PREMIER RÉVEIL DES MATHÉMATIQUES EN EUROPE

l'étude des seclions coniques et à la solution des problèmes — telle que la faisaient les Grecs.

Le second Livre d'Oresme porte le titre : Algorismus proporlionam. Nous mentionnerons particulièrement l'introduction de puissances à exposants fractionnaires, et les règles les plus simples pour le calcul sur ces puissances. Oresme emploie même une notation spéciale pour les puissances : il écrit 4'^ à peu près ainsi : [ii'v]^, oi^i la lettre/» {proportio) signifie rapport: comme cela ressort de la théorie exacte des |)roportions dEuclide, les racines de ces puissances sont, en eiïel, des rapports, et les puissances à exposants entiers se forment comme des rapports composés.

Du reste il existe déjà chez les Anciens un précédent à la formation, par cette méthode, d'une puissance à exposant fiactionnaire : Archimède montre, effectivement, que le rapport entre le plus grand et le plus petit segment d'une sphère, divisée par un plan, est plus grand que le rapport, pris une fois et demie, entre leurs surfaces courbes, c'est-à-dire que ce rapport à la puissance :].

En étendant ainsi aux puissances à exposants fractionnaires les règles de calcul des puissances de même base et à exposants entiers, l'œuvre d'Oresme permet déjà de pressentir le calcul par logarithmes.

Après l'invention de l'Imprimerie, le Livre d'Oresme que nous avons nommé le premier fut édité à différentes reprises : même auparavant, d'ailleurs, il était certainement assez réi)andu.

Le second, au contraire, ainsi que celui de Chuquet dont nous allons parler, ne furent imprimés que récemment, par pur intérêt histoiique, et paraissent n'avoir exercé aucune influence particulièrement notable : c'est ainsi que Chuquet, précurseur du calcul logarithmique, mais tout autrement que ne l'avait été son coinpalriote Oresme cent ans avant lui, ne connaît point ce second Livre. Tous deux, cependant, méritent d'être mentionnés : ]iour l'époque, et pour le milieu, ils indiquent ce dont étaient capables des hommes bien doués, ils montrent, en un mot, jusqu'à quel point on était parvenu.

L'Ouvj-age de Chuquet auquel nous faisions allusion est le

28o LE MOYEN AGE.

I,ype, pour nous, d'un excellent Traité de l'Arithmétique et de l'Algèbre au xv'' siècle : il porte le titre de Triparty en la science des nombres, et fut achevé en 1484.

Arrêtons-nous tout de suite au sujet même que nous avons déjà trouvé dans Oresme : en effet, quelques problèmes de Chuquet présentent indirectement des exposants fractionnaires, par exemple le suivant :

Un voyageur fait i mille le premier jour, 3 le second, 9 le troisième, etc.; combien a-t-il fait de chemin en 5 jours et demi ?

Chuquet indique effectivement la solution, obtenue en supposant que la rapidité s'accélère d'une façon continue, et selon la même loi que d'un jour au suivant.

Un autre problème, directement cette fois, exige un exposant, c'est-à-dire, en d'autres termes, un logarithme :

Un vase a une lissure par où se vide journellement -f^ de son contenu; au bout de combien do jours la moitié du contenu sera-t-elle écoulée?

La solution 6 ^-r, — —^— est bien celle que l'on trouve par a o I 4 -4 1

simple interpolation, ou en appliquant la règle de deux fausses

positions aux valeurs d'essai 6 et 7; mais Chuquet, lui-même,

ne trouve pas cette approximation très suffisante.

Enfin, dans un passage de son Ouvrage, il va jusqu'à donner formellement une règle capitale du calcul par logarithmes : il établit une série de puissances du nombre 2, avec leurs exposants appropriés, et remarque que le produit de deux nombres de la première série est le nombre même de cette série qui correspond à la somme des exposants des facteurs.

