CB*— CD^^OB'^-ODS

et les théorèmes sur la puissance sont démontrés.

Toutefois, les éléments d'Algèbre géométrique exposés ici embrassent notamment le traitement des équations du second degré, c'est-à-dire précisément le terrain sur lequel s'était fait sentir la nécessité d'une représentation autre qu'une représentation numérique, à cause de l'intervention des quantités irrationnelles : pour traiter ces équations on pou-

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vait, il est vrai, se contenter de l'emploi de rectangles et de carrés, tant qu'on n'avait pas déjà de grandeur donnée qui fût représentée par la surface de quelque autre figure, mais, quand TAlgèbre géométrique et son application se furent développées davantage, en particulier par la théorie des seclions coniques, on l'élargit jusqu'à se servir d'autres figures (que le rectangle et le carré) pour représenter les quantités avec lesquelles on opérait.

Il est clair, cependant, que l'Algèbre géométrique, en son application aux rectangles — et même aux parallélogrammes, vu qu'on n'y introduit jamais d'unités déterminées et qu'ainsi l'on y opère toujours par équations homogènes, — que cette Algèbre, disons-nous, implique l'Arithmétique géométrique : car alors seulement il est possible de changer les points représentant des unités en Arithmétique avec des carrés ou des parallélogrammes égaux; les nombres triangulaires, au contraire, n'ont rien à voir avec la surface du triangle^ confusion qui devait amener plus tard les arpenteurs romains à se servir

de la formule — ^^ pour calculer la surface d'un triangle

équilatéral de côté a.

5. ~ Équations quadratiques numériques; extraction de la racine carrée.

De la concordance entre l'Algèbre et l'Arithmétique géomé- ^ trique appliquées aux rectangles il résulte qu'il était désormais facile de transporter, aux équations numériquement données, la solution générale trouvée pour les équations quadratiques. Ici, toutefois, surgissait un inconvénient : les y racines étaient en général irrationnelles.

On chercha évidemment des types où l'inconvénient fût éludé, ce qui se voit aux efforts tentés pour résoudre des équations indéterminées telles que x^ -+-/« = ^*, mais, dans les problèmes géométriques ou autres applications, il fallait bien I prendre les grandeurs telles qu'elles étaient et, quand on ne pouvait trouver une solution rationnelle, c'est-à-dire exactement exprimable en nombres, il y avait alors deux choses à faire : i^ prouver que les quantités cherchées n'étaient réelle-

ment point rationnelles et, passant à des équations où les grandeurs données étaient déjà irrationnelles, classer les différentes quantités irrationnelles qui se pouvaient présenter ; 2*» pour les applications, calculer les quantités irrationnelles avec la plus grande approximation possible.

C'est dans la première direction que les anciens Grecs abondèrent le plus : nous avons déjà cité un exemple d'investigation de ce genre dans la solution par Euclide de Téquation a^^-^- y^=z^y et comme il la résolvait complètement, il trouva les conditions non seulement suffisantes, mais

aussi nécessaires, pour que \/x^-\-y' et \Jx^ — y'^ fussent rationnelles; il trouva donc que, ces conditions n'étant pas remplies, les racines en question sont irrationnelles.

Une démonstration de l'irrationalité de v^2, vraisemblablement très vieille et qui, dans quelques éditions, prit place, à tort, à la fin du dixième Livre d'Euclide, est cependant beaucoup moins compliquée et, représentation géométrique à part, peut s'exprimer à peu près de la façon suivante : si l'on a

\JiT^— (fraction simplifiée le plus possible), on aura m'=: in} y d'où résulte que m^ est un nombre pair et que m

Tïl

l'est également; — n'étant pas simplifîable, n serait alors

impair. Mais si m est pair, il s'ensuit que m^ sera divisible par 4; donc n^ le sera par 2; donc n sera pair, or n ne pouvant être à la fois pair et impair, il est bien impossible que y/â soit une fraction irréductible.

Pareil procédé s'emploie, on le sait, d'une manière générale, pour prouver que la racine d'un nombre entier ne peut être une fraction.

Plusieurs des théorèmes du huitième Livre d'Euclide ont été probablement développés d'abord à cette fin : c'est le cas, par exemple, delà sixième proposition qui dit, quoique sous une autre forme, que la puissance d'une fraction irréductible doit être, elle-même, une fraction irréductible. Telle est, en tous cas, la démonstration générale dont on se servit plus tard, comme on le voit dans le commentaire d'Eulocius sur Archimède.

