Premier réveil des Mathématiques en Europe

Notre dessein ne saurait être de nous occuper ici des particularités qui concernent le médiocre développement qui fut donné dans les cloîtres au calcul avec l'abaque romain, ni

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même des voies par lesquelles les Arabes firent pénétrer en Europe d'autres procédés de calcul, tout comme une .Mathématique meilleure que celle qu'on tenait des Romains : d'autant que quelques importations peuvent également être venues de Conslantinople et d'autres lieux grecs.

Cependant, si nous voulons parler du plus grand mathématicien d'Europe au moyen âge, Léonard de Pise (vers l'an 1200), nous devons, comme repoussoir, dire d'abord en passant à quel point, par ailleurs, on se trouvait en Europe de son temps : on possédait alors, par traduction de l'arabe, des Traités de calcul {algoritlimes), une Algèbre d'équations du premier et du second degré, les Eléments d'Euclidc, et la Syntaxe de Plolémée; mais les quelques exemplaires manuscrits n'étaient accessibles qu'à fort peu de gens, et ces rares lecteurs, eux-mêmes, étaient assez peu capables d'en pénétrer la substance et de la mettre à profit.

A la même époque déjà, en maints endroits, le calcul algorithmique, c'est-à-dire indien, tendait à gagner les cercles savants, — cependant que d'autres employaient l'abaque; Gerbert, futur pape Sylvestre II, avait contribué, un peu plus d'un siècle auparavant, au perfectionnement de l'abaque, sur lequel on écrivait les caractères numériques dans des colonnes distinctes (p. 248). La dilï'érence entre ces deux méthodes consistait donc en ce que l'Algorithmétique, grâce à l'emploi du signe o, n'avait plus besoin de la division par colonnes; d'ailleurs, aux divers procédés, se rattachaient différentes traditions, parmi lesquelles celle-ci, peu à la louange des Algorithmiciens : à la suite de Mohammed ibn Mousà, ils persistaient à considérer comme des opérations spéciales la duplication et la division par deux ; — en revanche, ils avaient l'avantage de connaître l'extraction des racines carrées et cubiques, tandis que les Abacistcs ne pratiquaient que celle des racines carrées. Enfin, les Algorithmiciens employaient les fractions sexagésimales; les Abacistes continuaient, en partie, à se servir de la division duodécimale qui dérivait du système monétaire romain.

Léonardo Fibonacci — c'est-à-dire y?/^ de Bonaccio, comme on l'appelle souvent du surnom de son père — est originaire de Pise, importante ville commerciale où, de bonne heure, il

flppril le calcul sur l'abaque. Bientôt il visita, au cours de voyages d'affaires (ou peut-être comme fonctionnaire), l'Egypte, la Syrie, la Grèce, la Sicile et la Provence: et il profita <le cette occasion pour pousser plus avant son instruction en calcul et en Mathématiques. Ce qu'il apprit ainsi des Arabes et des Byzantins, il essaya d'en faire part à la j-ace latine par son vaste Ouvrage, le Liber Ah aci, dans lequel, avec une \\?à)\leté supérieure, il donne et traite, par de nombreux exemples, presque tous les calculs que nous avons rencontrés jusqu'ici : calculs sur les nombres entiers, écrits d'après le système de position, et sur les fractions; toutes espèces de comptes commerciaux; solutions de problèmes qui, s'il les avait mis en équations, eussent dépendu d'équations du premier degré, et qu'il traite par les deux règles de fausse position et la méthode indienne d'inversion; progressions arithmétiques et séries de termes dont la différence seconde est constante; problèmes qui dépendent d'une progression géométrique, ou bien encore qui, par exemple ceux sur la multiplication des lapins, se résolvent comme des questions d'intérêts composés; quelques problèmes, aussi qui relèvent d'équations indéterminées du premier degré — mais homogènes seulement et ne présentant par conséquent aucune difficulté sérieuse; extraction des racines carrées et cubiques; enfin, problèmes qui dépendent d'équations déterminées et indéterminées du deuxième degré.