C'est par voie indirecte, il est vrai, que Chuquet laisse entrevoir la compréhension qu'il a des exposants fractionnaires, mais, en revanche, il emploie nettement dans ses notations l'exposant o et les exposants négatifs. Déjà, comme nous l'avons vu, Diophante avait des désignations spéciales pour chacune des quantités

et ses règles de calcul montrent f|u'il n'était pas sans com-

PRF.MIi:» UfiVF.ir, DES MATIlf;MATIQLES EX ELROPI-. ^8 1

prendre la coiicoidaiicc de ces grandciiis; Chuquel, lui. inaiciue celle conospoiidaiice dans la nolalion elle-nièinc, par ce fait (iiTii t'xpiinie les exposants de» diflérentes puissances de l'inconnue avec un signe d'exiMtsant, Joinl au coelficient nuniéiif|ue par lequel on doit inulliplier celle puissance : ainsi, cet exposant peut être posilif, nul ou négatil'. Négatif, on le désigne par m : de la sorte 7'"" signifie ce que nous exprimons aujourd'hui par7^~\ En outre, Cliuquet possède un signe pour la racine n'^""' (mais seulement pour des valeurs déterminées de n), et les signes /> et m pour nos symboles + et — . — On voit donc qu'il était en mesure de donner une repiésentation limpide à ses équations, et même encore à celles de leurs transformations qu'on avait jusqu'alors exprimées par des mots.

Si Chuqu(^t, nous l'avons vu, ne craint pas d'introduire des quantités négatives dans ses exposants, il n'y a rien alors d'étonnant à ce qu'il ne soit point déconcerté par les solutions négatives de certaines équations : il s'entend fort bien à les élucider, — mais, par contre, les solutions imaginaires auxquelles devrait conduire l'un de ses problèmes paraissent uniquement correspondre à quelque erreur de sa part.

Passons rapidement sur des sujets, bien traités sans doute par Chuquet, mais que nous avons pu voir également chez des mathématiciens antérieurs, et contentons-nous de mentionner ce fait qu'il applique, et qu'il a même la prétention d'avoir inventé, la règle de la formation de moyennes gran-

deurs simples -r^ r-' entre deux grandeurs connues 7-

' Xùi-h-b.' ^ by

et T-" : il l'utilise dans la formation de nouvelles valeurs bo

d'essai pour la solution plus précise d'une équation dont la

racine est intermédiaire entre 7- et y^-

by b-i

Les Ouvrages comme ceux d'Oresmeet de Chutiuet prouvent qu'il y avait, aux derniers siècles du moyen âge, des hommes capables de contribuer avec originalité au développement des Mathématiques. Leur apparition, la richesse en problèmes et en investigations que nous rencontrons cliez Chuquet, témoignent encore que les connaissances mathématiques, et le

yoût de ces sciences, avaient déjà pris une assez grande extension. Au reste, les manuscrits tirés des bibliothèques d'Allemagne fournissent maintes preuves de ce progrès : c'est ainsi que, à Munich, on a trouvé une collection de divertissements arithmétiques datant du xiv«' siècle — et, du siècle suivant, de semblables divertissements composés, celte fois, non plus en latin mais en allemand.

Il existe également d'autres manuscrits du xv siècle : l'un d'eux, où l'on détermine des nombres parfaits, est écrit en allemand; et ils attestent tous un profond intérêt pour la théorie des nombres. En outre, vers la fin du xv", l'Algèbre était venue d'Italie, par delà les Alpes; nous avons une preuve de cette origine italienne pour l'Algèbre, en Allemagne, dans le nom de cossische Kunst que l'on donne à cette science, et de Cossisten à ceux qui l'exerçaient : ce nom venait, en effet, de l'italien cosa, chose, c'est-à-dire la chose cherchée à l'aide de laquelle on opère tout comme si elle était connue. En fait de cossistes de marque il nous faut particulièrement signaler : Johannes Widmann d'Eger (porté à la date de i48o dans les listes d'immatriculation de l'Université de Leipzig), dont on sait qu'il fit des cours universitaires d'Algèbre ; Adam Riese (i 492-1559) et, environ vers la même époque, Christoph RudollL

Si, chez eux, nous ne trouvons peut-être pas la réalisation de progrès théoriques dignes d'être notés ici, du moins la vulgarisation qu'ils développèrent pour le maniement de l'Algèbre devait naturellement entraîner avec soi des amendements dans la pratique, et préparer le terrain à des progrès plus considérables: ainsi, dans le Traité de Widmann : Calcul adroit et joli pour tout commerce (Behende und hubsche Rechnung auf allen Kauffmannschafît), on rencontre déjà les signes -r- et ^, et leur emploi n'est pas considéré comme une innovation, tandis que les Italiens, même postérieurement, écrivaient encore /> et m. L'Ouvrage en question, écrit en allemand, fut imprimé en 1489 et les éditions postérieures en attestent la popularité. — Dès i483, d'autre part, avait été imprimée \' Arithmétique dite de Bamberg.

