Introduction générale

Nous avons vu que, dès ranliqiiilr, les Grecs avaient édifié une Géométrie qui traitait les rapports d'espace d'une manière si complète, et avec une telle sûreté de conclusions, qu'elle peut mainicnir son rang de science, même vis-à-vis des plus sévères exigences des temps modernes; et, d'autre part, puisque les formes géométriques constituent en même temps rm moyen de représenter les grandeurs continues, en général, cette (léomélrie renferme donc aussi une bonne partie de ce que nous appelons actuellement la Mathémaliqae pure. Sous cette forme, l'Algèbre comprit la solution des équations du second degré, et des applications très étendues de ces équations : elle fut poussée jusqu'au traitement d'équations du troisième degré, traitement qui ne comportait point, sans doute, la réduction à des radicaux selon le procédé actuel de résolution, mais qui, cependant, par l'emploi de la théorie des sections coniques, permettait de discuter et d'étudier théoriquement les problèmes qui dépendent de ces équations; par là même, cette méthode était encore applicable à des problèmes qui eussent dépendu d'équations du quatrième degré, sans toutefois qu'il fût jamais question de poser directement de pareilles équations.

A côté de ces questions, qui se rapportent à l'analyse finie, les Grecs avaient également abordé des problèmes qui dépendent aujourd'hui du Calcul intégral, et, quoique cet essai n'ait pu embrasser un grand nombre de questions particulières, il fut toutefois entrepris sous des formes dont la grande valeur scientifique est d'autant plus appréciée, de nos jours, que nos exigences scientifiques se font plus grandes.

Enfin, nous avons vu que l'application numérique des Mathémali(pies se développa peu à peu pour les besoins

croissants de l'Astronomie, et nous avons rencontré chez Diophante des échantillons d'une pénétrante investigation à propos des conditions numériques de rationalité.

Par ailleurs, l'antique habileté des Indiens dans le maniement des nombres s'était épanouie en une véritable Arithmétique. Ils employaient le système de position, comme nous le faisons aujourd'hui, et le contact des Mathématiques grecques suscita, chez eux, des progrès originaux : le fait le plus important à leur actif fut de traiter d'une façon satisfaisante les questions qui concernent les nombres entiers. iSéanmoins, quelques-uns de ces progrès se rattachent peut-être bien à une époque oii la rénovation des travaux mathématiques avait déjà commencé chez les Arabes.

Pour estimer à sa juste valeur le mérite des peuples auxquels, après les Grecs et les Indiens, revient le développement des Mathématiques, il faut considérer combien elles étaient loin encore d'être commodément accessibles aux peuples nouveaux. Elles étaient même peu accessibles aux Grecs d'une époque plus récente : et si, pour les œuvres conservées de l'époque antérieure, ils avaient pu garder en tout cas, ou du moins reprendre, de temps en temps, l'exacte intelligence des détails, ces œuvres ne leur fournirent point, du moins, la vue d'ensemble sans laquelle il est impossible de pousser plus avant. D'ailleurs, elles ne donnaient aucune espèce de renseignements sur les méthodes autrefois si fécondes en résultats importants, et toute tradition utile à cet égard était depuis longtemps perdue : il fallut donc retrouver soi-même ces méthodes, ou d'autres, avant qu'il ne put être question de s'approprier entièrement la teneur des susdites œuvres — bien plus, maint résultat ne put être reconnu comme ayant appartenu aux Grecs, avant d'avoir été retrouvé sous une autre forme.

Néanmoins, durant toute cette résurrection des Mathématiques, l'apport des Grecs ou bien encore ce que, petit à petit, l'on apprenait à comprendre dans leurs travaux, allait, bien entendu, excellemment servir à guider et à initier les esprits.

