AB : BC :^ Q : P

îvier, dont on néglige le poids propre, est alors en équi-

s'il est appuyé en B : en effet, divisons le levier par un

1 1) tel que

AD :DC=rP:Q,

éterminons les points E et F, sur son prolongement, de î sorte que EA = AD et CF = DG; on peut, sans changer conditions d'équilibre, répartir uniformément le poids P ED, et celui de Q uniformément sur DF, de sorte que le Is total P H- Q se trouve uniformément réparti sur EF. ce à la symétrie, l'équilibre existe alors si EF est appuyé )oint médian B.

jutefois, au premier Livre de son écrit Sur V Équilibre des res planes, Archimède fait celte démonstration sans urir à une répartition continue : il s'occupe d'abord du )ù P et Q sont commensurables et, par conséquent, pense répartir sur des points également distants, puis il passe, ide de la démonstration par exhauslion, au cas oùP et Q incommensurables. Comme de coutume, il établit exprès-

LCE^**

THÉORIE DE l'ÉQUIUBRE PAR ARC

sèment les hypothèses sur lesquelles se foB^ ^ !

tion : et ces hypothèses sont préciséiïieïv^ <i*équilibre, ou de non-équilibre, du le>?ieT ^^ En raison de ce qui va suivre, Archimède fe^'^

i hypothèses suivantes : Les centres de graVvté ^ '

blables sont des points homologues ; le centre âi figure dont la convexité se tourne paT*lo\i\, N tombe nécessairement à l'intérieur d.u. p^rîmèVA face qui limite cette figure. D'ailleurs, la. faeox\ que le centre de gravité d'un triaagle ^st. aivip tion de ses médianes nous paraît aiTijoijird'V. ' prolixe, et c'est par là qu'il termine soxx piretn \ la raison même de cette prolixité, o*ost civl' \ bâtir sa démonstration que sur les liypothi expressément établies.

Nous avons déjà vu comment AroliiTri^fiei rèmes sur l'équilibre pour établir la. sxii^race parabole; plus tard, dans le deuxiome Livre < / 'Équilibre des figures planes, il va Irouiv er vite d'un tel segment, et cette détomcilnatic

I théorème suivant lequel les centres de gra

segments de parabole doivent diviser le\irs di dans le même rapport : on le démontre les segments de parabole en vin. n.om.l>re i subdivision qu'Archimède employa. cla.ns géométrique (*) de la surface <l\i segnc\ent < Quant à la valeur, inconnixe 3\jisq\ji'ioi, < stant, elle peut s'obtenir par la décompositic dans le triangle ABC avec denx nouveaux mède résout sous forme géom^t,riq[iae l'éq degré que l'on engendre ain.si-

II connaît encore un antre oentre de segment quelconque de jytJLrcd^olo'tde d^ r celui-ci ne se trouve point cependant de la le centre de gravité du segn^ont, de paralio]

(M Dans le septième paragraï^Vi^e a«. texte ^^^^^^. rieur, par une méprise évidente, » restre^Liit. Va. c

seuls segments semblables.

)\i, en effet, sous une ou Taulre forme, dépendre efîec-

ni des intégrationsdéik mentionnées et que connaissait

lède. Personnellement, pourtant, il ne nous explique

une manière comment il en vint à connaître ce centre

ôté, mais il en parle et s'en sert à différentes reprises «

i second Livre de son écrit Sur les Corps flottants,

, dans le premier Livre de cet Ouvrage d'Hydrostatique

établi le fondement du théorème capital et bien connu

quilibre des corps immergés, totalement ou en partie,

3té connue de nos jours sous le nom de principe (TArchi-

m reste, ici même, Archimède se place à un point de vue

mment général pour pouvoir prendre égard à la forme

ie de la terre et à la direction centrale de la pesan-

L ce qu'il fait en étudiant, dans la dernière proposition Te, la situation d'équilibre d'un segment de sphère lement immergé; mais certaines parties essentielles te recherche ont malheureusement été perdues. Lors- 3ut établir qu'il n'existe point d'autres positions d'équim dehors de celle où l'axe du segment est vertical, lède ne doit certainement pas se contenter simplement -•

sons de symétrie; du moins, c'est ce que nous pouvons (ler en voyant, dans le deuxième Livre, le traitement omplet auquel il soumet cette question : Trouver les ns d'équilibre du segment déterminé par une coupe idiculairement à l'axe dans un paraboloide de révo-^ Dans cette étude la surface de Teau est supposée et il recourt également aux centres de gravité de nts formés par des plans obliques sur l'axe, statique, les travaux d'Archimède constituent le fonit, aussi bien de la Mécanique théorique que des appli- 5 pratiques de la Mécanique : il alla lui-même assez ans les applications, si nous en croyons maints récits ieurs d'auteurs antiques, beaucoup plus sensibles aux its matériels qu'à un travail de science pure; l'emploi du spécifique pour déterminer la composition des alliages ^nne d'Hiéron) est une application directe du principe imède; il aurait, dit-on, construit des appareils pour ir de grandes masses avec une faible force; la vis, dite

lA TBÉOHIE DES SECTIONS COMQUFS AVANT *!'<"''' ^^e^^

^'Archimède, est bien une de ses inventions. S^'^^U^*''' mécanique trouva particulièrement à se manifeste'^,, èy*<^ struction des machines de guerre, durant le siège d^e ^^ mais, hâtons-nous de le dire, s'il n'est pas impoS^' V A»

ie"tno.r """" ^«-''«''l-s, leur e^pV K<^^^ dier la flotte romame n'en est pas moins une pO^ ^ It^^^ ^^"

m,on d un^/«..,«,,„^ Mécanique qu'aurait coU^^'

