Déterminations infinitésimales cliez ArcMmède
Les mérites extraordinaires d'Archimède sont bien m festes en d'autres domaines : nous les avons effleurés partie déjà pour y revenir plus tard, mais, toutefois, sa n ^^ sance créatrice nous frappe, avant tout, dans les €ni^e t^^^ tlons infinitésimales auxquelles Eudoxe avait déjà d ^^ /^^■■ fondement si âolide, et dans la théorie de l*équ£lîbr^^% ^^ on ne connaît avant lui aucun traitement ri^our^^' ^<>nt recherches lui offrent de multiples occasions d ^^^^* ^^^ que, outre les Mathématiques éléoientaires, il est ^ ^^^^^^i^er familiarisé avec la théorie des sections coniques • ^?^*^^^^^ risé, même, qull va jusqu'à traiter les section ^^ ^^.^^lîasur des surfaces engendrées par la révolution ^d^^^^*^^^^^ coniques; mais, comme nous préférons réunir 1 ^^^^^^^^ que nous aurons à dire de la théorie grecciu^ ^ tard ce
coniques, nous n^us contenterons, en parla ^t -^^ ^^<^tions vrages d'Archimèd^, de mentionner à chaqu'^ i*^^^ ^^^ *^^"
priétés des sections iqu'il emploie, sans nous e^ *^îs les problement de la source dans laquelle il en puis ^?^^^^^ Préala-
Commençons donc notre analyse des re l^ lotion. simales d'Archimède par le Traité Suf- /^ ^^rches infinité- Parabole, car ce Traité, par exception, uou •**^*^^^^^^^ ^^ ^« de départ de l'auteur pour aboutir au résult^ ^^^^que le point donna sans doute rimpulsion à des travau ^h' ^^ ^^ ^^sultat dans ses autres écrits. ^ ^^ ïï^ênie nature
Archimède qualifie de mécanique la m ' v.
il a d'abord trouvé la surface du segment uir^-^^^ ^^^ l^iquelle parabole et sa corde, et, cela, parce qu'il «^^ ^^^ ^^^ arc d#^ théorèmes des moments statiques et du -^ ^PPuie su
triangle, théorèmes qu'il a exposés dans J^^^^^^ de gravité H libre des figures planes dont nous auror.^*^ Livre Sur r^
Sa méthode peut être indiquée bi^^ ^ Parler plu^ i^^'" suit : si l'on prend la corde AC (dont ^^^^^'^^ co ^^^'
longueur par a) pour axe des abscisses ..t^^^^ ^^si^nl^^^ ^^ nées, le diamètre AG, passant par l'un ^^^r axe d ^^^ ^a
la corde; si Ton désigne en outre par ^^^ ^^trém^^ ^ï'dond'un point E de la parabole, par v ^ ^^ ^ les orw!'\^^ ^ <le
^^^^^donuée Sr^^^^^ées
^^y corres^
DÉTERMINATIONS INFINITÉSIMA
pondant à Tabscisse x^ de la tang€ de la corde ; Archîmède déduit d'î connus sur la parabole, que,
L'ordonnée 7i a donc, dans la pos ment, le même moment, par rappo l'ordonnée y si on la déplaçait parai qu'en C. Par une division de la fîgi
parallèles à l'axe des ordoauées, et \ démonstration par exhaustiou c\u\ él ration qu'on exprimerait a présent pv
y cLoc
Archimède démontre q\ie le Tïiotnetv segment entier de para.l>ole tTansîèxé le moment du triangle À.CO dLaxi§» sîl\ tenant, comme la distaixic-e ^ Afi A
l4B LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.
triangle ACG est Je tiers de celle du point C, il en résulte que le segment est le tiers du triangle ACG, ou les deux tiers du triangle limité par la corde et par les tangentes en Jeurs extrémités. — Dans le détail de sa démonstration, Archimède imagine d'ailleurs la parabole comme suspendue à Vautre extrémité d*un levier à bras égaux ayant son point d'appui en A. Malgré la rigueur de cette démonstration, Archimède y joint cependant encore une démonstration géométrique particulièrement élégante. Soient AEBFC le segment, et BD le diamètre qui partage en deux la corde AC : on inscrit d'abord le triangle ABC dans le segment donné, puis les
Fig. i6.
triangles AEB et BFC dans les segments formés, des triangles correspondants dans les nouveaux segments, etc.; on trouve facilement alors que chaque élément (comme AEB) d'une nouvelle série de triangles est égal à \ d'un triangle (tel ABC) de la série précédente, et comme il y a dans chaque série nouvelle un nombre de triangles double de celui des triangles de la série antérieure, on obtient
Segment ABC z= [i 4- i 4- {{y -h. . .] AABC = i A ABC.