Dans ces conditions, et grâce à son usage pratique très facile, l'Arithmétique indienne offrait plus de chances de pénétrer dans les endroits où l'on avait occasion d'en faire

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connaissance. Cependjiiil, il faut aussi remarquer ici (|u'il ne suffit point d'en posséder les principes pour la pouvoir a|)précier à sa juste valeur : nous-nièuies, nous ne pouvons l'euiployer sans une certaine somme d'eiïorts, dès notre enfance, pour en apprendre par cœur les Tables les plus simples, et pour nous rompre à sou maniemenl. — Ses avantages ne frappaient donc; pas immédiatement : et cela, peutêtre, d'aulaiil plus (|ue les gens élaienl déjà versés dans d'autres méthodes.

Les héritiers immédiats des Mathématiques grecques, au terme de l'ère autifpic, héritiers des quelques œuvres capitales (pii aient été conservées, et de l'inleHigence sans cesse dé- (•roissante de ces œuvres, furent rKmi>ire romain d'Orient et la civilisation gréco-catholique qui avaient pour capitale commune ("onstantinople. Encore que, par la suite, des influences d'origine indienne aient pu venir s'y faire sentir, en fait, nous ne rencontrons toutefois à Constantinople que la continuation du marasme commencé : les Ouvrages subsistants des grands géomètres grecs, cet héritage du passé, furent ensevelis sans qu'on en tirât aucun parti — et ils ne devaient être déterrés qu'à la fin du moyen âge, pour servir alors utilement à la culture européenne.

D'ailleurs, avant que cette renaissance n'eût lieu, une partie au moins de ces travaux, com])ris de nouveau et vivifiés par un intérêt renaissant, a\ait fait retour en Occident par une tout autre voie : par les Arahes.

In tel héritage tlu passé n'échut pas aux peuples qui, par invasion, devaient prendre le premier rùle dans l'Europe occidentale : ces peuples, en eiTet, adoptèrent le christianisme et participèrent à la civilisation romaine, tandis que les Mathématiques n'étaient pas du domaine de celle-ci. Autrefois, les romantiques ont prêté au moyen âge d'Occident un éclat qui est sûrement inexact sous bien des rapports, cependant que l'on est souvent porté, aujourd'hui, à tomber dans l'excès contraire et à ne patler que des ténèbi^es du moyen âge : ce jugement, lui aussi, risque d'être erroné à beaucoup de points de vue, et, notamment, si l'on considère le degré de civilisation dans lequel se trouvaient la plupart des peuples en question, au début du moyen âge, et celui

qu'ils atteignirent à la fin. En réalité, ce qu'ils avaient pris, soit au christianisme, soit aux lois et inslitulions romaines, fut refondu par des hommes lahorieux, principalement dans les cloîtres, en vue d'un intérêt spirituel; et la valeur propre de ces acquisitions, leur influence civilisatrice, fut pour les peuples une véritable bénédiction.

Mais, en ce qui concerne plus particulièrement les Mathématiques, on ne les pouvait alors connaître que par des extraits insuffisants, effectués par les arpenteurs romains dans les règles pratiques des Égyptiens (*) ainsi que dans celles de Héron, tout au plus par des fragments d'Euclide ou de Nicomaque : les successeurs des arpenteurs, plus théoriciens mais aussi peu scientifiques que ceux-ci, devaient présenter ces fragments sous des formes qui prêtaient à bien des méprises, telles que de prendre des nombres figurés pour des expressions de siu^faces.

La partie la plus utile — et la plus pratique — de l'héritage mathématique partiel reçu des Romains, qui la tenaient euxmêmes des Grecs, fut la Table à compter, l'abaque, qui allait être perfectionnée de la manière suivante à une époque qu'il serait difficile de préciser (-) : les marques, ou jetons, qu'on |)laçait sur les différentes colonnes de la Table, au lieu d'être semblables et de désigner par leur nombre celui des unités décimales auxquelles appartenaient les colonnes, comprirent désormais neuf signes distincts, qui correspondaient aux nombres de i à 9. — Au total, ce legs était évidemment fort peu de chose si l'on doit le comparer à ce que les Égyptiens, de leur temps, avaient transmis aux Grecs.