23. - la théorie des sections coniques ava..t àçO^^'' ^ ^,S^*

Nous avons déjà dit Cn PTi^ i .. .ïï^ yj^ ^

ainsi ,„e,o„,«'„t:i^;;/„r^:L«" """"V ^^ ^^

courbes qu'il représentait, d'ailieui-s ^ \ . ^^*^

planes d'un cônp Hû .A ,'r "^"»s» coxiixiae des j,!-

iition, il ernaturelH «H k'''"' ««'-«^«rmérr^em à O^^a^

-.e .^qarrd; 1^ :rAo-.-^^^--.nîr:o^

avalnt T '' mathématiciens arxt.éi-iexaT-s à Ap^»^ pour d^!" T"''''^"^« ^« quelci^e. prooédé paV^

pour déterminer les propriétés de seotiox^i perpendic

à une génératrice? Etait-il impossible, a^reo la mêtf me, d appliquer cette méthode à pi-ouver que les ameremment situées possédaient exacte ment, les mê piietes?Ceseraitaller certainement, trop loin, et l'ot conclure de la sorte, car il n'existe aucune trace d.'u cédé dans les Mathématiques grecques : il serait,

difficile de l'inventer, au moins en ce ci.ul cenceri

et I hyperbole.

Mais nous pouvons proposer cl*ex.t>lici.u.ex- cettt

mière suivante : Pour déterminer les deux moyennes onnelles, on pouvait se servir des courbes définies par lions ci-dessus; or, nécessairement, une telle définition lors être accompagnée d'un postulat affirmant que ces

existaient réellement, ou, en d'autres termes, que les léterminés par cette définition se succédaient d'une mtinue. Toutefois, cette nécessité pouvait être évitée l était possible de donner pour ces courbes une court fondée sur des postulats antérieurs : bien plus, il eût ne inadmissible, en ce cas, d'instituer de nouveaux s. Et, précisément, la construction que trouve Mé-

consiste à déterminer lesdites courbes comme sec- ! cônes circulaires; la continuité de la surface conique s assurée par celle de la courbe directrice, le cercle, ntinuité de la courbe de section Test à son tour par

la surface du cône.

cet usage, toute manière de produire ces courbes sections de cône circulaire est également bonne ; et s'il ïSurer qu'une courbe, dont on connaît les constantes, re considérée comme une section d'un cône, le plus le est même d'avoir des règles fixes pour la solution roblème. En prenant en même temps comme surface I celle d'un cône droit, et pour plan de section un plan iiculaire à une génératrice, on voit très facilement que ion répond bien au but cherché si l'on veut consi- )ut d'abord les sections paraboliques produites comme tions du cône à angle droit.

t ï le sommet, KTC une section suivant Taxe, GPH la

une section parallèle au plan de base, y le segment )té sur une droite entre le point P et la surface du cône, ui se trouve perpendiculaire en P au plan de la figure :

ITK, on a, alors,

72z=GP.PHr=v/^AP.AI=2AP.AL.

ion élevée en AP perpendiculairement au plan de la st alors représentée, si AP = ^ et AL =/?, par

brmément à cette construction, Archimède appelle

LA THÉORIE BES SECTIONS CONIQUES .LVANT ^"^^ l'^ A<^

encore le demi-paramètre o la ««.r-,-^

Fig. iS

On voit donc bien que Méno ohm o ol^tonait préc solution du problème proposé r retprésonter, comi

ost ^

d'un cône, une courbe dont l'équation s'agissait que de rendre droit l'arag-lo du cC>rxei, < section perpendiculairement à xiu^ g-éu oratrice;^ ensortequela/?or^io,îy^,^^^'^ 1^4^^^ rtxt. é^ale à/ La représentation corresponde nteï pour- l'ellipse bole, en tant que sections per-pendioulaii'os à une

dans un cône de révolution à ang-lo aigru, ou obti mêmes avantages : nous nous sorvirons. cette f* des notations de la /^. ï 8, en j^ joignant seulem^ gnation A, pour le point d'inteJTSOOti on ^^ -^^ avec génératrice TC du plan de la fî&ur-^ -• dans le c^s i bole, c'est le point d'intersection do JS.T> et €lxx pioi de TG au delà de T.

SiAP.= .,PA. = ,.,etsi, e« outre et *^^'^[^^J^ "^entd's^nieuvs, la portion jus^^'^ l'^^^' ^^ ^^' ^^ paramètre jo et que AA, = 2«, on trouve