Tandis que, dans ce domaine, on allait en Allemagne à peine aussi loin que Chuquet, l'Astronomie, au contraire, et, avec

l'UEMIKH RÉVEII- DES MATHÉMATIQUES EN EUROPE. 283

elle, la Triiionomélrie, devaient s'y élever, dès la fin du moyen âge, à une hauteur considérable. Nous ne parlerons pas, ici, de Nicolas Copernic de Thorn {i^~3-i^j\3 ) : son nom appartient à l'aube fie l'époque moderne, dont il fut un des plus grands précurseurs; mais nous mentionnerons, en revanche, Peurbach et, particulièrement, son grand disciple Regiomonlanus. Peurbach (i423-i46i), professeur à l'Université de Vienne, acquit surtout de puissants litres à notre estime en introduisant la Trigonométrie de Ptolémée et des Arabes el, de plus, en établissant lui-même de nouvelles Tables de sinus assez étendues : de la sorte il prépara les voies oii Johann Mûller, ordinairement nommé Regiomonlanus (1486-1476), devait pénétrer bien plus avant.

Ce dernier mena une existence fort agitée, tantôt en Italie, tantôt en Allemagne et en Hongrie : il n'avait que quarante ans lorsque la mort interrompit son activité déljordante, mais son existence errante l'avait mis en contact avec un grand nondjre d'astronomes et de mathématiciens; en Italie, notamment, il devait trouver l'occasion d'apprendre le grec, surtout dans le but de continuer l'édition de la Syntaxe de Ptolémée, commencée par Peurbach, — et, en même temps, il fit connaissance de première main avec d'autres mathématiciens grecs, qu'il prisait fort, en particulier Diophante.

Regiomontanus fit preuve d'une certaine pi-édilection pour la théorie des nombres : du reste, ce goût fut développé chez lui, aussi bien par les travaux allemands mentionnés qui traitaient de cette théorie que par ses relations avec les mathématiciens italiens, et il fut ainsi conduit à poser toute une série de problèmes assez difficiles sur la matière. Nous en citerons pour exemples :

Trouver trois nombres carrés qui soient en progression harmonique; quatre nombres carrés dont la somme soit encore un nomi)re carré.

Et, s'il ne donne pas les solutions de ces problèmes, il semble bien, toutefois, les avoir connues.

Ses travaux de Trigonométrie ont une portée très élevée. Mentionnons, d'abord, ses Tables trigonométriques, oij il est le premier qui ait employé le système décimal : ses Tables de sinus, rédigées en dernier lieu, vont de minute en minute et.

comme il égale le rayon à 10", la précision obtenue est la même que dans une Table à 7 décimales, sans que, toutefois, les fractions décimales proprement dites fussent déjà en usage; — de plus il a calculé une Table de tangentes de degré en degré.

Pour ce qui concerne l'emploi des Tables, d'autres avaient chercbé depuis longtemps à faire connaître les parties les plus importantes de la Trigonométrie sphérique arabe, jusqu'à Geber inclusivement, mais c'est Regiomontanus qui établit définitivement cette Science en Europe, d'autant que par ses recherches personnelles il l'avait notablement développée. Ceci assurait à la Trigonométrie sphérique, ainsi qu'à la Trigonométrie plane, une existence propre, indépendante de l'Astronomie : à ce point de vue Regiomontanus a joué sensiblement le même rôle en Europe que, chez les Arabes, deux cents ans aupaïaAant, le savant Nassîr Eddîn qu'il ne connaissait point. Regiomontanus réalisa tous ces progrès dans son Ouvrage le plus important, intitulé : De triangulis omniniodis libri quinque; avec son habituelle piété pour Peurbach, il lui attribue Je plan de ce livre.