Cependant, Euclide donne encore, dans son dixième Livre,

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un moyen général pour vérifier la rationalité d'une grandeur, | ou, ce qui revient au même, la commensurabilité de deux grandeurs, et ce moyen consiste à employer la même opération que pour déterminer la plus grande commune mesure entre les deux grandeurs : les grandeurs étant figurées par des segments, on porte le plus petit, 6, sur le plus grand, jusqu'à ce que le reste c soit plus petit que b, puis on porte de même c sur. b, etc. ; si celte opération se poursuit à l'infini, les grandeurs sont incommensurables. De cette façon on trouve facilement qu'un segment partagé en moyenne et extrême raison se résout en segmentations, incommensurables entre elles et avec le segment tout entier. Le segment .s'appelant a et ses segmentations ^ et /, on a, en effet,

et l'opération qui, doit aboutir à la plus grande commune mesure consiste donc en segmentation de segmentations, tant que manifestement il soit impossible d'en venir à bout.

De cette façon on peut démontrer que et, par conséquent aussi v/5, sont irrationnels. Il est d'ailleurs probable que Théétète, s'est servi d'un procédé analogue dans une suite

de démonstrations particulières de l'irrationalité de v^3.

Maintenant, comme les racines d'équations du second degré, au cas où elles sont incommensurables avec les quantités données, ne peuvent s'exprimer exactement par ces quantités, on comprend que les Grecs n'aient introduit aucune valeur approximative dans leurs investigations exactes, mais qu'ils aient seulement poursuivi l'opération avec les quantités trouvées, représentées par les segments qui résultaient de la construction correspondant à la solution de l'équation : c'est au fond ce que nous faisons quand, au lieu de calculer les racines, nous nous contentons de les exprimer par des signes de racine carrée, ou autres symboles algébriques, mais toutefois, un segment ayant tout l'aspect d'un autre segment, on ne pouvait arriver avec cette méthode à la clarté de notre

angage algébrique, et il fallut entreprendre une classification des quantités irrationnelles, fournies par solutions successives d*équations du second degré.

C'est ce que tenta, du temps de Platon, Théétète, dont le travail fut continué par Euclide et compris dans le dixième Livre y des Éléments : nous y reviendrons à propos de ce Livre et il nous suffit ici de remarquer que ce Travail devait contenir aussi un examen des cas où une quantité, qui appartient en apparence à une classe, se ramène en réalité à une autre ; en d'autres termes, traiter de la simplification de l'irrationalité double.

Nous rencontrons les applications de cette classification dans les cas ou l'on veut déterminer exactement des grandeurs qui dépendent de racines carrées, et c'est le cas pour les côtés des polygones réguliers les plus simples comme pour les arêtes des polyèdres réguliers : Théétète s'est particulièrement occupé de cette dernière application qui joue un rôle capital dans les Éléments d'Euclide.

Cependant, cet Ouvrage omet tout calcul approximatif de nombres, et l'explication en est peut-être qu'un pareil calcul abandonne la détermination absolument exacte à laquelle on visait en Géométrie, mais, d'un autre côté, le fait pourrait bien aussi tenir à ce que les Grecs étaient inhabiles à exécuter les calculs véritables; cette indigence paraît déjà lorsque, par exemple, Hérodote ne peut faire une division juste par 48, et elle est encore plus frappante s'il s'agit de sortir des quatre règles simples pour calculer, j'imagine, la racine carrée.

Tenons-nous-en donc provisoirement à leurs moyens ordinaires : il est vrai que la numération grecque écrite (dont nous aurons plus tard l'occasion de parler davantage), si l'on s'y exerçait comme nous le faisons pour la nôtre, dès l'enfance, pourrait bien être beaucoup plus pratique qu'on ne se l'imagine tout d'abord. On recourait bien aussi, dans les calculs, à des moyens mécaniques comme les tablettes à calculer munies de divisions, mais, quand il s'agissait de représenter de grands nombres, la numération grecque ne suffisait plus : on le voit à ce fait que, à l'époque même où les Mathématiques étaient à leur apogée, des hommes comme Archimède et Apollonius, dans les écrits desquels un savant mathématicien

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d'aujourd'hui pourrait encore trouver des théorèmes et des démonstrations qu'il ignore, durent se construire des systèmes spéciaux afin de désigner les nombres de grandeur illimitée; c'est ce que fait précisément Archimède dans son écrit sur le calcul du sable, où il veut donner une idée de l'infinité de la série numérique et suppute combien de grains de sable il peut y avoir dans le monde, si l'on attribue certaines grandeurs à ce monde comme aux grains de sable.

Enfin, ce qui ne plaide encore nullement en faveur des moyens de calcul numérique particuliers au commun des Grecs, c'est que les astronomes ne les estimèrent point suffisants et adoptèrent, avec TAstronomie des Babyloniens, leur système sexagésimal pour les calculs astronomiques.

