Voy. p

avec le produit de l^ X 3 par 1*X5, la construction d*un

rectangle, qui aura la forme, soit de

si l'^ X 3 en

Sl

mesure la base et l'X 5 la hauteur, soit de 1^X5 en mesure la base et 1^X3 la hajiteur. Mais, . quelle que soit la position, verticale ou horizontale, du rectangle, le produit rectangulaire ne changera pas de ysl^ leur, les facteurs restant les mêmes * .

La division elle-même peut se ramener à l'addition en passant par la multiplication. De quoi s'agit-il, en effet, lorsqu'on divise un nombre, appelé dividende , par un autre, appelé diviseur, par exemple 15 par 3? Il s'agit tout bonnement de chercher le nombre qui, multiplié par 3, reproduise 15 ; en d'autres termes, il s'agit de trouver le facteur inconnu qui donne avec le diviseur (facteur connu) un produit égal au dividende. Le facteur inconnu ou à 'chercher est très-bien désigné par le nom de qvoiient (du latin quoties, combien), puisqu'il indique combien de fois il faut additionner le facteur- diviseur à lui-même pour résoudre la question proposée. En rapprochant tout cela de ce que nous avons dit plus haut de la soustraction, on voit que les quatre règles ou opérations fondamentales de l'arithmétique se réduisent au fond à une seule.

La multiplication et la division se présentent encore sous un autre point de vue. Rappelons-nous que nous

1. II est facile de montrer que le résultat ne change pas davantage lors même que, comme dans le losange, les angles du quadrilatère ne seraient point égaux, pourvu que les côtés opposés soient parallèles et égaux; car il s'agit toujours de multiplier la hauteur avec la base, et le produit est toujours celui de deux triangles égaux de môme hauteur et de même base que le parallélogramme. Oui n'entrevoit là toute une méthode d'application de l'arithmétique à la géométrie, et réciproquement ?

niST. DES MATH. 3

pouvons concevoir tous les nombres supérieurs à 1 comme des multiples de lunité simple. Or, rien ne s'oppose à ce que Ton prenne ces multiples, à leur tour, pour les unités (unités composées) de multiples plus élevés (multiples de seconde espèce), de manière que ces derniers soient aux premiers (multiples de première espèce) ce que les unités composées sont à Tunité simple. D'après la conception de ce rapport, qui donne à la fois Torigine et la clef de l'importante doctrine des proportions, composées chacune de quatre termes, il est facile d'expliquer pourquoi, par exemple, 1 est à 3, comme 2 est à 6

(1:31*2:6); pourquoi - = -, et inversement- = -; com-

ment, dans les fractions, le dénominateur représente l'unité (simple ou composée), et pourquoi, en opérant sur des fractions, il est nécessaire de réduire d'abord celles-ci au même dénominateur (unité de même espèce) ; on comprend aisément pourquoi, dans l'opération de la division, le quotient représente le 2« terme (unité composée) d'une proportion multiplicative ayant 1 (unité simple) pour V terme^ tandis que le diviseur exprime le 3* et le dividende le 4* terme de la même proportion; on saisit trèsbien pourquoi le 4* terme (unité multiple ou de seconde espèce), multiplié par le l*' terme (unité simple), reproduit le 2* terme multiplié par le 3®; enfin, il apparaît clairement pourquoi, dans une proportion multiplicative (appelée géométrique, parce que c'est là-dessus que repose toute la théorie de la similitude ou des figures géométriques semblables), le produit des deux termes extrêmes est égal au produit des deux moyens ; pourquoi, en divisant le produit des deux moyens par le 1" terme, on trouve le 4* ; bref, comment on trouve une quatrième (quantité) proportionnelle, une moyenne proportionnelle, iBtc.

Mais tout ceci n'abrège pas encore de longs et fasti-

dieux calculs, surtout lorsqu'il s'agit d'opérer avec des nombres considérables. Gomment faire? Il ne faudra pas au calculateur non routinier un grand eflfort d'esprit pour voir que, dans le petit tableau plus haut indiqué (p. 32) j 1** la somme des termes de la progression arithmétique corresponld, dans la progression géométrique, au terme qui est exactement égal au produit des tefities correspondants de celle-ci; exemple : 3 4-2 = 5, sommé d'ex* posants, à laquelle correspond î* =i 4 X 8 = 2^ X 2' ;