(') La dépendance des Âgrùncnscurs romains, par rapport à Héron et à la tradition égyptienne, est gravement mise en doute depuis qu'il semble prouvé (jue Héron était au moins d'un siècle postérieur à Auguste ; les connaissances des Agrimenseuis paraissent plutôt dériver, par l'inLermédiaire du polygraplie Varron, d'une part des disciplines étrusques, dri l'autre de sources grecques en partie perdues (T.).

(-) Si ce perfectionnement est sûrement antérieur à Ger])ert, il n'est point prouvé qu'il le soit à l'introductiou des cliilTres arabes en Espagne; c'est peutêtre dans ce pays qu'il a été réalisé (par des commerçants juifs? ) pour continuer à se servir de Yabacus romain, qui dispensait d'écrire, tout eu pi-ofitant des avantages île la nouvelle numération (T.).

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CopondanI, tai)t dans les cloîtres que dans les villes commerciales du sud de l'Europe, surtout les italiennes, il y avait un terrain [)ropre à la culture des Mathématiques grecques, — ce que l'on vit bien lorsqu'elles revinrent en Europe sous une meilleure forme. Ce retour allait s'opérer par l'intermédiaire des Arabes : ceux-ci, d'une part, avaient acquis une droite intelligence des Mathématiques grecques, et leur avaient imprimé des progrès nouveaux qui, certainement, les rendaient plus accessibles qu'elles ne l'étaient dans les vieux écrits grecs conservés; d'autre part, ilsy avaient ajouté, dans une large mesure, 1' \riilniH''ti(|ne indienne. Sans doute, après leur rencontre avec les Arabes à propos des croisades, ou bien aussi tant en Espagne qu'en Sicile, il fallut quehiue temps pour que les Européens s'appropriassent leurs Mathématiques et, du même coup, une partie des Mathématiques et de l'Arithmétique grecques et indiennes; toutefois, c'est durant cette assimilation que se prépara le mouvement d'innovation, de développement rapide, coïncidant, au commen- <'ement du xvi" siècle, avec les grands progrès effectués en d'autres directions et qui marquent la date initiale des temps nouveaux.

De tout ce qui vient d'être dit il ressort c|ue la part la plus précoce — et la plus considérable — du développement des Mathématiques au moyen âge revient bien aux Arabes. Pour ce qui est des conditions extérieures elles-mêmes de ce développement, j'attirerai tout d'abord l'attention sur la prodigieuse rapidité avec laquelle les Arabes, et à leur suite le mahomélisme, étendirent leurs conquêtes sur une étendue immense de pays : bientôt alors, par l'acceptation de la religion musulmane, les indigènes de ces régions ne firent plus qu'un avec les Arabes, et de nombreuses contrées furent ainsi liées les unes aux autres; or, parmi ces territoires, se trouvait l'Egypte, antique berceau de la Géométrie, avec Alexandrie où cette science s'épanouit le mieux et continua le plus longtemps à donner des signes réels de vitalité — de môme que d'autres parties encore, peuplées par les Grecs, ou influencées par la culture hellénique.

Les Arabes envahirent également les régions qui avaient été, jadis, le séjour des astronomes babyloniens etchaldéens :

ils poussèrent jusqu'à l'Inde et, de la sorte, furent en contact avec l'Arithmétique indienne beaucoup plus directement que ne l'avaient été les Grecs.

Mais un tel concours de circonstances favorables ne suffit pas encore pour que l'on pût s'approprier aussi complètement les Mathématiques alors existantes : n'avons-nous pas vu que pendant fort longtemps, pour les Grecs eux-mêmes, la science grecque est restée un trésor inerte? que les Romains, qui avaient eu la même occasion que désormais les Arabes de participer aux Mathématiques grecques, et cela à une époque où celles-ci n'avaient encore que fort peu perdu de leur fraîchenioriginelle, n'avaient pas su mettre à profit cette occasion? Peut-être, il est vrai, la civilisation nationale romaine était-elle, malgré ses bornes, trop vaste et trop considérable pour assimiler ce qui concerne les branches les plus difficiles de la science grecque, et spécialement les Mathématiques : les Romains ne surent point devenir d'aussi bons écoliers que le furent, d'une part, les peuples barbares de l'invasion en Occident par rapjjorl à cette civilisation romaine ellemême el, d'autre pari, les Arabes, ce peuple si jeune, vis-à-vis de ce qui restait de la civilisation grecque.