La démonstration se fait ici par exhaustion, ainsi que nous l'avons indiqué à propos du douzième Livre d'Euclide.
Tandis que, chez Archimède, la quadrature géométrique de la parabole repose en fait sur la sommation d'une série infinie, nous avons employé de notre côté, dans la reproduction de sa démonstration mécanique, les signes d'intégrales pour désigner une décomposition en portions qui diminuent simultanément à l'infini. Cependant, en toute précision, on ne
saurait don nex- mc^i le nom ciV^/^^^^,.
mède; cai- il sert:, au^ c3ontraire, à ''
ramenant sinctp^len-àen t Ja rocJierc/ïent^'^
le résultat,, il est -v^*-sii, si et Zg trouvé -.^^
tion, à sa-voii:* a Isl détermination (/^^ ^' triangle. ^®^
Il s'a^il:, ^x:i. jt-^^v^sijriCîlie, ^'^^^ég^rati Traité St^w- Z^^ .Sjc> £^€::x^l^^ et clans celai 9^'^
Sphéroïdes .• ^A^x-<3liixxieclo y ^^^^^K en ^ff corresporid^JTfct, ^:x:aetei:xiont à r^os fornmj^^*
z i c?^, et
et les ai>i>liciue à diverses détermination^ Ton obtiendr-siit ^xjÊjom-<ihui de la même
raide dos iTorn^ules intégrr-ales ci-dessus est de repéter- la démonstration pa^ ^^^^^ chaque qtaestion j>artlcnJière. Parmi ces t mier se trouve dans 1 In traduction au Tra des Sph^r^o i:c:le^. ledeuxieme dans un coroUa STirlesspir-ales r oe sont l^s suivants :
Le Premmer r^^ «nitfamélique que J'onco
repo ia
dune pro^r g. ,« deuxième re.
ment depu^^ long: ^^^^^ème lo) de Ja
lion (faite d^ris ^ Archirrièdo troo^^ ^"e
j usures paf <*es segments A, 2A, etc., son ^.^ et que no»sdés,>n:
dérons >% comme «" démonstration ^
cherchée des carres, ia n pe,
l5o LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.
manière suivante :
{n^i)n'—n--{-[{n — i)-h i]*+ [(/i — 2)4- ap-f-. . . + [2-h(/i— 2)]2 + [j4-(ai — l)]*H-/i* = 2.54-2.(71 — ï)H-4(/1 — 2)-h6.(/l — 3)-i-. . .
-\-2{n — i). i £n ajoutant
{n -h n — i-\- n — 2-4-. ..-4-1) on obtient
25H-/l-i-3(/l — i)4-5(aI — 2)-T-...^(2Al — l).I.
Or cette quantité est égale à 35 : cela découle nettement de la sommation des équations suivantes, dont la justesse ellemême résulte de la formule qui donne la somme des termes d'une progression arithmétique,
Ai'=Ai-H2(/i — i-h n — 2-f-...H-l), (ai — i)2=/i — n-2(/i — 2H-/1 — 3h-...-+-i), {n — 2)^1:=: /i — 2 H- 2 ( 71 — 3-l-'/i — 4-+-- • --T- i),
D'ailleurs, bien que secondaire en apparence, la sommation des termes en A^-h (2^)^ + . . . est un résultat algébrique important dans l'investigation d'Archimède.
Dans son Traité des Spirales, il applique ce produit au calcul d'un secteur de spirale d'Archimède /= a . ; la surface d'un pareil secteur étant
elle pourra donc se trouver à l'aide de la seconde des intégrales que nous venons d'écrire. Archimède détermine de la manière suivante son rapport à un secteur circulaire de rayon r : en même temps que les secteurs, il divise l'angle ^1— ^o> construit alors deux séries de secteurs circulaires qui sont enfermés par des secteurs de spirale, ou les renferment, puis il fait la comparaison avec ces secteurs circulaires en employant la démonstration par exhaustion.
Par conoïdes il désigne, soit des paraboloïdes de révolu-
ILES CHKZ j».-»*-
voluiion à *rï ■•
ailé de ces ^s
,«** py^^iS' ï'îft." "^e dune section i=;
i,led^ .1^'w ** % ^ ** ^-Ê* <* ^ figures décrite-
,£«'■ c»' 5,0»^ t^»''^,» .S"""' l'on ei
joutit à démontrer notamment, comme Tindique le titre de ivrage, que les zones de la sphère et les portions corresdantes de la surface courbe du cylindre circonscrit sont les.. Partant de là, on arrive facilement à d'autres formes déterminations et, de même, à celles des volumes de la ère, du secteur et du segment.
