ALGÈBRE GÉOMÉTRIQUE

ligne et la soustraction ou Taddition des grandeurs ainsi représentées se fera en rapportant Tun des segments sur Tautre, ou sur son prolongement : nous venons d'avoir un exemple de ce procédé dans la sommation des progressions arithmétiques chez Archimède, et il est surtout applicable à la représentation d'équations du premier degré à coefficients entiers ou seulement rationnels, ces derniers étant réductibles en nombres entiers.

La multiplication, au sens immédiat du mot, des grandeurs générales, est un non-sens, mais on s'en tira en appliquant aux grandeurs générales la représentation géométrique, que nous connaissons déjà, d'un produit de deux nombres entiers. Toutefois, on n'élargissait point, comme dans les Mathématiques modernes, les concepts arithmétiques de multiplication et de produit : au lieu de parler d'un produit de grandeurs générales, on parlait d'un rectangle formé par les deux segments figurant les facteurs, et l'on opérait au moyen de ce rectangle. Cependant, étant donné que Ton représente de la même manière de véritables produits de nombres entiers, on pouvait toujours se faire guider par le traitement arithmétique usité dans ce dernier cas, et je pourrai donc, sans crainte d'induire en erreur, désigner dans ce qui va suivre par ab le rectangle formé par a et 6, et par a' le carré de a.

On obtenait, de la sorte, une deuxième représentation géométrique des grandeurs, à savoir, comme surfaces, tout d'abord des rectangles et carrés; pour les additionner ou les soustraire, on devait leur donner un côté commun mais, cela, sans employer la théorie des proportions, car celle qu'on en possédait au v® siècle reposait sur l'usage exclusif de quantités commensurables. On introduisait donc un côté nouveau, dans un rectangle, à l'aide de la proposition suivante : les parallèles aux côtés d'un rectangle, qui se coupent sur une diagonale, divisent ce rectangle en quatre autres dont deux sont égaux, à savoir ceux que ne traverse pas la diagonale considérée (c/., p. 37-89 lesyî^. 3-5, où, pour le cas présent, l'on doit s'imaginer les carrés comme remplacés par des rectangles); si l'un de ces rectangles est le rectangle proposé, il est alors facile de donner à l'autre un côté donné.

Cette construction, qui répond à la division tout comme celle d'un rectangle de côtés donnés répond à la multiplication, porte le nom à'appHcation des surfaces (TrapaêoXi^), ou de TtapaêoX-j^ simple par opposition à la TrapaêoXiQ elliptique et hyperbolique dont nous parlerons plus loin, et nous verrons que la figure que Ton y emploie présente encore d'autres applications importantes : la partie qui comprend les deux rectangles égaux et Tun des deux autres s'appelle, ici comme en Arithmétique géométrique, gnomon — c'est, par exemple, CBËM dans \2ifig, 4«

Le théorème en question se trouve employé de celte manière dans Euclide, I, 43-44, mais il y est sous une forme un peu plus générale : les rectangles y sont remplacés par des parallélogrammes à angles égaux. Au contraire, au Livre II, le même Euclide opère au moyen dé rectangles; et c'est dans son Livre VI qu'il nous faut chercher des éclaircissements sur l'emploi qu'on dut faire des théorèmes de ce Livre II, longtemps avant lui, puisque, nous dit-on, les pythagoriciens avaient connu l'application des surfaces. Dans ce Livre VI, toutefois, les applications desdit théorèmes sont présentées sous une forme généralisée qui est bien de l'invention d'Euclide, ou de ses prédécesseurs immédiats (*).

Un rectangle, dont les côtés sont eux-mêmes des sommes, est la somme de tous les rectangles ayant pour côtés un terme de chacune des sommes données.

Au lieu de la formule moderne

{a ^ by = à^ -\- b^ ->r lab

Euclide (II, 4) donnait lay?^. 3 suivante.

Le problème que nous poserions maintenant par l'équatian

(i) ax — œ-—b^

était exprimé par les anciens de la façon suivante ( fig. 74) : Construire, sur un segment donné AB (= a), un rectangle

(*) Le but de cette généralisation est expliqué dans notre § 16.