ALGÈBRE GÉOMÉTRIQUE
AM égal à un carré donné (6*), de telle sorte que la portion de surface manquant — au rectangle ax sur AB — soit un carré (BM = ^*).
Fig. 3.
ab
On obtient cette construction, qui s'appelle application elliptique des surfaces — de EXXenj/tç, action de faire défaut — , en ramenant à la figure précédente celleparlaquelleonrésout le problème : si C, en effet, est le milieu de AB et qu'on applique le rectangle CK au côté DB (il prend la position DE), on voit que le rectangle AM est égal à un gnomon, c'est-à-dire égal à la différence des carrés élevés sur BC et CD ou, en notre langage algébrique, que
^= ax — X
ty
Fig.
Maintenant, étant connus 6 et CB = -> on peut, au moyen
du théorème de Pythagore, trouver CD =1 x et, de la
sorte, x.
On peut conclure d'Euclide (YI, 28) que telle est à peu près
LES M/LTHËMATIQCES GRECQUES.
la manière dont fut résolu ce problème, encore que celte
proposition le présente sous une forme plus générale, mais
la transformation employée ici se trouve déjà dans Euclide,
II, 5, où il est dit que, C étant le milieu et D un autre point
de AB,
r\D.DB-HCD2=CB2.
Ce théorème donne directement la solution du même problème, exprimé cependant sous la forme que voici : partager un segment donné AB en deux autres qui forment un rectangle de surface donnée (cette surface, il nous faut provioirement, pour pouvoir appliquer le théorème de Pythagore, rimaginer donnée sous la forme d'un carré 6-). Les Data d'Euclide (§85) nous montrent que les anciens ont également connu le problème sous cette forme, qui est l'énoncé géométrique du problème suivant : déterminer deux quantités dont on connaît la somme et le produit.
La première représentation du problème que nous avons mentionnée, sous forme d'une application elliptique de surface, entraînait cet inconvénient que les anciens donnaient ordinairement une seule des solutions de l'équation (i)(vo«> p. 36), inconvénient qui disparaît de lui-même dans la seconde manière.
Euclide donne (II, 6), absolument de la même façon, une solution (qu'implique la proposition ¥1,29) de l'équation
ax 4- j?2 — . ^2^
équation que les anciens expriment : sur un segment donné
AB(=a), construire un rectangle AM égal à un carré donné (6*), de telle sorte que la portion de surface BM excé-
ÀLGÈBR£ GÉOMÉTRIQUE. 89
dante soit un carré (6*). Cette construction s'appelle V application de surface hyperbolique — de uTrepêoXT) = surplus-; le problème étant résolu et C désignant le milieu de AB, le rectangle AM se change en un gnomon si Ton porte le rectangle élevé sur AC dans la position GM. On trouve alors, D étant un point du prolongement de AB, que
