Algèbre et théorie des nombres; Géométrie

Nous arrivons maintenant à considérer l'Algèbre que Bhùskra, en particulier, traite dans son Vijaganila ou Calcul de racines : on peut dire simplement que c'est un calcul accompagné de ses démonstrations. Ces démonstrations, toutefois, ne sont pas conduites avec la rigueur grecque : elles consistent essentiellement à ramener les problèmes à une équation, dont la solution prouve la justesse des calculs mômes qui servent à résoudre ces problèmes, mais, du moins, on saisit ainsi, en partie, comment furent trouvées les règles de calcul données par le Lilàvaii.

L'Algèbre indienne concorde avec celle de Diophante en ceci qu'elle s'est débarrassée de la représentation géométrique, et ne traite que les nombres en tant que nombres. Mais, pour le Grec qu'était Diophante, il fallait que les quantités issues du calcul fussent des nombres rationnels, tandis que les Indiens, à logique moins subtile, n'éprouvaient aucun scrupule j^our appliquer aux nombres irrationnels les règles de calcul des nombres rationnels : et cette circonstance, précisément, permit beaucoup plus d'ampleur à leurs opérations. Au lieu des transformations pour les irrationnelles, faites dans Euclide sous forme géométrique, nous rencontrons chez les Indiens le calcul direct sur les nombres irrationnels : ils avaient d'ailleurs des règles pour procurer aux fractions des dénominateurs rationnels et, ce qu'Euclide opère sous forme géométrique, pour supprimer une double irrationalité ; ils savaient même que

V i6 — VI 20 -+- v/72 H- v/t)o -^ y/ 4^ H- \/4o ^- v/24

exemple que l'on a vraisemblablement obtenu au moyen du calcul inverse.

Sous d'autres rapports encore, les Indiens dépassaient \c> bornes qu'un Grec prudent devait s'imposer : ainsi, n'ayant pas introduit la notion des quanlilés négatU-es, les Grecs devaient prendre garde que les deux membres d'une équation fussent toujours positifs pour la valeur de l'inconnue qui doit y satisfaire; et si un problème une fois posé aboutissait de lui-même à un résultat négatif, le Grec, qui savait s'ex- ])liquer la raison d'un tel fait, devait s'en servir pour changer la forme de l'énoncé, de manière qu'il ne fût plus question (jue de trouver la quantité correspondante et positive. Les calculateurs indiens, eux, s'en tenaient davantage aux calculs, et à leurs résultais tels quels : ils ne s'inquiétaient nullement de savoir jusqu'à quel point les membres de l'équation exprimée étaient véritablement positifs ou négatifs, et, quand la quantité cherchée se présentait négative, souvent, sans doute, ils rejetaient une racine de cette nature, mais, souvent aussi, ils savaient se débrouiller avec elle, en la désignant simplement comme une dette. Ils établirent également des règles pour calculer des quantités précédées de signes, mais ils ne les appliquèrent tout d'abord qu'à traiter les termes séparés dans des calculs sur des polynômes : partant de là, on connaissait l'existence du double signe d'une racine carrée et, en conséquence, on attribuait deux racines à une équation du second degré — cependant, lorsque l'une d'elles était négative, on la rejetait le plus souvent.

Une autre preuve d'heureuse interprétation, c'est la juste

explication qu'on trouve chez eux du svmbole néanmoins

il faut dire que l'on rencontre aussi des emplois tout à fait inexacts de grandeurs ainsi formées.

En ce qui concerne les moyens d'analyse, les Indiens employaient, comme Diophante, des symboles qui étaient en réalité des abréviations de mots, pour représenter les quantités cherchées etleurs puissances; mais ils allaient plus loin que Diophante, puisqu'ils pouvaient désigner, en même temps, plusieurs inconnues différentes. C'est ce qu'ils parvenaient à faire en donnant à chacune d'elles une couleur distincte, dont ils abrégeaient aussi le nom, et cette extension du langage symbolique occasionna, à son tour, une exten-

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sien du calcul sur les quanlilés exprimées par un tel langage.