Le titre Liber Abaci ne rime guère, semble-t-il, avec ce fait que Léonard emploie partout le symbole numérique o : on sait, en effet, que c'est le calcul sur l'abaque qu'il avait appris tout d'abord; quant à l'Arithmétique indienne, il l'avait empruntée directement aux Arabes, et peut-être n'en avait-il même pas rencontré l'usage en Europe — où elle n'était connue que dans quelques cercles ecclésiastiques. Ce qui prouve, du moins, qu'il n'est pas algorithmicien d'origine, c'est qu'il déclare avoir trouvé lui-même l'extraction de la racine cubique; or cette extraction n'est pas dans Alkarchî, celui des écrivains arabes connus qui semble avoir exercé sur lui la plus grande influence et auquel il emprunte, notamment, une foule de problèmes qu'il traite, toutefois, d'une façon originale.

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Le calcul a|)proximalif d'une racine carrée, que fait Alkarcliî ( p. 261), |)arail encore avoir suggéré l'approximation effectuée par Léonard, au niovoii do la règle dos doux fausses positions, pour mie racine cuhifjue dont la partie entière est déjà connue : si '\l a -\- I- est la racine cul)if|ue cliorcliéo, et que a représente le plus grand nomijre entier contenu dans cette racine, la valeur approximative est

3rt-+ 3a -h 1

L'exposition de Léonard, dans le Liber /ibaci, se trouve accompagnée, partout, de démonstrations sous forme géométrique : c'est également le cas pour sa Praclica Geometriae (pii, eniro autres, contient dos extraits dos livres stéréométriques d'Euclido, alors peu connus — d'ailleurs les démonstrations y dilTèrent souvent de celles (rEuclide, sans être cependant personnelles, car on les rencontre également dans des écrits arabes plus anciens.

Dans les Ouvrages que nous mentionnons ici, Léonard, sous une forme claire, qui dénote une assimilation originale et un libre maniement des matières, considère les tbéorèmes les plus importants d'Arilbmétique, d'Algèbre et de Géométrie élémentaire, connus avant lui, et les rend plus abordables que ne l'eût fait une simple traduction des livres Qi\ il les avait puisés : il éclaircit en particulier les questions d'Arithmétique au moyen de nombreux exemples. Mais son aptitude propre, môme pour surmonter des difilcultés sérieuses, ap- ])araît principalement dans les solutions de quelques problèmes qui lui furent posés par le philosophe de l'empereur. Maître Johan do Palcrme, en présence de l'empereur Frédéric II : dans l'un de ces exercices, il s'agissait de trouver un nombre carré qui, augmenté ou diminué de 5, donnât de nouveaux carrés, c'est-à-dire de résoudre rationnellement les équations

a étant égal à 5. Ces équations (i) avaient d'ailleurs été

traitées antérieurement par des mathématiciens arabes, qui

avaient trouvé que ^-h- a et a:-— a sont des nombres carrés à la condition que l'on ait

X =r ni- -f- n'', a = \inii (m- — n-).

Au reste, cette condition se déduit aisément du traitement des équations doubles, familier à Diophante (p. :2J i; cf. aussi premier problème, p. 214), joint à la détermination de triangles rectangles rationnels par Euclide; Léonard parvient cependant au même résultat par une voie un peu différente, en utilisant le théorème suivant: Les nombres carrés sont les sommes des premiers nombres impairs.

Après quoi il s'agit de déterminer m et n do façon que ^mn{m- — n-) ait une valeur donnée, 5 dans le cas présent, et Léonard démontre tout d'abord que les nombres de cette forme, si m et n désignent des nombres entiers, sont divisibles par 24; puis, pour obtenir, autant que possible, des équations solubles en nombres entiers, on devra multiplier les équations données par un carré tel que le nouvel a soit divisible par 24. Léonard multiplie par 12-; dans ces conditions

et, par suite, 41-= 5. 12- sont des nombres carrés; on trouve alors les carrés cherchés en effectuant la division par 12- : ce sont

^ ' ^ ^ et — •

Dans la solution, qu'il établit très généralement, Léonard trouve encore le moyen d'indiquer une détermination de la somme des premiers nombres carrés impairs jusqu'à une limite donnée : voilà donc une atidition notable au résultat cherché.

Dans un autre des problèmes posés on demande de déterminer X, défini par l'équation

JT^-i- 2X- -\- lOX :zz 20.

Léonard trouve d'abord que x est compris entre i el 2, par conséquent ne saurait être un nombre entier; puis il re-

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marque que x ne pcul cli(.', ni une fraction rationnelle, ni une des quantités irrationnelles qu'établit Euclide dans son dixième Livre. Il corn[)rit d'une façon i)arfaitement juste le contenu de ce Livre assez ardu et (ju'il étudia, précisément, pour y trouver, autant que possible, des formes qui exprimeraient exactement les racines de réf|uation proposée : cependant, comme il le déclare, il remplace par des nondjres les grandeurs générales représentées géométriquement par Euclide.

