L'infini

On sait que Pythagore faisait du nombre le principe de toutes choses, en disant : Les choses sont nombres. Nombre signifiant chez les Grecs les nombres entiers, les nombres de la série numérique naturelle, cette sentence s'accorde bien, d'une façon générale, avec les études des pythagoricien, précédemment mentionnées sur la théorie des nombres entiers, comme avec le sens mystique qu'ils attribuaient à certaines relations numériques. Il reste, cependant, difficile de donner au texte de cette sentence une signification directement conforme aux mathématiques pythagoriciennes, et il faut, en effet, que cette signification immédiate ait été antérieure aux explications, plutôt idéalistes, données, par la suite, de la phrase en question. /

Tels quels, les mots ne peuvent guère vouloir dire autre chose si ce n'est que tout est déterminable numériquement et, comme il ne saurait être question ici que de la grandeur des choses, le sens est que ces choses se peuvent exprimej»,par des nombres. C'est même effectivement le cas pour les grandeurs commensurables, quand on choisit une unité suffisamment petite, et il n'y aurait donc pas à s'étonner de la sentence si ce n'étaient, précisément, les pythagoriciens qui aient découvert que des quantités de même nature ne sont pas toujours commensurables : par conséquent, la sentence citée est fausse dans son sens littéral.

Toutefois, l'explication que nous venons de tenter, seule

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conforme à l'usage grec du mol nombre, n'est pas, par cela même, nécessairement erronée : il se peut que la sentence I pythagorique soit plus vieille que la découverte des quantités incommensurables, ou bien même, peut-être, est-ce en essayant de la justifier que Ton fut amené à découvrir ces ■/ quantités, et une formule philosophique à laquelle on a déjà attaché maintes considérations n'est pas si facilement mise de côté, alors même qu'on la reconnaît fausse dans son sens primitif; on doit s'efforcer de modifier ce sens de manière qu'il continue d'être applicable, ce qu'auraient peut-être même tenté de faire les pythagoriciens.

Pour le cas présent, pareille modification put être facile : on trouvait l'incommensurabilité des grandeurs en poussant à l'infini les calculs qui servaient à déterminer la plus grande commune mesure, et il n'y avait pas loin de là à soutenir que la plus grande commune mesure est alors infiniment petite, r et contenue un nombre infini de fois dans les grandeurs. - Dans ce cas, les choses étaient déterminées par des nombres . infinis, ou par d'infinies approximations produites par lesj rapports entre des nombres toujours croissants.

Cette explication, cependant, ne serait guère admissible si l'on ne pouvait prouver que des mathématiciens, pythagori- ^ ciens et autres, ont vraiment de leur temps déterminé des quantités de cette manière, par approximation infinie. Sans doute, nous ne possédons aucun renseignement direct sur ces déterminations, mais la campagne qui fut menée contre elles, notamment par une autre école philosophique, celle d'Élée, en atteste l'existence et, par cette campagne, j'entends les fameux sophismes mis en avant vers le milieu du siècle par le fondateur de l'école éléale, Zenon : en général, ils ont pour but de montrer les incohérences auxquelles on aboutit quand on veut composer des grandeurs continues avec des particules infiniment petites en nombre infini.

Deux de ces sophismes démontrent que le mouvement est impossible, et la première démonstration est la suivante : pour aller d'un lieu à un autre il faut, avant d'atteindre ce dernier, accomplir d'abord la moitié du chemin, puis la moitié de la moitié, et ainsi de suite jusqu'à l'infini, ce qui exige que l'on parcoure des bouts de route en

nombre infini. Ce mouvement, dit Zenon, est donc impossible.

Achille aux pieds rapides, dit encore Zenon dans un second sophisme, ne saurait rattraper la lente tortue, car il lui faut d'abord atteindre Tendroit qu'occupe actuellement la tortue, puis parcourir la route faite par la tortue dans l'intervalle, etc., à l'inflni : mais cet infini est inépuisable.

Encore que Zenon ait subtilisé jusqu'à nier la réalité physique elle-même du mouvement, la considération sur laquelle il fonde son paradoxe nous intéresse : le mouvement qui, de sa nature, doit être c ontij iu, est impossible selon lui, parce que nous ne pouvons le concevoir tel, étant donné que nous ne pouvons exprimer le mouvement continu par décomposition en moments isolés et distincts. Ces décompositions qu'il combat doivent, cependant, avoir été tentées par ses adversaires. Voyons, au reste, ce qui en est : le premier sophisme met en jeu la justesse de cette assertion que

. . .'jusqu'à l'infini.

et. dans le second sophisme, il s'agit, si nous admettons que Achille se meuve n fois plus vite que la tortue, de ce que la

somme i

— \ — r H-. . . a une valeur finie si l'on augmente

n rr indéfiniment le nombre des termes.