2* La différence de deux termes de la progression addi-

tive (arithmétique) donne le quotient des termes qui leuf

correspondent dans la progression multiplicative (gédtnë-

triqiie); exemple : 3 — 2 = 1, différence d'exposants, â la-

2^ 8 quelle correspond ^==7)

3° Le produit de deux termes de la progression arithmétique correspond au facteur constant, élevé à la puissance indiquée par ce produit (exposant); exemple : 2x3 = 6, produit auquel correspond 2^ = (2*)* = (2^)2 = 64 =: 4X8-1-8X4;

4° Le quotient de deux termes de la progression arithmétique donne l'exposant de la puissance à laquelle il faudra élever le terme de la progression géométrique (qui a pour exposant le terme-diviseur), afin de rendre cette puissance égale à celle qui a pour exposant le terme-dividende. Celle-ci a donc pour racine carrée ou pour racine cube (suivant que le quotient est 2 ou 3) le terme correspondant de la progression géométrique. C'est ainsi qu'on a,

par exemple, ^=2; d'où /'2»y=2SoU8'=64; v/64 = 8S

ou bien encore -= 3 ; d'où ( 2« y=2*,ou4*=64 ;'v^ 64=4.

D peut arriver qu'un exposant quelconque, n (terme de la progression arithmétique), ne soit divisible que par luimême ou par 1. Dans ce cas, la raéine de n^"** puiss«aice

sera toujours = ^ ,Les nombres qui n*ont qu'eux-mêmes ou l'unité pour diYiseurs, les nombres premiers, ont dû ainsi de bonne heure attirer l'attention de ceux qui se plaisent dans ce genre de recherches.

Partant de Tidée que dans la multiplication, deux facteurs étant donnés, il s'agit de trouver le produit, et que dans la division, le produit (dividende) et Tun des deux facteurs (diviseur) étant donnés, il s'agit de trouver l'autre (quotient), .en un ûiot, que ces deux opérations tendent au fond à la même solution, puisque dans la première Finconnu s'appelle le produit, et quotient dans la seconde, il ne sera pas difficile de voir comment on pourrait utiliser le rapport qui existe entre les termes de la progression arithmétique (suite naturelle des nombres) et les termes correspondants de la progression géométrique. Opérer l'addition et la soustraction avec des nombres relativement peu élevés, — qu'on les appelle exposants ou logarithmes^ peu importe, — et obtenir par ces opérations les résultats auxquels on ne parviendrait qu'avec la multiplication et la division de nombres proportionnellement très-élevés, — surtout si Ton choisit pour cela la progression géométrique de 10, —c'est là évidemment simplifier le calcul. Mais si les logarithmes de 1, 10, 100, 1000, 10 000, etc., correspondent à 0, 1, 2, 3, 4, etc., quels seront les logarithmes des nombres compris entre 1 et 10, entre 10 et 100, entre 100 et 1000, etc.? Chacun comprendra que ces logarithmes ne pourront être (comme les racines des carrés non exprimables des nombres entiers), que des nombres fractionnaires, et que ceux-ci se prêteront, pour la plus grande simplification du calcul, aux mêmes opérations que les exposants (nombres entiers).

L'esprit investigateur qui le premier s'est posé ces questions, ne se sera certainement pas arrêté à mi-chemin. Il aura pu, par exemple, se demander s'il ne serait pas possible de représenter un produit par une somme, défaire,

par exemple, a** = a**"* + a**"* + a**"' . . . . + a**"**. A force de recherches, il n'aura pas tardé à trouver que la chose est parfaitement praticable, mais à la condition que a*"""*, a""^, a**~^... a**"", soient préalablement associés chacun à un facteur particulier; il aura aussi remarqué que tous ces facteurs associés ou coopérât eurs {coefficients) suivent un ordre facile à déterminer, et que pour a** leur somme est = â**, les termes de la puissance étant groupés binairement. Il aura pu encore découvrir, pour sa plup grande satisfaction, que si, pour les termes d'une puissance donnée, on prend la différence de ces termes, puis la différence de cette différence, etc., il arrive, en continuant ainsi, que la différence des nombres de la n""" différence (correspon ' dant à n exposant) est = 0, et quHl y a là les éléments d'un calcul particulier (calcul des différences), pouvant amener la découverte de précieuses méthodes d'analyse. Mais arrêtons-nous : ce que nous venons de dire doit suffire pour montrer à quelles conceptions peut arriver un esprit qui cherche et raisonne librement.

