections, comme cela nous est confirmé par l'Ouvrage d'Archimède sur les conoïdes et sphéroïdes; car, dès l'introduction, cet écrit montre

LA THÉORIE DES SF.CTIONS CONIQUES AVANT APOLLONIUS. l6l

que, déjà avant Arcliimèdc, on connaissait an moins toutes les sections elliptiques des cônes droits et, au cours des idées, on y considère même parmi les sections elliptiques de cônes circulaires obliques celles qui sont perpendiculaires au plan de symétrie du cône. Arcliimède résout môme le problème qui s'énoncerait dans notre langage : Détermination des sections circulaires d' une surface conique du second ordre à sections principales connues; et comme, dans ses problèmes, il n'a aucun besoin de sections hyperboliques situées comme nous l'avons dit, son silence à leur égard ne permet nullement de conclure (ju'il les ignorât.

Arcliimèdc trouve encore l'occasion de nous apprendre par quel moyen il découvrit la détermination planimétrique des sections planes des cônes circulaires.

Considérons \d^Jlg. 19 où le cône est coupé suivant un plan

de symétrie (section quelconque comprenant l'axe, si le cône est droit); soient TL et TK les génératrices situées dans ce plan, LK la trace du plan de la base circulaire. La nature de la section plane, projetée en NN,, pourra être appréciée au moyen du lemme planimétrique suivant : si les droites NN, et MMi, qui coupent les lignes droites fixes LT et ÏR en M, N, M, et Ni, et qui se rencontrent elles-mêmes en P, con-