Pour le calcul de la racine carrée chez les Grecs, mentionnons d'abord une détermination particulière de \Ji : on ne la tient immédiatement que d'un arithméticien relativement récent, mais il faut faire remonter cette détermination à une époque bien antérieure, car on la trouve établie dans Euclide, II, 9 (et 10). En outre, la façon dont elle y est établie constitue un type d'application de l'Algèbre géométrique : C étant le milieu, et D un autre point du segment AB, le théorème 9 dit que

AD^ -h DB* =: 2 AC^ 4- 2 CDS

théorème que l'on eût pu démontrer par des transformations de rectangles; mais Euclide le démontre à l'aide du théorème

de Pythagore appliqué aux triangles rectangles isoscèles, démonstration qui tient sans doute précisément à ce que sji est

représentée comme Thypoténuse AB d'un pareil triangle AEB. Z étant alors le point où la perpendiculaire à AB en D coupe le côté EB, on a

DB — DZ,

et

AD2 + DZ* = AE^ -h EZ^ = 2 AC» -h 2 CD».

Pour rendre plus claire Tapplication de Téquation trouvée, posons

CD=;r, BD=7, d'où

AD = 2 a? -h /, AC =zx -{-y^

et, en désignant les deux dernières quantités par jj et a?,, on a

L'équation trouvée sert à tirer, d'une solution en nombres entiers de l'une des deux équations indéterminées

une solution de l'autre équation en nombres supérieurs ûc^zzz X -h y et ji= 2x-f-y, et, si l'on continue ainsi, les valeurs

i> — > etc., qui, tour à tour, sont trop petites ou trop grandes,

se rapprochent toujours davantage de \/2; on peut partir, si l'on veut, de ^ =: / := I.

Au reste, les pythagoriciens connaissaient déjà la valeur

approximative |-

Il se peut, dans des cas spéciaux, qu'on ait entrepris ainsi l'extraction de la racine carrée; tel devait être le cas qui se rattache aux démonstrations, déjà mentionnées en passant, de l'irrationalité de racines carrées spéciales (p. 4^) et, d'ailleurs, la méthode donnée par Euclide pour vérifier l'irrationalité implique une telle extraction de racine, tout en ressemblant à remploi actuel des fractions continues et de leurs convergentes. Cette similitude se remarque déjà dans le

calcul que nous avons exposé dey/a; il se peut, du reste, que pour d'autres extractions spéciales de racines, comme

ÉQUATIONS QUADRATIQUES NUMÉRIQUES. ^9

dans ce calcul, on se soit servi également d'équations indéterminées du second degré qui, avec les équations indéterminées (comme a:* h- y* = 2*) à l'aide desquelles on constituait des exemples numériques où fût évitée l'extraction de la ra~ cine carrée, contribuèrent à développer chez les Grecs l'habitude de manier certaines équations indéterminées du second degré, habitude dont témoignent les écrits de Diophante à une époque bien postérieure.

Mais, précisément, le fait que l'on ait recouru à des méthodes spéciales de ce genre prouve assez qu'on ne fut nullement habile, en général, pour extraire les racines carrées : on disposait pourtant du même moyen général qu'à présent, à savoir les expressions de (a=b 6)', dont la forme géométrique était presque aussi pratique que notre forme algébrique moderne, et il se peut, notamment, qu'Archimède ait employé ces expressions pour obtenir les racines qui, malheureusement sans aucune indication de méthode, se trouvent dans sa Mesure du cercle.

Les entiers des racines carrées de quelques nombres entiers à sept chiffres — dans notre numération écrite — auraient alors été calculés à peu près au moyen des mêmes opérations que maintenant puisque, pour corriger les valeurs approchées obtenues déjà (a), on disposait des inégalités

a± — > \/a' zïz b >a±.

ia ' 2a zïz i

De même, Archimède établissant les limites

i35i /TT 265

a pu, par la (méthode indiquée, tirer ces inégalités de l'ap-

proximation —= ou, plus justement, de la valeur 26, ap-

proximative de i5v^(r= ^^26^— i). C'est ce qu'on voit en

faisant = 26, b=:i dans les inégalités ci-dessus: —= se tire

de la même manière de l'approximation plus simple ^-

Une preuve qu'il n'existait point de méthodes généralez. 4

5o LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

menl connues pour extraire des racines carrées quelconques, c'estqu'unArchimède, seul, put arriver à déterminer tt comme compris entre les limites 3| et 3 4t> détermination irréalisable avant lui. Ce]qui suit nous montrera, il est vrai, qu'on était en mesure, avant lui, de venir à bout sans grand'peine des difficultés géométriques, mais qu'on avait reculé devant le calcul numérique et l'extraction, qu'il comporte, des racines carrées, calcul inévitable si l'on voulait faire un emploi pratique de ces racines : aussi est-il naturel de trouver la plupart de ces calculs chez Héron qui, lui, se proposait des applications pratiques, et l'on vient même de découvrir la méthode qu'il possédait pour les exécuter, méthode qui ne diffère guère de celle que nous avons attribuée à Archimède. Néanmoins le degré d'exactitude, dans ses déterminations, n'est pas très grand en comparaison de ce qu'atteignait la théorie générale établie depuis plusieurs siècles déjà.