A là vérité, tous les problèmes sur la détermination destriangles, à l'aide d'éléments donnés, y sont systématiquement établis et traités comme chez l'auteur persan-arabe en question qui, lui, couronnait l'œuvre de toute une école antérieure; mais, d'autre part, Regiomontanus pose une foule de questions qu'il traite par des méthodes variées, et il fournit de cette façon la matière et les instruments nécessaires pour de plus amples investigations : par exemple, s'il s'agit de la détermination trigonométrique de deux côtés d'un triangle plan, connaissant le troisième côté, la hauteur et l'angle opposé, il la fera résulter de la construction géométrique d'un triangle ainsi défini; de même, il détermine algébriquement un triangle avec un côté, la hauteur abaissée sur ce côté et le ra[)port des deux autres, en prenant pour inconnue la demi-différence des segments déterminés par la hauteur sur ce côté.

Dans le traitement d'un problème capital de Trigonométrie sphérique, Regiomontanus offre encore sur Nassîr Eddin l'avantage de déterminer directement un angle d'un triangle

PREMIER RÉVEIL DES MATIlI-MATIOLES EN El ROI'E. 280

*>|)li(''rif|ii(' dont les cùlés sont fomiii^, ;iii moyoïi de la règle

sin-vers.A r-

siii-vers.rt — sin-vers. (6 — c) sin h sine

où /■ est le rayon f|iii serl de hase aux Taltlcs, ce (pii correspond à noire formule usuelle de cosinus.

Le calcul qui en résulte ne difière guère, cependant, de celui qui est indiqué dans VAnalemme de Plolémée pour un problème astronomique de la même portée : mais c'est le mérite propre à Hegiomoiitanus d'avoir attaché sa règle précise à un triangle sphérique quelconque.

Vers la fin de sa courte existence Regiomontaniis avait espéré trouver assez de loisirs à Xiiremherg pour y pouvoir l'aire des oljservations astronomiques, qu'il comptait traiter ensuite, ainsi que pour éditer les travaux des anciens mathématiciens, etles siens propres; mais, honoré par Rome d'une invitation pour la réforme des calendriers, il vit hient(M son repos interrompu, — puis il mourut.

Niiremherg, cependant, devait rester longtemps encore un centre scientifique : c'est là que vécut et travailla, par exemple le curé Johann Werner (i468-i528), qui se rattache à Regioinontanus par la Trigonométrie; le premier, en Europe, il employa l'expression du produit de deux sinus au moyen de la différence de deux cosinus (p. 269), en vue de faciliter les calculs, et il devait également se signaler par son zèle à étudier les anciens auteurs grecs. La théorie des sections coniques intéresse particulièrement Werner : et, à défaut des démonstrations d'Apollonius qu'il ignorait, il devait inventer lui-même les démonstrations des propriétés fondamentales de la section d'un cône, démonstrations qui lui font le plus grand honneur.

A côté de la Science, et plus qu'elle encore peut-être, l'Art prit à Nuremberg une place imi)ortanle : le célèbre peintre AlbrechlDïirer (1471-1.528) sut réunir ces deux facultés. Il est au courant des constructions géométriques, les exécute à l'aide de la règle et du compas, et les applique même à déterminer par points des courbes bien définies; entre autres, il donne la construction de certaines épicycloides et de courbes analogues encore plus compliquées. Il tenta également d'assurer

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les consUuclions de perspective par des règles matliémaliqiies.

Retournons maintenant en Italie où, après la longue période obscure, nous avons vu apparaître Léonaid de Pise comme le premier mathématicien véritablement digne de ce nom, et où, trois cents ans après lui, allaient être faites des découvertes qui devaient ouvrir aux Mathématiques une ère nouvelle; c'est bien là, du reste, qu'eut son foyer toute la Renaissance, tant pour les Sciences que pour les Lettres, et c'est d'Italie que Lettres et Sciences devaient passer aux pays voisins. Nous rencontrons en Léonard de Vinci (i452-i5i9) la même union de l'Art et des Mathématiques que chez Albrecht Durer : comme lui, ce grand peintre, sculpteur et architecte, s'occupait profondément de Physique et de Mathématiques, tout en pratiquant avec intérêt les constructions géométriques. Ingénieur, il devait savoir aussi la Statique : il connaissait, par exemple, le centre de gravité des pyramides, et traita de même le problème de Cinématique qui consiste à déterminer le chemin que parcourt un point d'un plan dont deux droites glissent sur des points fixes.