Maintenant que l'on donne aux choses que l'on aura ainsi trouvées, les noms que l'on voudra, que ces noms soient grecs, latins, hybrides ou arabes, c'est l'affaire des écolâtres ; que l'on appelle coefficients^ binômes on polynômes les facteurs auxiliaires; que l'on parle de logarithm,es^ quand il s'agit de simplifier le calcul, que l'on désigne par algèbre cette arithmétique universelle où les lettres de l'alphabet, accompagnées de +, — , y^, = ou d'autres symboles, indiquent, d'une* manière générale, les opéralions à faire , cela importe , encore une fois , très-peu : tout cela n'est que l'accessoire; saisir le rapport des quantités diversement enchevêtrées ou en fonction,' voilà le principal. Malheureusement, ici comme ailleurs, les noms et les symboles en imposent tellement à cette légion d'esprits qui aiment mieux penser par les autres que par eux-mêmes, qu'ils lâchent le principal pour ne retenir que l'accessoire. Qu'y a-t-il donc d'étonnant à ce

38 fflSTOmE DES MATHÉMATIQUES.

que, ainsi fourvoyés, ils se heurtent, dans les choses les plus faciles et les plus simples, contre des difficultés qui leur paraissent insurmontables et les rebutent ? •

Cependant, au milieu d'une infinité de manières de voir difl'érentes, Tbomme a instinctivement l'horreur de l'incertitude ; il lui faut partout un point d'appui solide. Ramener toutes les propositions ou démonstrations à un ou deux axiomes d'une triviale évidence, comme ce qui est ne peut pas en même temps ne pas être, tel est le terrain sur lequel l'esprit mathématique s'avance avec hardiesse et sûreté.

Plus l'homme cherche, au moyen de ses sens et- de son intelligence, son outillage naturel, à pénétrer les couches de la matière et du mouvement, plus il parvient à s'assurer, avec admiration, combien tout a été créé avec nombre, poids et mesure. On ne s'étonne plus alors qu'un des plus grands philosophes de l'antiquité, Pythagore, ait considéré le nombre, cvrithmosj comme le principe de toutes choses. L'un des cas les plus frappants de l'application de ce principe se trouve, nous ne cesserons de le répéter, dans, la production des sons.

Les sauvages mêmes aiment la musique. Tous connaissent le monocorde : la corde de leur arc en offre le type. Aucun n'ignore qu'en pinçant des portions de plus en plus petites de la corde, en raccourcissant celle-ci du tiers, du quart, de la moitié, on obtient des sons de plus en plus aigus. Or rien n'empêche de supposer que l'un d'eux, plus avisé que les autres, aura fait une série d'observations, dont voici les résultats. Si la corde, d'une longueur déterminée, et tendue par un poids constant, donne un son == 1 , la moitié de sa longueur donnera un son = 2 (deux fois plus aigu que le premier) ; le quart (la moitié de la moitié de sa longueur), un son = 4 (quatre fois plus aigu) ; et ainsi de suite. Si, la longueur restant b même, on double, on quadruple^ etc., le poids qui tend ia corde, on aura, pour l'acuité des sons produits, la

même progression (géométrique) de 1, 2, 4, 8, etc. En poussant Texpérience plus loin, on s'apercevra que les sons sont produits par des mouvements de va et de vient, par des vibrations, que Ton peut compter, quand le son est très-grave, mais qu'il devient de plus en plus diffi'» cile de compter à mesure que le son s'élève. Or le son le plus grave qui soit perceptible à Toreille, se manifeste à Tœil sous forme de 16 vibrations par seconde ; ce sera le son exprimé par 1, premier terme de la progression. Puis on remarquera, avec ce sentiment de bonheur que procure toute découverte d'une loi de la nature, que le double de 16 (32 vibrations) donne le son 2 (1'® octave au-dessus), correspondant à la moitié de sa longueur ou au double de la force de tension de la corde ; que le double de 32 (64 vibrations) donne le son 4 (2" octave au-dessus), correspondant au quart de la longueur ou au quadruple de la force de tension de la corde, etc.

Tels sont les résultats mathématiques que le sens de Touïe et le gens de la vue combinés ont pu fournir à tout esprit observateur, inculte ou cultivé. Notons que la série des octaves (véritable progression géométrique) ainsi obtenue forme Vharmonie fondamentale dont les sons flattent le plus l'oreille, en même temps qu'elle entre dans les sons successifs d'une plaque métallique ou d'une cloche, dont les vibrations s'éloignent insensiblement. Il n'est point question ici des sons intermédiaires entre les octaves, et qui forment, par des rapports fractionnaires, la gamme chromatique.