Ainsi donc, la racine n'étant point une quanlité de l'orme connue, Léonaid doit se contenter d'essayer une valeur approchée : il exprime cette valeur en fractions sexagésimales sous la forme

résultat dont l'excédent n'est que d'i.^^' environ.

Léonard ne dit i)as comment il a trouvé cette expression mais, probablement, il ne ilut suivre aucune méthode déterminée, prescrite avant lui : comme ferait encore aujourd'hui un calculateur exercé, il essaya successivement, pour les valeurs obtenues déjà, les corrections qui, vu toutes les conditions de ce cas, devaient paraître les plus convenables ; et, pouitrouver ces valeurs d'essai, il avait à sa disposition la règle des deux fausses positions qu'il savait utiliser en tant qu'interpolation, comme cela ressort de ses calculs de racines cubiques. Du reste, en bon calculateur, il sut également arrondir les dénominateurs dans les corrections qu'il détermine par ce procédé, de sorte que sa méthode ressemble assez à celle de Viète, ou, comme on l'appelle vulgairement, à la méthode newtonienne pour le calcul approximatif des racines d'une é((uation algébrique : celle-ci n'est, d'ailleurs, qu'une extension du processus ordinaire pour la détermination des chiffres successifs dans une racine carrée ou cubique, méthode employée par les astronomes, depuis Ptolémée, pour la détermination des fractions sexagésimales connue approximations successives d'une racine carrée.

On a constaté, récemment, que l'équation proposée est choisie de telle sorte que, en effectuant le calcul avec les fractions sexagésimales, et en choisissant avec quelque habi-

leté les corrections successives, on oblienl relativement très vite la vraie valeur, à un petit écart près.

Suivant cette dernière remarque, Léonard partage peutêtre l'honneur de cette grande approximation avec celui qui a posé le problème : il est môme possible encore que ce soit Léonard lui-même qui, à l'occasion de la séance solennelle en présence de l'empereur, ait inspiré Maître Johan ; mais celui-ci cependant, Sicilien, et qui accompagnait cet empereur épris de science arabe, peut également avoir emprunté le problème aux mathématiciens arabes eux-mêmes. Personnellement, Léonard était évidemment un disciple des Arabes; on voit donc bien que ceux-ci avaient dû pousser la science mathématique assez loin pour permettre à un calculateur éminent d'aborder une valeur approximative aussi délicate : l'exemple d'une pareille approximation, chez un écrivain arabe (p. 268), est de quelques siècles plus récent.

Léonard de Pise avait clairement exposé ce qu'il y avait de [dus accessible et de plus imi)ortant dans les Mathématiques arabes et byzantines d'alors. Mais, de ce fait, ces Mathématiques n'étaient pas devenues le bien commun de tous ceux qui s'occupaient de cette science en Europe: l'imprimerie n'existait pas et, entre les savants, il n'y avait point cet actif commerce qui, jadis, unissait les Grecs disséminés au loin. La caste savante du temps, le clergé, certains ordres jnonastiques particulièrement, puis les Universités, issues peu à peu de ces cercles, étendaient sans doute leurs relations en bien des contrées; mais, pendant fort longtemps, cette caste ne paraît pas avoir subi l'influence de ce qui s'élaborait dans la sphère commerciale italienne, dont les rapports avec l'empereur hérétique, Frédéric, n'étaient guère un titre de recommandation.

Quand nous parlons ici, toutefois, de cercles savants et d'Universités, il ne faudrait pas se Mgurer des établissements d'éducation où l'on enseignait, toujours, quelque chose des Mathématiques; sans doute, dans les Universités, il y avait une Faculté des Arts où l'on préparait à d'autres études plus avancées, mais cette préparation se limitait régulièrement au tràiiun (d'oi^i le mot trivial), qui comprenait la Grammaire, la Rhétorique et la Dialectique, pour négliger le quadrivium.

l'IUCMrER nfiVl-II. DKS MATIIÉMATIQIKS UN El ROPi:. ?.--

composé de l'Arilhiiiéficiue, la Musique, la ricomélrie et l'Astronomie. D'ailleurs, même quaiid ou faisait sou rjuadrùiiim, l'Aritlimétifjue se restreiiiuail à un peu de calcul, et la Géométrie à une étude tronquée de qiu-kpies livres d'Euclide : on savait si peu de choses relativement à ce dernier que quelques-uns allaient jusqu'à croire que ses Eléments avaient été primitivement écrits en arabe, tandis que d'autres pensaient qu'il avait seulement fourni les propositions, et que Théon, l'éditeur grec, aurait donné les démonstrations.

