MATHÉMATIQUES PRÉHISTORIQUES

Réduite à une matière étroite et bien délimitée, cette préhistoire peut conduire à des résultats relativement sûrs et clairs : on y apprend la manière dont les premiers peuples traitaient les grandeurs au moyen de nombres et de représentations géométriques, et c'est cela même qui nous permet de comprendre comment ils purent s'asservir la terre, qui nous facilite ainsi l'utilisation des renseignements que nous trouvons par ailleurs sur leur vie et leur activité. En nous montrant la base sur laquelle l'humanité devait édifier, plus tard, toute une mathématique mieux ordonnée, elle nous aide considérablement, somme toute, à pénétrer davantage le principe des premiers et plus importants concepts de cette Science, principe qui relève delà théorie de la connaissance.

Pour mettre en lumière la préhistoire des Mathématiques, il faut chercher chez les philologues quel est l'âge des dénominations des nombres les plus simples et quels moyens sont employés, en diverses langues, pour exprimer les nombres groupés par dizaines, vingtaines, etc., ou de quelque autre façon que ce soit, qui puisse servir à la division de mesures ou de monnaies (systèmes duo-, sexto-décimal, ...); il faut rechercher dans les inscriptions et les vieux monuments écrits les désignations, d'abord des nombres simples, lesquelles, pour la plupart, aux plus lointaines époques, consistent en une marque ou un signe pour chaque unité; ensuite, les signes moins siïnples des nombres composés qui, par exemple, peuvent être figurés par répétition d'un signe pour chaque unité décimale — comme chez les Romains — ; il faut découvrir la trace première de l'emploi de ces signes, ou encore de moyens mécaniques pour l'exécution des calculs simples — et il est même possible de retrouver des signes d'opérations jusque dans récriture idéographique des anciens, comme dans les papyrus égyptiens où une patte d'oiseau, selon son orientation, indique très clairement si un nombre est à ajouter ou à retrancher, bref joue le rôle de nos signes -h et — .

Quant à la conception de l'espace, le premier dessin que nous allons rencontrer. sera la preuve qu'on se représentait des figures, dont les unes sont en petit ce que les autres sont en grand, c'est-à-dire des figures semblables ; et ce témoignage est d'autant plus probant que, la perspective ne pouvant être alors

connue, l'imitateur tendait à obtenir une similitude réelle, encore que souvent avec peu de succès. Cette intention doit nécessairement avoir été consciente si l'imitation présente le même nombre de dimensions que l'objet modèle, que ce soit une sculpture, par exemple, ou bien encore un objet qui, représenté par ses lignes de contour sur un plan, est luimême plan ou peut être considéré comme tel. L'exemple vaut, principalement, si ladite représentation constitue par elle-même un modèle, comme une carte ou le devis d'un bâtiment, et d'autant mieux encore si Ton y peut voir un essai de figure géométrique. Au reste, pour l'application de pareilles figures à des buts pratiques, aux besoins de l'homme ou bien à l'enseignement des enfants, il est évidemment indifférent qu'elles soient dessinées un peu plus petites ou un peu plus grandes : nous aurons donc là, bien avant qu'il ait pu être donné de définition précise des figures sem blables, une preuve de leur emploi conscient.

Une chambre funéraire de l'Egypte ancienne, de décoration inachevée, montre comment cette représentation a conduit jusqu'à méthodiquement obtenir la similitude. On y voit, en effet, que, pour reporter une image sur la muraille d'après une nouvelle échelle, on divisa cette muraille et l'image modèle en carrés, au moyen de deux systèmes de parallèles, puis que, dans chaque carré de la muraille, on inscrivit ce qui se trouvait dans le carré correspondant du modèle. En réalité, ce procédé consiste à appliquer des coordonnées rectangulaires exprimées en nombres entiers, en prenant pour unité le côté du carré : sont alors déterminés comme points correspondants ceux dont les deux coordonnées, chacune à chacune, se trouvent dans un rapport donné.

En poussant plus loin l'investigation des anciennes représentations ou décorations on doit surtout rechercher les figures qui nous peuvent révéler la notion de quelques constructions géométriques simples, ou qui témoignent tout au moins d'une conception géométrique des figures. On rencontre certainement des essais de perpendiculaires et de parallèles dès l'enfance même des civilisations ; chez des peuples plus développés, on a construit sûrement ces lignes par des moyens mécaniques (au début, peut-être, par des moyens

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Les restes de bâtisses conservés ont une non moindre sio-nification que celle des dessins. Même aux premiers degrés du développement des peuples on remarque l'effort qui tend à donner au plan une figure déterminée, rectangle ou cercle; dans les constructions plus parfaites, comme les temples et les pyramides d'Egypte, on dut recourir à des procédés géométriques pour établir les angles droits, ce dont il faut d'autant moins douter que les constructions sont exactement orientées aux points cardinaux : on savait donc tenir compte, pour obtenir cette orientation, de la culmination du Soleil.' Les formes des pyramides témoignent de la notion de figures géométriques déterminées, et il fallut une grande précaution pour en assurer la configuration exacte, de même qu'une entente très sérieuse de la mécanique était indispensable pour obtenir l'équilibre de monuments aussi puissants que les temples égyptiens,fermes jusqu'à présent sur leurs bases, ainsi que pour le transport et l'érection des obélisques.