Ses extractions de racines carrées se rattachent, d'ailleurs, à une autre circonstance : c'est chez lui qu'on trouve, pour la première fois, des exemples du traitement d'équations numériques du second degré; ainsi nous voyons que, le terme x^ ayant un coefficient numérique a, il changeait ce terme en a^x^ en multipliant l'équation par a et considérait, après cela, ax comme inconnue. Sans doute, Euclide avait également, nous le verrons, traité de telles équations et, cela, d'une manière générale, applicable encore même si le coefficient a est irrationnel, mais, précisément à cause de sa généralité, cette forme de traitement ne montre pas clairement comment on s'y prenait dans le calcul pratique.

Nous voici parvenus jusqu'au temps d'Héron et nous n'avons encore rien dit des calculs exécutés avant lui pour dresser les Tables de cordes d'arc des auteurs astronomiques. Tables établies d'après le système sexagésimal emprunté, entre temps, aux Chaldéens. Héron n'en fait aucun usage; on peut donc admettre que sa méthode est, en substance, la méthode d'origine grecque, mais plus développée de son temps qu'elle ne l'était à l'époque qui nous occupe pour l'instant.

En revanche, les racines carrées qu'on trouve dans Ptolémée sont calculées en unités sexagésimales à peu près de la même manière que nous calculons aujourd'hui des racines en

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fractions décimales, et il a été dit précédemment que, de bonne heure déjà, les Grecs connaissaient le fondement théorique de ce calcul d'après la formule pour {a -+- b)^; ils en purent donc naturellement venir, l'Astronomie exigeant de plus en plus la précision numérique, à exécuter réellement ces calculs. Cependant il se pourrait que les vieilles Tables de nombres sexagésimaux carrés ou cubiques, déjà mentionnées page lo, fussent un indice que Ton connaissait d'antique date, en Babylonie, l'extraction des racines et que, sous ce rapport encore, les Grecs apprirent déjà quelque chose des peuples d'Orient lors que le système sexagésimal fut introduit chez eux.

Ce ne sera guère nous tromper que de voir dans la décou-^ verte et le traitement ultérieur des grandeurs irrationnelles la source de ce qui fit, et la force principale, et la principale faiblesse des Mathématiques grecques.

D'un côté l'on chercha, d'un effort continu, à rendre toute démonstration applicable, même à ces grandeurs qui ne se peuvent qu'approximalivement exprimer par des nombres et pour lesquelles, en conséquence, toute démonstration numérique serait insuffisante : ainsi se développèrent les scrupu leuses tendances des Grecs à l'impeccabilité de leurs déductions et à la précision de l'expression, qualités grâce auxquelles les Mathématiques sont devenues la Science exacte par excellence, et les mots certitude mathématique synonymes d'absolue certitude. Les Grecs ont jeté, de la sorte, le fondement nécessaire au sublime édifice d'Archimède et d'Apollonius, et c'est à ce fondement même que dut revenir comme à son point d'appui la Mathématique moderne quand il lui fallut, après si longtemps, reprendre à nouveau la même puissance scientifique; bien plus, même de nos jours, elle a recours aux principes logiques développés et tenus en haute estime par les Grecs, soit pour s'assurer, dans la voie arithmétique où elle est engagée, la même certitude que les Grecs assuraient à leurs formes géométriques, soit pour rendre inattaquable le calcul infinitésimal.

D'autre part, une œuvre aussi grandiose n'aurait point dû entraîner l'indifférence pour les essais tendant à calculer approximativement ce qui ne comporte pas de pleine et entière

exactitude : Archimède ne montra-t-il point que Ton pouvait exprimer d'une manière irréprochable les résultats même d'un pareil calcul? C'est ce qu'il fait, précisément, en indiquant les limites entre lesquelles doivent être situées les quantités cherchées, mais son exemple ne fut pas suivi dans les autres Ouvrages strictement mathématiques où le calcul pratique en vint bientôt à n'être plus considéré que comme secondaire, et [les mathématiciens proprement dits ne lui accordèrent point l'attention qu'il mérite : nous verrons plus tard le grand tort qu'une telle abstention devait causer aux Mathématiques elles-mêmes.