Ces ressources, améliorées de la sorte, devaient constituer un avantage pour les Indiens dans le traitement des équations déterminées à une ou plusieurs inconnues, et cependant, sur ce terrain, nous ne trouvons chez eux rien d'autre que ce que savaient faire les Grecs eux-mêmes, auxquels ils étaient certainement redevables de la solution des équations du second degré. En revanche, nous rencontrons une innovation noi;ii)le dans le domaine des équations indéterminées : elle consiste en ce que les Indiens ne s'y contentaient point, comme Diophante, de solutions rationnelles, mais voulaient des solutions en nombres entiers.

Ils eurent ainsi déjà l'occasion de s'occuper d'équations indéterminées du premier degré : et, pour résoudre une telle équation en nombres entiers, ils employaient à peu près les mêmes calculs que ceux que l'on fait aujourd'hui pour la solution de cette question au moyen des fractions continues. Cependant, comme les règles sont données sans démonstration, nous ignorons comment elles furent découvertes et nous ne voulons, en conséquence, faire qu'une remarque à ce sujet : on peut facilement parvenir à ces règles sans introduire expressément la notion des fractions continues et de leurs convergentes.

D'abord, il est évident qu'on peut, en multipliant par c, <léduire les solutions de l'équation

ax — by z=^ c

de celles de l'équation

a.r — bf = i;

si, dans cette dernière, « > î>, et si l'on obtient, à la division de a par b, le quotient g et le reste /•, on a

/'X — I une détermination de a-, telle que - — ; — =z soit un

nombre entier, dépend alors d'une équation à coefficients

plus simples. A la réduction, on a exactement les mêmes

nombres que quand on cherche la plus grande commune mesure, et il ne reste plus qu'à suivre la même marche jusqu'à ce que l'on arrive au coefficient i : après quoi, l'insertion concorde avec le calcul des convergentes d'une fraction continue.

Ils ne s'occupaient pas seulement d'une seule équation à deux inconnues, mais aussi de systèmes d'équations à un plus grand nombre d'inconnues. Ainsi, les problèmes se proposent souvent de trouver un nombre qui, divisé par dilîérents nombres donnés, donne des restes donnés.

Il se peut que, originellement, ces problèmes viennent des Chinois chez qui l'on a trouvé une règle ancienne pour les résoudre : souvent, d'ailleurs, ils concernent la détermination des périodes astronomiques au bout desquelles certains phénomènes se reproduisent simultanément, par exemple poulies éclipses, etc.; mais les longueurs de ces périodes, connues des astronomes grecs, ne donnent lieu, il est vrai, qu'à des équations homogènes.

Si, dune part, on demande quel est l'intervalle de temps qui comprend un nombre entier, et de jours, x, et d'années, ty on aura, puisque 3o ans égalent 10960 jours,

1 0960 l ^rzoo X ou

Si, au contraire, on demande quand se produira la rencontre des phénomènes en question, on obtient des équations complètes indéterminées : par exemple, s'il manque

— jours pour arriver au terme du lour et - années pour /i '1

être à la lin de l'année, et que l'instant où le nouveau

joui' coïncidera avec l'année nouvelle doive arriver après

\ X ^ — ] jours = ^ -t- - années, on aura

1 0960 ( t^'-\—.?,oix'^ — j

AUiÈBRE ET TnÉORIE DES NOMBRES; GÉOMÉTRIE. 289

lîhâskara simplifie loulefois la question en supposant que, dans les fractions, le dénominalcui- 7 = 10960, avec n = 3o, ce qui permet, du moins, d'obtenir une certaine approxiMialieii,

On résout facilement l'équation xy -h cix -t- hy =: c : on la transforme en {x ■+■ b) (y + «) — c -^ ab, puis il ne s'agit plus que de décomposer c 4- ab en un pioduil de facteurs entiers.

Mais les Indiens surmontèrent de plus grandes difficultés que celles-ci dans le traitement d'équations indéterminées, du deuxième degré par rapport à chacune des inconnues; et nor» seulement comme Diopliante, leur initiateur probable pour ces questions, ils cherclicnt pour ces équations des solutions rationnelles, mais aussi des solutions entières. Ils s'occupèrent particulièrement d'équations de l'espèce

(i) y-^ ax"^^ b,

forme à laquelle se réduisent encore d'autres équations indéterminées du second degré.