Tous les souverains arabes ne se montrèrent pas, en effet, aussi haineux vis-à-vis de la science que le fut Omar, deuxième successeur du Prophète, encore qu'il ne faille pas lui imputer la plus grave des destructions, les incendies réitérés de la bibliothèque alexandrine : elle eut lieu avant lui, et avant l'époque des Arabes. Des dynasties entières de princes allaient s'élever, au contraire, qui mirent leur honneur à favoriser l'essor de la Science et qui crurent même augmenter par là leur propre autorité : parmi eux contentons-nous de nommer la série des Abbassides, Almansour, Hàroun Arraschid et Almamoun (754-833) qui succédèrent à la race d'Omar et fondèrent en 76?, Ragdad, dont ils firent leur résidence. C'est dans celle ville que, longtemps encore ajirès les Abbassides, se maintint le foyer des Mathématiques arabes; on y rattache les mathématiciens postérieurs les plus considérables et les plus dignes de mention.

Là, également, après la conquête de Ragdad par les Mongols (1258), l'astronome et mathématicien NassîrEddin sut assurer

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à sa science une situation favorisée; là, aussi, au xv" siècle, et après une nouvelle invasion de barbares, domina le plus récent des matliémaliciens de l'époque arabe que nous ayons à nommer, le prince lartare Oloug-Beg ('). Depuis liagdad, d'ailleurs, la science s'était étendue jusqu'aux plus lointaines contrées du vaste monde musulman : et un fait assez important pour le développement ultérieur des >ralbématiques, c'est la formation d'une école arabe d'Occideni, qui |iut alors servir d'intermédiaire scienti(ii|ue aux [leiipics de l'Europe occidentale.

Sous les Abbassides les Éléments d'Euclide et la Syntaxe de Ptolémée furent traduits en arabe; plus tard, c'étaient les Traités de Diopbante, Héron, Archimède, Apollonius et, en plus de ces œuvres capitales, les Arabes ont connu un ouvrage actuellement perdu d'Hi{)parque sur les équations du second degré. De même, dès l'époque d'AImansour, on commence à traduire les œuvres astronomiques indiennes, les Siddhântas, appelés sindhind par les Arabes : on y puise l'usage du sinus et, avant tout, l'Arithmétique indienne qui devait encore se répandre par les relations commerciales.

Quant aux autres progrès des Mathématiques dont nous soyons redevables aux Indiens, ils semblent au contraire avoir eu fort peu d'intUience sur les Arabes, qui se considéraient avec raison comme élèves des Grecs, surtout au point de vue scientifique, et qui négligèrent les théories moins solidement fondées, comme celles qu'ils eussent pu emprunter aux Indiens.

La traduction des œuvres grecques les plus difficiles nous est la meilleure preuve que, à la longue, on en était arrivé au point de développement où ces œuvres pouvaient être étudiées et comprises; et, d'après ce que nous avons dit déjà précédemment à ce sujet, il résulte qu'un tel développement ne fut pas atteint sans exiger un labeur personnel considérable de la part des Arabes. Nous avons un témoignage de l'amplitude de ce travail, et de la façon sérieuse avec laquelle

(') Si Xassir Eddîii dirigea lobservatoire de Maragba, construit aux fraisd'Houlagon, c'est à Bagdad quïl mourut en \i-!\. Mais au temps d"01oug-Beg, qui résidait à Samarcande, la suprématie intellectuelle de Bagdad était déjà bien décbue (T. ).

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s'y préparait chaque mathématicien, dans ce qu'on nous rapporte du traducteur de Diophante, Aboul Wàfa, dont nous aurons encore l'occasion de mentionner bientôt les mérites originaux : dans sa jeunesse, il étudia l'Arithmétique spéculative et l'Arithmétique pratique (c'est-à-dire rAlgèhre et l'Arithmétique) avec deux maîtres et, chez deux autres maîtres encore, la Géométrie.