Cependant, de temps en temps, des hommes issus de ces cercles s'adonnaient aux Mathématiques : mais alors, comme nous l'avons dit, ce n'est pas chez Léonard de Pise qu'ils allaient puiser leur savoir, mais bien dans une Arithmétique et Algèbre {de Numéris datis) de son contemporain .Jordanus Nemorarius, membre très considérable de l'ordre dominicain dont il fut le général, et dont l*aris était le chef-lieu. Son travail offrait les avantages et les défauts mêmes que nous avons reconnus chez les algorithmiciens : et néanmoins, de son propre fontls, il avait ajouté l'avantage essentiel de représenter partout les nombres arbitraires par des lettres. — non point toutefois de façon qu'il en put résulter un calcul littéral, car ces lettres lui servaient uniquement de désignations dans le contexte ( ').

Nemorarius écrivit, en outre, un Ouvrage de Géométrie sur les triangles et dans lequel, se basant sur les Éléments d'Euclide, il entreprend diverses recherches géométriques personnelles.

L'Arithmétique et Algèbre que nous venons de mentionner reste bien loin derrière \q Liber Abaci de Léonard; et pourtant, par un autre côté, elle prouve qu'on se livrait aussi, dans les cercles savants, à un travail original d'appropriation et de traitement des Mathématiques — travail qui fut poursuivi en maints endroits. Citons par exemple Campanus, dans la dernière moitié du xni*' siècle : son édition complète des

( ' ) C'est-à-dire que si a et b, par exemple, désignent des facteurs, le produit sera représenté par une nouvelle lettre c II convient de remarquer qu'un tel emploi de lettres se trouve déjà chez Aristote, que l'on commençait alors à connaître en Occident. (T.)

Eléments d'Euclide devint, par la suite, la source principale où l'on puisa la connaissance de cet Ouvrage capital et, luimême, avait ajouté quelques études nouvelles, comme celle de la somme des angles du pentagone étoile. — L'important mathématicien anglais Bradwardin (1290-1349) devait aller encore plus loin dans cette voie : il établit des propositions générales sur la somme des angles de polygones étoiles.

A côté de ces recherches plus originales, on continua de traduire les Arabes et, plus tard, les Grecs aussi. Les écrits de Léonai'd curent bien toujours quelque influence dans le nord de l'Italie où, 3oo ans plus lard, une jeune science mathématique féconde devait se faire jour; de même pour d'autres lieux où, durant ces 3oo années, les progrès allaient se manifester lentement. — Mais nous ne voulons pas insister ici sur ces développements, et il nous suffira d'indiquer quelques exemples des progrès effectivement réalisés.

Il faut mentionner, notamment, deux Ouvrages du mathématicien français iSicole Oresme (environ 1823-1882) :

Le premier est intitulé Tractatus de lacitudinibus formarum : les mots longitude et latitude, appliqués au plan, désignent ici la même chose qu'appliqués à la sphère, c'est-àdire des coordonnées rectangulaires; et l'on comprend surtout le sens de ces dénominations en remarquant que les coordonnées sont figurées à Fintérieur d'un rectangle, dont la plus grande dimension se trouve dans le sens des abscisses (c'est-à-dire de la longitude). Dans une telle représentation, les diverses intensités d'un phénomène naturel variable, comme la chaleur, sont figurées par les ordonnées (latitude), avec les temps correspondants i)our abscisses (longitude), et, par cette méthode, on obtient un graphique des variations de la chaleur en fonction du temps, au moyen d'une courbe. — Oresme fait déjà cette observation très importante que c'estau voisinage des maxima et mininia que la variation est la plus faible. — On voit que l'application des coordonnées, avec lui, est d'une tout autre nature que chez les anciens Grecs, bien qu'il paraisse y renvoyer : et cependant il nous faut très probablement admettre que, ni directement, ni par la voie indirecte des Arabes, il ne put avoir aucune connaissance de l'application géométrico-algébrique exacte des coordonnées à