Pour donner une idée de leur mode de traitement, nous allons reproduire ici leur solution de l'équation particulièrement importante

qui, beaucoup plus tard, sous le nom (ïéquatioii de Pell, devait préoccuper les mathématiciens d'Europe : elle se présente quand il s'agit, au moyen d'une fraction -, d'exprimer-

le plus exactement possible la racine carrée d'un nombre a, non carré.

Commençons donc par un procédé, différent de celui de Diopliante, mais à l'aide duquel ils savaient obtenir un nombre illimité de solutions rationnelles : formons, d'abord, les équations

( ax\ -^ 61 = ji,

I ax\ -h b2=^ y\,

où b^ et ^2 se déterminent en choisissant arbitrairement j:,, ji, jr, et y.,; résolvant ces équations par rapport à by et b.,, le produit de ces deux quantités peut s'écrire

{ax^x.^ yiyir — a {x^y.— x^y^f^ b^b.;

voici donc une troisième équation,

I pour laquelle

b.^ — bi b., X3 — x^y^ ^ ^2j-, ,

En identifiant alors les deux équations (3), on a

(7 ( 2 .r 1 j'i )■- 4- 6- =: ( a.r j + r\ )ou

et l'on possède bien ainsi une solution rationnelle de l'équation (2); si l'on veut alors poursuivre, en insérant des valeurs arbitraires pourri et/i,on peut souvent obtenir des nombres entiers comme valeurs de x et de /.

Il faut, en particulier, remarquer les cas où l'on parvient à trouver déjà que Z^ =± i, ou d=2.

Si bz=i\-^ on peut, en suivant cette marche, d'une solution de (2) tirer une solution nouvelle et, ensuite, autant de solutions que l'on en désire; si 6 = — i, ou ±2, (5) donnera à son tour une solution de (2) en nombres entiers, car de y\ := ax\ == 2 on déduira que ax\ -\- y\ ■=■ 'i.ax\ ±: 2, ou bien est égal à un nombre pair. En même temps la connaissance d'une solution de (2), en vertu de (4), permet de tirer, d'une solution de (i), des solutions en nombre indéfini.

Cependant, pour une valeur donnée de a, si les essais successifs sont impuissants à établir une équation de la forme (i), pour laquelle b soit égal à ± i ou ± 2, alors on se servira de la méthode dite cyclique pour réduire la valeur de b : soit, par exemple,

ax\ -\-by— y\

une équation dans laquelle b^ est déjà aussi petit qu'on le

put obtenir par des essais qui peuvent consister à faire de ~

une valeur approximative de \]a\ x^ et ^j n'ont alors aucun

ALGÈnRE ET TIlfiORIE DES NOMUIIES; GÉOMÉTRIE. 2^1

facteur commun, car un tel facteur, clans les deux membres de l'équation posée, serait un facteur carré, et l'on pourrait avoir une équation plus simple de même nature. On considère

équation pour laquelle Xn et z- se laissent déterminer comme nombres entiers, et l'on choisit ceux qui rendent z"- — a aussi liclit que possible : et si l'on pose alors

bo est un nombre entier, et ax\ -i- b., un nouveau nombre carré j!^.

Ce fait est facile à établir, et, cependant, les écrivains indiens ne le démontrent point, pas plus qu'ils ne prouvent que l'on peut efïeclivemenl, de la sorte, parvenir à />=i : ils ne possédaient sûrement pas la sagacité mathématique suffisante pour établir théoriquement ce dernier point, dont la démonstration est due à Lagrange qui, de son côté, devait retrouver cette solution. Toutefois, les essais numériques des Indiens avaient abouti à une marche parfaitement juste : ils attendaient même toujours un bon résultat de remi)loi de cette méthode, et c'est là une preuve de leur grande habileté pour le calcul.

Outre des méthodes qui relèvent, comme la précédente, de la théorie des nombres, les Indiens possédaient encore diverses propositions de cette même théorie, entre autres la suivante : les quantités

ip

ip

sont deux carrés.

Disons également ici qu'ils connaissaient et employaient les formules servant à dénombrer les permutations et les combinaisons, ainsi que, comme les Grecs, celles des sommes des carrés et des cubes des premiers nombres entiers.