Le degré d'avancement que l'on avait atteint en Italie, immédiatement avant l'ère des grands progrès, nous esl indiqué par un Ouvrage très étendu de Luca Paciuojo : Summa de Aritlimetica Geometria Propoitioni et Proporiionalitù. Ce Livre, il est vrai, ne témoigne pas une pénétration des principes mathématiques aussi grande que celle que possédait déjà Léonard de Pise, mais il est cependant de composition assez large et fournit de nombreuses applications théoriques et pratiques. Le point important, c'est que ce traité, imprimé à Venise en if\Ç)^, se répandit : il était entre les mains de ceux qui, à l'époque suivante, devaient être en particulier les promoteurs de l'Algèbre; ils y trouvèrent un point de départ commun et, grâce à lui, purent se comprendre les uns les autres, et joindre leurs efforts.

Les trois siècles qui suivirent Léonard de Pise avaient été employés, surtout, à propager les connaissances et les moyens que possédait déjà ce savant, de manière que ces ressources pussent servir de point de départ à de nouveaux développe-

PREMIER RÉVEIL DES MATHÉMATIQLES EN ELROPE. 287

meiiis : celle base fui encore singulièrement élargie el consolidée par la connaissance direcle que l'on avait désormais des écrivains anciens qui l'avaient eux-mêmes établie, notammeni Euclide, et, pour une part, Ptolémée. En oulre, on commençait à connaître les écrivains qui devaient susciter le procliain mouvement en avant, c'est-à-dire Archimède, Apollonius et Diophante. Enfin, un véritable progrès avait été réalisé par Regiomontanus sur le terrain de la Trigonométrie : on possédait déjà plusieurs des procédés tecbniques que devait employer l'Algèbre; puis, et quoiqu'ils ne devinssent jamais d'un usage courant, les symboles de Chuquet, fort développés, attestaient (jue l'on était à même de se créer les moyens d'exposition qui devaient être exigés par un développement plus avancé.

Ainsi s'était préparée une nouvelle phase d'épanouissement pour la Mathématique (|ui, par sa fécondité, allait être la digne émule des quelques siècles où les Mathématiques grecques atteignirent leur apogée; cette période s'ouvrit brusquement le jour où l'on reconnut, par la solution de l'équation cubique, qu'il était possible de mener à bien un problème que les Grecs et les Arabes avaient dû abandonner : on prit de la sorte, en ses propres forces, une confiance inconnue jusqu'alors. A l'aide de l'Imprimerie, les travaux les plus variés qui prenaient maintenant naissance dans les différents pays purent synchroniser leurs efforts d'une manière féconde; bientôt après ce réveil d'autres grands progrès eurent lieu en Algèbre; en même temps on apprit à comprendre les œuvres difficiles de la Géométrie grecque : C(î qu'on y puisa fut ajouté à l'Algèbre moderne — et la Géométrie analytique apparut.

De plus, dans le traitement stéréométrique des sections coniques, on dépassa de beaucoup les anciens : on étudia les Ouvrages de Statique d'Arcliimède et l'on créa la Dynamique; en partant de l'étude de Diophante on arriva, par des recherches entièrement modernes, aux plus remarquables propositions de la théorie des nombres, et la connaissance des recherches d'Archimède sur l'infinitésimal conduisit à entreprendre, sur un champ de plus en plus large, de pareilles spéculations, et à développer les méthodes ad hoc, — si

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l)ien que Ion possédait le Calcul infinitésimal dès la fin du xvir' siècle.

Enfin, les tentatives mentionnées de la fin dn moyen âge aiîoutirent à un emploi réel des logarithmes.

Au terme de notre esquisse de l'histoire des Mathématiques, dans l'antiquité et au moyen âge, nous avons cru pouvoir anticiper légèrement sur l'avenir pour mentionner les grands progrès qui ne devaient se réaliser que dans les siècles suivants; cependant, par là, nous aurons peut-être mieux fait comprendre la raison pour laquelle nous nous sommes arrêtés si longtemps aux Mathématiques de l'antiquité grecque : ce n'est i)as seulement le grand intérêt qu'elles éveillent, pour olles-mémes et en elles-mêmes, en tant qu'anneau de la série des nombreuses connaissances acquises à la fin du moyen âge, mais c'est, en même temps, parce qu'elles sont la propre source où l'on ne cessa de puiser une énergie intense pour le progrès — quand on eut appris, toutefois, à l'exploiter, et à combiner avec des idées aussi fertiles que nouvelles et originales les suggestions que l'on en sut tirer.