Une fois engagé dans cette voie d'expérimentation, on se sera immédiatement aperçu que la corde, si elle est trop longue ou trop relâchée, ne produira pas de son distinct, et qu'elle n'en produira pas non plus si elle est trop raccourcie ou trop tendue. Cependant, dans ce cas, les vibrations continuent ; l'œil, à défaut de l'oreille, peut les suivre en leur faisant tracer des dessins visibles, et l'intelligence, qui seule peut les continuer ainsi à l'infini, se demande

pourquoi, à un moment donné, les vibrations cessent d'engendrer des sons. Or la réponse à cette importante question dépasse les moyens d'investigation dont dispose la curiosité humaine. On devra donc se contenter de ce grand fait, d'une importance capitale , à savoir que si le fonctionnement de l'intelligence est continu ou illimité, les sens fonctionnent dans des - limites organiquement déterminées ^ en deçà et au delà desquelles il n'y a plus de perception distincte.

Le sens de la vue, dont le clavier est beaucoup moins borné que celui de l'ouïe, confirme encore ce grand fait. Ainsi chacun peut se convaincre par lui-même que nous ne voyons distinctement les objets que dans un champ assez limité, et que, en deçà comme au delà de ce champ, la vision est trouble, enfin qu'un objet trop rapproché ou trop éloigné de Tœil est également invisible, tandis que l'esprit, porté sur les ailes de l'imagination, ne connaît aucune limite.

Nous avons vu la progression géométrique présider à la production des sons fondamentaux de Tharmonie.' Eh bien, c'est encore une progression, mais arithmétique cette fois, qui préside au fonctionnement du sens de la vue. Ainsi, personne n'ignore que plus un objet est distant de Toeil, plus il paraîtra petit : le poteau près duquel se tielit l'observateur paraîtra beaucoup plus grand que le clocher qui pointe à l'horizon. Ce sont là, personne n'en doute, de simples apparences ou plutôt des effets trompeurs de notre vue. Mais qui les corrige ? évidemment ce n'est pas l'œil ; ce ne peut donc être que l'intelligence ou l'esprit, ce quelque chose qui n'est pas l'œil, quel que soit le nom qu'on lui donne.

Personne ne se trompera sur les dimensions d'un gros boulet, comparées à celles d'une tête d'épingle, si l'on regarde l'une et l'autre à la même distance. Mais une bombe, en s'éloignant de l'œil, peut devenir aussi petite qu'une tête d'épingle, et finir même par disparaître en-

tièrement. Mais comment cela se passe-t-il? Gela se passe mathématiquement, avec nombre et mesure. Voyons plutôt.

Voici un objet, par exemple une tige de fer d'un mètre de longueur, placé à une certaine distance, dans le plan de la vision distincte. L'angle sous lequel cet objet est vu, V angle visuel^ est formé par les deux lignes droites qui, partant de Textrémité de Tobjet, forment la base d'un triangle isocèle (triangle ayant deux côtés égaux), et vont se réunir dans Tœil ; prolongées, au delà de l'objet, jusqu'à l'horizon, ces lignes forment avec celui-ci l'arc d'un cercle dont l'œil de l'observateur représente le centre; le tout figure une portion de cercle, qui s'appellera quadrant, sextant, octant, etc., suivant le nombre des degrés de l'arc tracé par l'horizon.

Revenons maintenant à l'expérience, que le premier venu aura pu faire avec un quart de cercle, grossièrement fabriqué, portant 90 degrés inscrits sur son arc (le quart de 360^, total des degrés de la circonférence). Notre observateur aura vu l'angle visuel diminuer à mesure qu'il se sera éloigné de l'objet. Supposons qu'il marque l'endroit (2* station) où Tangle est juste la moitié de ce qu'il était à la première station, et qu'il continue de même à marquer les lieux où l'angle visuel n'est plus que le tiers, le quart, etc., de ce qu'il était au point de départ ; supposons enfin qu'il ait en même temps l'idée de mesurer les distances comprises entre ces différentes stations et de les comparer avec les angles visuels correspondants, il trouvera, à sa grande satisfaction, que, à la distance double correspond la moitié de l'angle visuel primitif, à la distance triple le tiers de cet angle, et ainsi de suite, de manière que les distances suivent la progression arithmétique ascendante, 1, 2, 3, etc., pendant que les angles sous-tendus suivent la même progression descendante, I, -, -, etc. A quelle distance un objet