Z. iG

242 LTS MATHÉMATIQUES INDIENNES.

Nous n'avons, d'autre part, aucune raison de nous arrêter à la Géométrie des Indiens : la plupart des théorèmes de leur connaissance étaient certainement dus aux Grecs, bien qu'ils aient souvent poussé plus loin que ceux-ci le calcul fondé sur ces théorèmes.

Un théorème de Brahmagoupta doit cependant attirer l'attention, considéré comme une extension aux quadrilatères de la formule de Héron pour les triangles : tel quel, ce théorème énonce que la surface d'un quadrilatère quelconque est représentée par\(^ — a)(^ — b){s — c){s — d), où a, b, c, d sont les côtés et s leur demi-somme; Bhâskara, déjà, l'entendait ainsi, et c'est donc avec raison qu'il s'arrête à cette hypothèse erronée qui consiste à dire qu'un quadrilatère est déterminé par ses côtés. En réalité, Brahmagoupta ne traite que deux classes déterminées de quadrilatères inscrits, pour lesquels le théorème est exact, mais il se peut fort bien qu'il n'ait tenu aucun compte de cette distinction qu'il n'exprime pas dans ses énoncés; les quadrilatères dont il s'occupe sont : pour une part les trapèzes isoscèles, d'autre part les quadrilatères inscrits à diagonales rectangulaires.

Encore que cela ne ressorte pas nettement, il est vrai, dans Brahmagoupta, les Indiens peuvent avoir eu, néanmoins, comme raison de s'occuper de ces derniers quadrilatères, ce fait que dans leur Trigonométrie ils se servaient, non comme Ptolémée de Tables de cordes, mais de Tables de sinus. En effet, le diamètre du cercle étant égal à i, et deux arcs qui se rencontrent étant respectivement égaux à 23: et à 2 y, on voit que les côtés du quadrilatère sont sin ^, sin j, coScT et cosy, et que les diagonales se divisent suivant les produits sin^cosj et sinj'cos.r, et en sinarsinj et cosjrcosr. — La figure est ainsi, vraisemblablement, celle même que l'on employa pour la détermination de sin(.r +j').

Les Tables de sinus et de sinus verses, qui se trouvent dans le Sourya Sidd/iànta, ne descendent cependant pas audessous d'intervalles de 3°|, tandis que les Tables de cordes d'arc de Ptolémée correspondent à des Tables de sinus qui auraient un intervalle de o°i5'. Si ces Tables, comme tant d'autres parties de ce Livre, sont d'origine grecque, elles doivent donc provenir d'Ouvrages plus anciens que ceux de

ALGÈBRE ET inÉORIE DES NOMBRES; GÉOMÉTRIE. 248

Ploléméc; peul-èlrc alors faïuirait-il on faire romonler l'orij^ine aux astrononios alexandrins qui ont pu, au contraire d'Hipparque et de son école, employer des Tables de sinus. Cependant, le mérite d'avoir remplacé les Taliles de cordes d'arc par des Tables de sinus peut fort liien aj)partenir aux Indiens; leur sens du calcul pratique dut vile leur faire découvrir ]es avantages de ces dernières, qui se rapportent immédiatement aux angles des triangles rectangles.

En tous cas, c'est à une origine indienne qu'il faut probablement faire remonter une loi empirique pour la formation successive des sinus, déduite de l'examen de leurs différences premières et secondes; au contraire, pour employer la Table des sinus, ils se servaient, dans leurs calculs astronomiques, des règles contenues dans V Analemme de Ptolémée (p. igS).

Il n'est point impossible, par ailleurs, que la valeur approximative de 77, '- — ~ — -) qui se trouve dans ArrabhaLla, soit 10 000

(l'origine grecque, car nous savons, en effet, qu'Apollonius déterminait t. plus exactement qu'Arcbimède; mais, en revanche, Tapproximation 7: = \ lo rencontrée dans Brahmagoupta, est certainement trop arbitraire pour remonter aux Grecs.

Nous ne rencontrons pas davantage de types grecs et relatifs à une formule approximative qui permette de calculer la corde k d'un arc donné, formule qui se trouve dans Bhàskara et que voici :

k — Ud

'ip--b{p-by

d est le diamètre, p la circonférence et b la longueur de l'arc.