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Or cette détermination par l'éq U a ti on

une ourautre forme (leur détermination ^^

ion s G rapproch

de l'équation £-=.|j, est justem

anciens géomètres grecs donnaient p l'ellipse et de l'hyperbole (selon QU&

ertt

celle que OUI- ly^se à J

^=iz 2

)0 LES MATHÉMATIQDES GRECQUES.

^ — x-=:ia) : les constantes de la courbe étant représentées une façon simple dans la figure on a là, en fait, une bonne sûre méthode pour représenter ces courbes comme sec- 3ns de cônes, et Ton montre bien ainsi qu'elles sont des étions coniques pour toutes les valeurs des constantes. Néanmoins, notre explication implique que ces courbes ssent déjà connues auparavant et représentées, bien enndu, sous forme géométrique, par Téquation mentionnée us haut; il paraît, en effet, probable que Tellipse, en partiilier, ait été connue, et puisse fort bien avoir été considérée >mme section de cylindre.

Nous avons déjà dit que l'on avait trouvé l'application de l'hy-

irbole à la construction de deux moyennes proportionnelles,

)tamment pour l'hyperbole équilatère, bien que, il est vrai,

lia déterminât à l'aide d'une autre équation, en la rapportant

es asymptotes. Pour rechercher alors si celte courbe n'était

s déjà connue d'une autre manière, par exemple n'était pas

cercle, l'application à la construction des deux moyennes

)portionnelles offrit tout d'abord une excellente occasion de

nsformer la détermination primitive à l'aide des moyens

ît on disposait, c'est-à-dire à l'aide de l'Algèbre géomé-

jue; la transformation en équation aux axes est un résultat

ez facile à obtenir par ces procédés, mais il est peu vrai-

iblable que l'on ait vu une connexion directe entre l'équa-

1 par rapport aux asymptotes et la représentation comme

lion conique.

race aux sections perpendiculaires à une génératrice, on

nul donc à représenter toute parabole, ellipse ou hyper-

î, comme section d'un cône de révolution. Bien entendu,

éciproque apparut également vraie : à savoir que toutes

sections ainsi pratiquées sont des paraboles, des ellipses

es hyperboles; et il nous semble fort impossible qu'on ait

igé de faire la remarque que, dans cette dernière déter-

ition, la position particulière du plan sécant ne joue abso-

înt aucun rôle.

i tous cas, la même méthode devait apparaître applicable qu'il fut question des autres genres de sections, comme nous est confirmé par l'Ouvrage d'Archimède sur les coîs et sphéroïdes; car, dès l'introduction, cet écrit montre

LA THÉORIE DBS SECTIONS CONIQUES kSk^^

que, déjà avant Archimède, on connalssaH ^ les sections elliptiques des cônes droits et, ^^ . on y considère même parmi les sections eUVÇ^ circulaires obliques celles qui sont perpcuà^^^ de symétrie du cône. Archimède résout mèiu^^^ s'énoncerait dans notre langage : jDétcrmind^^^ circulaires d'une surface conique du second ot^ principales connues; et comme, dans ses ptO^ aucun besoin de sections hyperboUqiies sîlufe^^^ Tavons dit, son silence à leur égard no permet conclure qu'il les ignorât.

Archimède trouve encore Toccasion cie n^ous \ quel moyen il découvrit la détermin.aL^ion platv sections planes des cônes circulaires.

Considérons Idifig, 19 où le cône est, oonpé sv

de symétrie (section quelconciiie comprenant Va est droit); soient TL et TKL les génératrioes sit 1 plan, LK la trace du plan de la l^ase circvilaire. la section plane, projetée en N^N^, povxrra ^ ^^^ ; moyen du lemme planimétrîciiae sxxivant^ • ^ ^ ^ et MM„ qui coupent les lignes droites ^^^^ J^ N, M.et N„ et qui se rencontrent elles-m^me

servent une direction invariable, le rapport

islant — soit k la valeur de ce rapport. Si, maintenant, MMi la trace d'une section parallèle à la base et que y soit la tion comprise, sur la droite projetée en P, entre P et la face du cône, on a

7*= PM. PM, = k. PN. PNi,

fest là précisément la propriété par laquelle nous avons ictérisé, soit une ellipse, soit une hyperbole, e théorème' planimétrique dont on se sert ici est supposé nu : on l'employait donc certainement avant Archimède r déduire les propriétés des sections coniques. Or, d'après léorème dit de puissance dont nous parlerons plus tard et connaissait également Archimède, le théorème planiméue reste valable quand bien même les points M, N, M,, Ni l situés sur une section conique quelconque; par consent, dans l'écrit mentionné sur les surfaces de révolution iecond ordre, Archimède pouvait déterminer absolument a même manière les sections planes de ces surfaces, arsque nous avons admis que la découverte faite par echme consista, essentiellement, dans la représentation a parabole, de l'ellipse et de l'hyperbole comme des secs coniques, nous dûmes supposer en même temps que ces *bes avaient été étudiées auparavant, partiellement du ns, et notamment à propos du problème délien, et que l'on t pris pour point de départ de cette recherche les protés mêmes que nous exprimons aujourd'hui par leurs îtions les plus simples.

îtte hypothèse se corrobore fortement au reste par cette Dnstance que, chez tous les écrivains grecs, ce sont les )riétés planimétriques principales que l'on trouve à la j des recherches continuées, et non point la représentaen sections coniques; et l'hypothèse contribue, de plus, pliquer que la théorie des sections coniques se soit dévouée chez les Grecs avec la rapidité qu'elle devait acquérir ilôt après Ménechme.

ailleurs, l'intérêt éveillé par cette théorie dut bientôt idir lorsque l'on constata que les sections coniques ne sont jeulement applicables à la construction des deux moyennes jortionnelles, comme chez Ménechme, mais encore à la

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