Lrchimède, pas plus qu'Euclide d'ailleurs, n'introduit jais aucune unité, de sorte que ces derniers calculs consist essentiellement dans la construction de cylindres et de les égaux aux volumes cherchés.
-.e second Livre du même Ouvrage (en dehors de la ermination du volume des segments, que nous venons de àv) traite différents problèmes sur ces mômes volumes, tre autres celui-ci : Partager une sphère, par un plan, en jx segments qui soient dans un rapport donné, et Ton sait e la solution de cette question dépend d'une équation du •isième degré. C'est bien aussi à une équation de cet ordre 'Archimède ramène le problème en lui donnant la forme ivante : Partager par un point X un segment DZ, sur lequel 5 points B et ï sont donnés, de telle sorte que
DB':I)X2==XZ:TZ.
î est ici le diamètre 2 /• de la sphère, sur le prolongement
quel on rapporte BZ = /•; DX est la hauteur de l'un des seg- |
înts, et si ce dernier est avec l'autre dans le même rapport
e m : Al, alors
rn -{- n * i
Archimède promet de résoudre cette équation plus tard, et il t seulement remarquer, pour l'instant, que la condition de ssibilité exigée pour Téquation se trouve effectivement reme dans le problème actuel sur la sphère. Une des raisons de t ajournement, par suite duquel la solution manque malheuiisement dans notre texte, pourrait bien avoir été qu'Archi- 1
^de, dans le même Livre, avait à faire une autre application »
cette même équation : la dernière proposition du Livre (la uvième) dit, en effet, que le plus grand segment de sphère antune surface courbe donnée est une demi-sphère; or on
aperçoit olsiîx-^^rjcfc^sr^t,, a la démonstratif qui, du reist^e, est, î j-fc<3onrii>l^te dans îq ^^ néfulfaît« ciu^'ai>x-ôs que lo i-ésultat et^^ ]
autre mari ièr*^ • Aucont,T-aix-e, la déduction vérita/,^^
lion avait na tui-ell«n^«n^ ^^^P^^^^ ^^'^M'^h Archimèdo a i^x-opos de 1^^ division de i, ^^
chez les Gr-ecs, un t.héo.'^me com^îeie^euj
- -^< ^^-^.-^îerit toujours à titre ri maximum, xiri^^i x^ i*:^** «- ^♦.,^1 -, , "e ^
problème z ci.a.in.fc» ^^^^ ^^H^r»^ ^ '^ «v
r ,,^. ^^s-rx:ient de sp/iere dont /e ^
trouver xzita s ^ &: ■^-^'» '^ * ^« .,, *^ Vqi
. -. ^.,Œ^^^r:tt donnés — P^oblèmf^ ^ ^
face cou r-too Fussent " i-^^„/,f/nr, w^ *^^' .
resolublo a.iJi- xjt-i*-^,r ^^^^« w/f miia i* j , ^^cf.
Maintens^nt, " « " ^ , fT^^^^^te L "„Vnf *^^^^^ trouve point. cia«s "^'"'^t, tïtîe v"eu?r'"'^«^ » •. ^%, ♦ -f- w-i ui es <is>.ns un autre vieux manuscr,-, était cont.e«u« commentateur d'Arcfi?!^'
publié en P«VV^,g5«ation ci'ArchffflêdeestrS' et dans 1«^"^* ^^g - on 3^ déduit alors des coZt ' sections <=<>"* ^ „! i ca tion a u proWème « Trouve/,, ' bilUédont 1 «PP^^ donné et de ..rface cou^" ' sphère «*^ ,7 ".^^eoient 7a proposition 9. iVous do„ fournirait <iii-« solution elie-méme, car eJieno,
rieurement c« conservés de Ja façon dont !«" '
meilleurs *^y^^.%,^es dits sa//c/es. ^' ^ ■
talent l^f P^o^ ^^ j^,s exemples contenus da,
On voit «^^J 'J^ la détermination de la surface d'Archiniè<i«» ^ champ à d'autres recherches • eJ un ^^® ,.^* ions pratiques, ainsi g "
eut qui couletvaW un^ P|^^ï*e avec un cylindre cir- . V3ï\siècVe eldemiapfèS, Ucéron, lorsque! était ques- SicUe, retrouva ettesta"^^ ce monument.
