NOMS ET SI(;.\KS DES NOMCKKS. 22(J

c'esl-à-dire un demi-mois). Celle dernière désignalion correspond à un nombre de deux chiffres commençant par i, el ce fail peul se présenler dans le corps môme d'un nombre composé de pareille façon; renonciation (hi nombre se fait ainsi plus vile que chez nous - à moins que nous ne voulions également nous contenter d'énoncer les chiffres séparément dans leur ordre — mais elle offre, en revanche, cet inconvénient qu'un seul el nième chiffre peul porter des noms différents, comme ici - cl 8. Ce procédé est accommodé à celui qu'on a fort employé pour retenir de mémoire certains nombres, ou même des règles mathématiques, et qui consiste à les mettre en vers, procédé qu'explique bien certainement le penchant des Hindous vers la poésie mais qui, de plus, offrait ([uelques avantages pour la pratique.

Il est vrai que c'est dans Brahmagoupta que nous trouvons l'exemple cité, c'est-à-dire longtemps après que l'on connût le système de position, et cependant, par sa nature môme, cette manière de nommer les nombres doit être vieille, car elle suppose pour chacun d'eux d'anliques vocables formés selon leur rapport avec certains objets. Le nombre cité n'a pas de zéro : l'exemple lui-même peut donc bien être antique.

Pour ce qui est, à proprement parler, de la numéralioM écrite, nous avons déjà l'emarqué que les neuf chiffres se trouvent employés dans des inscriptions très anciennes; il se peut, au reste, pour composer avec ces chiffres des nombres plus grands, que l'on se soit servi d'un procédé semblable à celui qui s'était encore récemment conservé à Ceylan : procédé qui consiste, en partie à compléter, comme faisaient les Grecs, la série des 9 chiffres par des signes particuliers pour 10, 20, 3o, . . ., 100, puis pour looo, etc., en partie à désigner, comme les Chinois, le nombre de centaines en posant le chiffre voulu devant le signe de 100 — il se peut encore que l'on ail tout à fait suivi la méthode chinoise.

C'est, en effet, à peu près cette méthode qu'emploie encore Aryabhalla : il se sert des consonnes pour exprimer les chiffres el, par l'addition d'une voyelle, désigne les unités décimales; ainsi

ga = 3, g-i=:3o, ^« =: 3oooo, etc.

23o LES MATHÉMATIQUES INDIENNES.

Il obtient de la sorte, pour les nombres, une représentation consonante et susceptible d'être versifiée.

Les procédés de calcul des Indiens, avant que le système de position eût été complété par l'introduction du chiffre o, purent fort bien ressembler à ceux qu'on employait après la mise en usage du système; car la numération écrite dont ou se servait permettait de faire comprendre, en tout cas, combien on avait d'unités décimales de chaque espèce.

Une partie des méthodes employées par les écrivains qui nous sont parvenus peut dater immédiatement de temps plus reculés, à savoir ceux où la signification des 9 chitfres est précisée par la place qu'ils occupent dans un cadre préalablement divisé : ce cadre dispense en effet, absolument, d'en:ployer le signe o. Tel est le cas, par exemple, dans la forme suivante de la multiplication de 12 par 785, forme que l'on employait aussi pour des nombres plus élevés :

Fig. 28.

Les produits des chiffres isolés sont ici décomposés en unités et en dizaines : après quoi il n'y a plus qu'à additionner dans le sens d'une diagonale des petits carrés.

Les règles de calcul avec le système de position étaient les mêmes, chez les Indiens, que celles employées encore aujourd'hui, du moins dans leurs parties essentielles : et les divergences tiennent, pour la plupart, à des causes purement extérieures. C'est ainsi qu'on avait des tables de calcul relativement petites, étant donnés les caractères assez grands qu'il fallait écrire pour la clarté : mais ces chiffres, on pouvait d'ailleurs facilement les etïacer et les remplacer par d'autres; et, pour cette dernière raison, rien n'empêchait d'additionner

K.MPLOIS DU CALCUL NUMÉniQLE. 23 I

Cl de multiplier à volonté de gauche à droite, pourvu qu'on eût bien soin toutefois de toujours corriger les chiffres déjà écrits, en y ajoutant les retenues qui peuvent résulter de la multiplication des chinVes suivants.

Dans la multiplication païun nombre de plusieurs chiffres, quand on élail assez habile pour se passer d'inscrire les chiffres avec le même détail que dans le tableau ci-dessus, on pouvait connnencer à multii)lier par le chiffre le plus fort, puis, tout on multipliant par le chilTre suivant, immédiatementle i)lus fort, additionner en même temps le produit partiel ainsi lormé avec celui tléjà obtenu, et changer celui-ci en la somme ac(]uise de la sorte, etc. En dehors du multiplicande, continuellement déplacé de façon que ses unités fussent situées sur la môme verticale que les unités du produit partiel à former, et en dehors du multiplicateur, la table ne contenait jamais, ainsi, qu'un nombre obtenu par addition des produits partiels déjà faits.

Ç,Qieffaçage continuel exige, en revanche, une grande assurance, vu qu'on anéantit par là tout moyen de découvrir ses erreurs; il faut donc pouvoir compter en particulier sur une mémoire qui retienne, non seulement les nombres momentanément en jeu, mais encore les tables dont on se sert. Aujourd'hui, clans l'Inde, on apprend par cœur de pareilles tables qui sont fort étendues, et il ne fait aucun doute qu'on en fit autant dans l'antiquité : ainsi, actuellement, on y apprend l)ar cœur des tables de multiplication dont l'un des facteurs est un des nombres de i à lo, tandis que l'autre varie de i jusqu'à 3o, jusqu'à loo même — outre les fractions {, \, |, I 2, i{, 3 4 — et, en plus, de vastes tables de carrés. Avec une mémoire à ce point exercée, il n'est pas étonnant que les Indiens fussent en état d'employer la multiplication, dite multipUcciLion de Fourier. qui consiste à former en croix, et à additionner sur-le-champ, les produits de chaque chiffre des facteurs ayant, dans le produit final, le même ordre décimal.