Je me suis efforcé d'exposer ici ce que l'on doit entendre par prébisloire de la mathématique et d'indiquer quelquesuns des moyens par lesquels on peut l'étudier; j'espère, en même temps, avoir fait comprendre quelle peut être l'importance de cette étude, mais la brièveté de ces leçons ne me permet pas d'investigations plus complètes et plus rigoureuses

b INTRODUCTION.

sur ce terrain : non seulement je dois dépasser les mathématiques préhistoriques mais aussi, en majeure partie, les mathématiques préscientifiques, et j'entends par là celles qui consistent, simplement, dans un ensemble de règles obtenues par empirisme ou par expériences fortuites, — ce fut peut-être le cas pour la division en six de la circonférence, — ou bien encore sans doute, à des époques plus anciennes, à l'aide d'investigations plus exactes aujourd'hui perdues et, conséquemment, préhistoriques. Je ne dirai des mathématiques préscientifiques que ce qu'il en faut strictement dire pour qu'on se fasse une idée des matières connues antérieurement aux mathématiques scientifiques, et qui ont servi de base pour les créer; aussi me faut-il donc, en introduction à la Géométrie grecque, exposer ce que les Grecs ont présumablement appris des Égyptiens et des Babyloniens.

Mais, en revanche, je ne pourrai traiter du calcul des Grecs que comme une introduction préscientifique à celui qui parut lorsque les Indiens inventèrent la représentation des nombres, usuelle aujourd'hui, à l'aide de chiffres avec valeur déposition; le calcul numérique des Grecs était en effet bien inférieur, sous tous les rapports, à ce qu'ils savaient, par ailleurs, de mathématiques et, en second lieu, quoique leurs grands mathématiciens aient pu se servir avec succès de leurs signes numériques et de leurs moyens de calcul, nous n'en pouvons rien tirer qui dépasse ce que nous traitons autre part comme mathématiques préscientifiques. Ceci soit dit, toutefois, avec la restriction que, peut-être, après plus complet examen, ces procédés de calcul apparaîtront meilleurs qu'ils ne nous semblent actuellement (* ).

Car, s'il est une erreur préjudiciable et qui l'ait été, non seulement pour des recherches historiques comme les nôtres, mais encore en ethnographie, c'est celle qui consiste à mesurer la valeur d'une chose découverte, uniquement par

( ' ) Paul Tannery, la plus haute autorité en pareille matière, a déclaré qu'en essayant de s'exercer pratiquement à l'usage des signes numériques grecs, il les a trouvés beaucoup plus appropriés au calcul qu'ils ne nous le semblent, habitués que nous sommes, dès l'enfance, au maniement d'un autre système de chiffres.

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Grecs et, postérieurement, les Romains ont appris d'eux, partie, par tradition directe, de quelques textes. En tous cas, cela ne paraît avoir que fort peu différé de ce qu'ils savaient déjà vers 1700 à 2000 avant J.-C, à savoir, d'après un papyrus fort antique, le Manuel de calcul du scribe Ahmès : aussi cette collection de problèmes, avec leurs solutions, estelle la meilleure source où puiser quelque connaissance des Mathématiques et du Calcul égyptiens.

En utilisant celte source, ainsi que d'autres encore, nous ne voulons, conformément à notre plan, entrer dans aucun détail sur la manière dont les Égyptiens représentaient les nombres entiers et s'en servaient pour compter. Pour les fractions, ils les décomposaient en quantièmes, . c'est-à-dire en fractions ayant pour numérateur un; le Manuel d'Ahmès contient une Table de pareilles décompositions de quotients, avec le dividende 2 elles diviseurs de 3 jusqu'à 99, TaÉle qui

21 1 se termine par — = ~r h ^i d'ailleurs cette décompo-

99 66 198 sition fut également employée par les Grecs et, quelque peu

pratique qu'elle ait été en apparence, son usage a cependant

fait remarquer la composition variée des nombres entiers.

Dans leur calcul nommé Hau, les Égyptiens savaient résoudre des problèmes qui s'expriment, en notre langue mathématique, par des équations du premier degré à une inconnue : ax -^ bx -\- ex -\- . . . z=i d, où a, 6, c, . . ,y d sont d€f^ nombres entiers, ou des fractions elles-mêmes composées de quantièmes; ils traitaient en outre des problèmes qui appartiennent aux règles de société, quelques-uns même dont la solution demande des progressions simples, arithmétiques et géométriques.

Dans la solution de problèmes qui, posés algébriquement, auraient dépendu d'équations de la forme susexprimée, nous rencontrons pour la première fois un emploi de la méthode de ]a fausse position, que nous retrouverons souvent plus tard : elle consiste à substituerai une valeur d'essai a?,; si l'insertion de cette valeur dpnne d^ au lieu de d, alors

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