Emplois du calcul numérique

Voyons maintenant à quels problèmes les Indiens savaient en outre appliquer leur aptitude au calcul numérique, apti-

liide dont la création du système de position est le plus sûr témoignage et qui, par la suite, trouva dans ce système son meilleur instrument : nous avons à cet égard des éclaircissements particuliers dans les nombreuses règles de calcul, el dans la riche collection de problèmes contenus dans le JJlàvati de Bhàskara ; ailleurs encore. Ainsi, par exemple, Aryabhatta donne déjà, pour l'extraction des racines carrée et cubique, les règles mêmes que nous lirons actuellement des formules {a-^by- et {a + by.

En ce qui concerne notre Arithmétique usuelle, les Indiens connaissaient la règle de trois, simple et composée, le calcul d'intérêt, même celui de l'intérêt composé, le calcul de société, la règle des mélanges, des règles pour mesurer les capacités, etc. Ils résolvent également, suivant des règles de calcul déterminées, divers autres problèmes que nous traitons aujourd'hui par une équation : entre autres, ils ont cette règle de la fausse position (régula falsi) que nous avons trouvée chez les Égyptiens (p. 8), mais ils ne s'en tiennent pas à cette simple règle.

Nous savons, par des sources arabes plus récentes, qu'ils employaient la règle dite des deu.r fausses positions {régula duoruni falsoruin) : elle servait, à l'aide de deux valeurs d'essai, pour résoudre un problème qui, traduit en équation, eût dépendu d'une équation du premier degré de la forme

f{x)=i ax -\- h z=^ /.-.

Si a? = a et ^==(3 donnent, par insertion dans le premier membre, les valeurs /(a) et/([3) différentes de A-, x se déduit des différences k — f{oi) et k — /((3), combinés avec a et {3 suivant une règle exprimée par la formule

prA--/(a)l-ar/---/(.S)1

Comme on le voit, cette règle répond exactement à ce que nous nommons maintenant une interpolation simple, et nous savons qu'elle n'est pas seulement utilisable en vue d'un calcul rigoureux, comme chez les Indiens, si f{-r) est réellement une fonction entière du premier degré, mais encore pour une approximation jikis grande, si a et (5 sont déjà des valeurs

EMPLOIS DU CALCIL Nl.MÉItIQI i:. 233

approximatives : ce dernier emploi ne se rencontre toutefois f|ue sensiblement plus tard, chez les Arabes et en Europe.

Une autre règle de calcul, d'un caractère très général, est celle d'inversion. Elle consiste en ceci : ayant à Irouvei- un nombre qui, après avoir été soumis à une certaine succession de calculs, conduit à un nombre connu, on peut y parvenir en soumettant ce dernier nombre à tous les calculs inverses, dans l'ordre renversé.

Les Indiens, du reste, établissent diftërentes règles particulières pour lesfpiellcs il nous faudrait recourir à la solution d'équations du premier ou du deuxième degré, à une ou plusieurs inconnues. C'est le cas, par exemple, pour les règles sur les progressions arithmétiques et géométriques, établissant, non les relations générales dans lesquelles on peut au choix considérer comme inconnues l'une ou l'autre des diverses quantités, mais s'appliquant aux cas particuliers pour calculer isolément chacune des grandeurs, quand toutes les autres sont connues : ces règles sont données, sans démonstration, dans le Lilâvati. C'est encore le cas d'autres règles assez variées que nous comprendrons plutôt dans le prochain Chapitre, et qui sont nettement significatives en ce qui concerne les connaissances des Indiens dans la théorie des nombres.

En revanche, nous ne pouvons abandonner l'Arithmétique des Indiens sans présenter quelques spécimens des formes dont ils revêtent les exemples employés pour leurs différentes règles de calcul.

Dans la question que voici, nous trouvons une application purement numérique de la méthode d'imersion, que nous venons de citer :

Belle fille aux yeux étincelants (il s'agit de Liiàvatî), toi qui connais la vraie méthode d'inversion, nomme-moi le nombre qui, multiplié par 3, augmenté des trois quarts du produit, divisé par 7, diminué du tiers du quotient, multiplié par lui-même, diminué de 52, après extraction de racine carrée, addition de 8 et division par 10, soit 2.

Le problème suivant se résout par la simple règle de la fausse position :

Le cinquième d'un essaim d'abeilles se pose sur une lleur

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de kadambo, un tiers sur une fleur de silindha, le triple de la différence entre ces deux nombres s'est envolé sur une fleur de kutaja, et une abeille, seule, voltige dans l'air, attirée par le parfum d'un jasmin et d'un pandanus. Dis-moi, belle fille, le nombre des abeilles!

Une équation quadratique est présentée sous la forme que voici :

Au milieu du combat, le fils furieux de Prit'ha saisit un certain nombre de flèches pour tuer Carna : il en employa la moitié à sa propre défense, et le quadruple de la racine carrée contre les chevaux; 6 flèches percèrent le cocher Salya, 3 autres déchirèrent le parasol de Carna, brisèrent son étenflard et son arc, une lui traversa la tête. Combien de flèches avait Arjuna (le fils de Prit'ha)?

Ici, ce sera un exemple de la règle de trois :

Si une esclave de i6 ans coûte 82 niskhas, combien en coûte une de 20 ans?

L'auteur regarde évidemment l'âge et le prix d'une esclave comme inversement proportionnels, mais il se borne à dire que la valeur des êtres vivants s'estime selon leur âge.

Les exemples suivants de règle de trois composée sont un peu plus sobres :

3o madriers de 12 et 16 pouces d'épaisseur et de largeur, et de 1/4 pieds de long coûtent 100 niskhas; que coûtent i4 madriers de 8 et 12 pouces d'épaisseur et de largeur, et de 10 pieds de long? Si le transport des premiers madriers coûte 8 drachmes par mille, combien coûtera le transport des derniers sur un espace de 8 milles?

El encore, dans une telle question, il ne saurait y avoir pratiquement de proportionnalité entre le prix et la grandeur du madrier, ou la quantité de bois qu'il faut transporter : on peut donc bien dire, d'une façon générale, que ces problèmes sont inventés à plaisir, et comme purs exercices de calcul.

Ces quelques exemples suffisent à montrer les sources variées auxquelles sont puisées les questions: ailleurs, ce sera tantôt un nombre de fleurs, tantôt le taux d'un intérêt, tantôt une grandeur géométrique que l'on cherche, et la richesse même des formes dont on les revêt trahit la satisfaction pure que l'on éprouvait à poser et à résoudre ces problèmes. C'est,