DÉMONSTRATION PAR EXHAUSTION. • I

ils se servent pour trouver leurs résultats, — non plus que pour en créer de nouvelles.

Lorsque, au xvn*' siècle, on se remit aux recherches infinitésimales, notamment en s'attachant à Tétude d'Archimède, il s'agissait, d'abord et surtout, de comprendre, non seulement comment il établit ses résultats, mais, en outre, de voir au moyen de quel processus il les avait découverts et comment on pouvait soi-même en trouver de nouveaux; c'est à cette fin que les méthodes allaient donc être développées. Néanmoins, la plupart du temps, on continua d'assurer les résultats acquis peu à peu, soit en répétant l'application de la démonstration par exhaustion, soit, du moins, de leur donner crédit en faisant remarquer que celte démonstration leur serait applicable : c'est ainsi, par exemple, que procédait Fermât, et l'on continua même encore lorsque le calcul différentiel et intégral eut été fondé par Newton et Leibnitz.

En revanche, quand on se fut lentement habitué à se servir d'une telle méthode, qui fournissait des résultats nouveaux, et que l'on fut devenu routinier dans le maniement des infiniment petits, on en vint souvent à négliger les précautions logiques et la confirmation de certitude que la démonstration par exhaustion avait pour but de donner : on envisagea les quantités infiniment petites comme suffisamment définies par leur nom seul et, parfois même, on allait jusqu'à considérer une grandeur comme définie par une série infinie, sans s'être même assuré de sa convergence.

Au xix« siècle, seulement, on est tout à fait revenu aux exigences d'exactitude auxquelles satisfaisaient les anciens grâce à la démonstration par exhaustion, et l'on y parvient en établissant précisément l'existence des valeurs limites par des démonstrations qui, au fond, coïncident avec cette même démonstration par exhaustion. Seulement, à présent, cette dernière démonstration se fait, comme nous l'avons déjà indiqué lors de sa première application, une fois pour toutes^ ou bien n'est employée que dans l'établissement de notions aussi générales que le sont la somme d'une série infinie, ou d'une intégrale définie, tandis que, dans l'antiquité, on la répétait à ^ propos de chaque application particulière.

Il reste, toutefois, entre le traitement de ces questions

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dans Tantiquité et à présent, une différence de forme assez importante qui, sans doute, laisse intacte la stricte rigueur des conclusions, mais provient des points distincts d'où l'on

f est parti. Cette différence s'est déjà fait jour lorsqu'il a été

/ question, en général, de lajcontinuité des grandeurs, continuité dont l'existence était directement supposée par les anciens dans les quatre premiers Livres d'Euclide pour les grandeurs géométriquement représentées, et ce n'est qu'après, au cinquième Livre, qu'on introduit les procédés arithmétiques dont on peut également se servir pour comparer les quantités non commensurables; maintenant, au contraire, c'est cette détermination arithmétique elle-même des grandeurs qui tient le premier rang, pour ne l'appliquer qu'ultérieurement à des quantités plus empiriques et aux variables continues.

1^ Aujourd'hui l'on part souvent du procédé d'approximation arithmétique convergente, à l'aide duquel on détermine la surface d'une figure plane, par exemple d'un cercle, ou un volume, par exemple celui d'une pyramide, et on l'emploie pour définir la surface ou le volume; au contraire,-^

ries anciens considéraient la surface plane et le volume comme définis par les axiomes généraux sur les grandeurs que nous avons déjà appris à connaître dans le premier Livre d'Euclide; et, ainsi, celte proposition que le cercle est plus grand que tout polygone inscrit et plus petit que tout polygone circonscrit était une conséquence directe du

(^huitième axiome. Des axiomes du premier Livre on déduisait les procédés d'approximation qui servaient alors aux déterminations, et qui sont maintenant employés aux définitions. Où il y a toutefois accord complet, c'est en ceci que, dès ce temps-là, tout comme à présent, on exigeait que la convergence de ces procédés fût démontrée en toute rigueur.

Les axiomes généraux sur les grandeurs ne suffisent pas, cependant, quand il s'agit de déterminer la longueur d'une ligne courbe ou l'aire d'une surface courbe : aussi tient-on aujourd'hui pour particulièrement nécessaire de définir ces notions au moyen môme du procédé d'approximation par lequel, de fait, on détermine ces grandeurs; et l'on verra qu'Archimède, du moins, remarquait la difficulté à laquelle

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