Mais, au temps de Zenon, on savait sûrement calculer le

temps nécessaire à Achille pour atteindre réellement la tortue ;

f es adversaires de Zenon savaient donc aussi que la valeur

finie de la somme de termes en question, en nombre infini,

est

, et les considérations que Zenon prétend absurdes

impliquent si nettement ces résultats positifs, qu'à moins d'admettre, comme moi, que ce soient ses adversaires qui ont établi ces résultats, — ou de semblables, — il faudrait presque les lui attribuer à lui-même : car on ne se met pas ainsi, sans esprit mathématique et sans grande sagacité, à entreprendre de chic des décompositions aussi fructueuses au point de vue mathématique.

Nousvoyons donc qu'au milieu du cinquième siècle on n'était pas sans s'être occupé de la sommation d'une série géométrique

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inflnie, sommation que nous verrons employée plus tard par Archimède, en dues formes et avec une sûreté plus grande.

A un point de vue strictement logique, pourtant, Zenon n'a pas tort : en effet, il ne peut être admissible qu'on se serve . de quantités inflnies pour démontrer des résultats positifs, ^ tant que Tinfini n*est expliqué que par son nom, car il n'y a dans son nom qu'une idée purement négative, à savoir qu'il u^ / ne peut être atteint. Dans les Mathématiques grecques, on se rangea du côté de Zenon, au point que l'idée d'infini comme moyen de démonstration positive fut, au siècle sui- i-^ vant, tout à fait rejetée, ou du moins traitée de manière à J défier de semblables controverses.

Mais cela n'eut pas lieu tout de suite : l'école atomislique, qui considérait les corps physiques comme composés de particules indivisibles, se livra certainement à son tour à une £/ investigation infinitésimale de la composition géométrique de ces corps. Ce fut au moins le cas pour Démocrite, l'homme le plus important de cette école, et l'on rapporte qu'il traita la question de savoir si deux sections planes de cône, parallèles et infiniment voisines l'une de l'autre, devaient être considérées comme égales ou inégales : dans le dernier cas le cône serait scaliforme, tandis que ce serait un cylindre dans le premier, et cette question se posait tout naturellement à qui voulait calculer par une sorte d'intégration le volume d'un cône, ou plutôt démontrer simplement les théorèmes sur l'égalité des cônes, à la manière dont le font d'ailleurs encore nos traités élémentaires. Que Démocrite se soit occupé de questions infinitésimales, les titres de plusieurs de ses écrits, tous perdus aujourd'hui, l'indiquent peut-être également : Des lignes et des solides incommensurables, Des nombres; peut-être aussi ce titre : Du contact du cercle et de la sphère. Néanmoins on ne sait rien de son œuvre raatbématlque et cela, probablement, par la raison qu'à l'époque suivante les Mathématiques furent cultivées surtout V^^ ^^^ savants qui se rattachent à l'école lie Platon et que cette école réprouvait complètement la philosophie de Démocri*-^-

Démocrite aurait donc approfondi l'idée d'into\ de îaçou a assurer quelque autorité aux spéculation^ basées sut ^^^^^ ^^ en aurait peut-être même montré V oloi pour devétÂUbles

investigations mathématiques, par exemple pour rechercher le volume du cône, mais cette idée ne put néanmoins se maintenir comme moyen admis de démonstration mathématique et, bien plus que la dialectique de Zenon qui, partant d'un point de vue philosophique, essayait de prouver l'in-

y suffisance de Tidée d'infini pour établir des résultats nullement douteux en soi, les conclusions erronées auxquelles elle pouvait servir contribuèrent à battre en brèche celte idée même d'infini.

Comme exemple de ces conclusions, nous citerons la démonstration du sophiste Antiphon affirmant possible la quadrature du cercle, c'est-à-dire la construction exacte du carré précisément égal à un cercle donné, démonstration qui peut — si, du moins, nous nous en rapportons à ses adversaires — se résumer de la manière suivante : on peut construire, dans le cercle, un triangle équilatéral et, par suite, en divisant les arcs en deux, des polygones réguliers d'un nombre croissant de côtés ; en poursuivant cette construction à l'infini, le polygone se confond enfin avec le cercle. Tous les polygones étant carrables, conséquemment le cercle l'est aussi.

C'est par de tels abus que fut ébranlée la confiance dans les considérations d'ordre infinitésimal, et elle ne put se maintenir dans les mathématiques proprement exactes, quelque soin qu'ait apporté Aristote dans sa Physique pour montrer comment la continuité des changements est inhérente à la nature de l'espace, du temps et du mouvement. Les sophismes de Zenon, aussi bien que la réponse d'Aristote à ces sophismes, nous montrent toutefois que, si on laissa de côté les quantités infiniment petites, ce ne fut pas faute d'intelligence, mais en vertu d'un libre parti, dicté par des considérations logiques. La méthode inventée avant Aristote par Eudoxe rendait ce parti possible : elle permettait, en effet, de démontrer complètement, sans recourir aux quantités infiniment petites, la justesse des déductions en la matière, ce à

/ quoi sert la preuve par exhaiistion; mais je ne m'étendrai sur cette preuve qu'après en avoir vu les applications dans Euclide, et j'attendrai, de même, pour expliquer la théorie

I des proportions (T Eudoxe, qui est liée à la démonstration par

j exhauslion, que nous ayons rencontré cette théorie au cin-