visé, le mètre par exemple, cesse-t-il d'être visible? A cette question, le premier arpenteur venu aura pu répondre. D'accord avec tous les hommes doués de la même vision normale, il aura trouvé qu'à la distance de 2575 fois sa longueur le mètre cesse d'être visible. En mesurant à . ce moment l'angle sous-tendu, il aura constaté que cet angle est d'un peu plus que la soixantième partie d'un degré (plus exactement de 1 minute 20 secondes = 80"). Armé de ce lait précieux, l'esprit de tout homme qui réfléchit aura voulu le développer, et en suivre, pour ainsi dire, la piste. Avant toute expérience, a priori, il se sera naturellement demandé à combien de fois les dimensions d'un objet quelconque il faudra se placer pour que cet objet, grand ou petit, ne sous-tende qu'un angle, par exemple, d'une seconde, c'est-à-dire la 3600" partie d'un degré. Cette question, qui en implique beaucoup d'autres, lui aura sans doute fait entrevoir la possibilité d'une méthode propre à réaliser ce qui tient en quelque sorte du surnaturel, à mesurer les distances et les dimensions d'objets absolument inaccessibles, si ce n'est au regard du géomètre plongeant dans l'infini de l'espace. Mais la science qui se propose de mesurer, non plus l'aire, mais les angles et les côtés d'un triangle, la trigonométrie en un mot, a été, comme nous le verrons plus bas, très-longue à se développer.

Résumé,

L'esprit humain a-t-il été, dès le principe, assez heureusement inspiré pour ne pas s'abandonner aveuglément à des conceptions abstraites, purement théoriques? A-t-il été assez réservé, assez sage, pour ne s'avancer que pas à pas, appuyé sur l'observation? A-t-il compris de bonne heure que la science n'est qu'un composé de faits généraux ou de principes, produits d'une patiente élaboration?

Enfin, dès son point de départ , Tesprit humain a-t-il tien saisi que tout, n'est que rapport , que tout se tient et s'enchaîne comme les roues d'une même horloge, que tout se conserve ou se continue en se transformant ?

Il est possible que tout cela soit venu à la pensée d'un certain nombre d'observateurs. Mais ce ne fut là sans doute qu'une impression fugitive, qu'une lueur bientôt disparue devant la volonté humaine, oscillant entre des sentiments contraires et inclinant fortement vers ce qui flatte le plus ses penchants incorrects, parmi lesquels domine l'horreur du travail. L'histoire est là pour en témoigner.

La philosophie, qui devait être primitivement la réuniou de toutes les connaissances humaines, n'était qu'un échafaudage artificiel. Aussi, à un moment donné, les sciences abstraites ou spéculatives divorcèrent-elles avec les sciences positives ou d'observation : les premières, immobilisées dans, la métaphysique et la psychologie, se séparèrent des dernières, complètement transformées depuis l'inauguration de la méthode expérimentale. Au milieu de ce divorce de connaissances incompatibles, les mathématiques balancèrent d'abord incertaines entre les unes et les autres. Mais elles s'engrenèrent bientôt, par leurs applications nombreuses, avec l'astronomie, la mécanique, la physique, et participèrent à la rapidité du progrès de ces sciences. Aux anciennes méthodes furent substituées des méthodes nouvelles, plus simples et plus expéditives. Ce fut alors aussi qu'on vit apparaître une distinction inconnue jusqu'alors, celle des mathématiques pures et des mathématiques appliquées.

Cette distinction tend à perpétuer la ligne de démarcation qu'on s'est plu à établir entre les sciences abstraites et les sciences concrètes, entre les connaissances qui, par leur caractère de continuité, relèvent de l'intelligence intuitive, et celles qui, par leur caractère de discontinuité, portent l'empreinte du fonctionnement de nos appareils

sensitifs, comme si notre outillage fonctionnel ne formait pas un seul et même tout! Aussi qu'en est-il résulté? C'est qu'on a préféré instinctivement ce qui est facile à ce qui est difficile. Au lieu de s'appliquer également aux grandeurs discontinues et aux grandeurs continues, à éclairer l'arithmétique par la géométrie, et réciproquement, on a mieux aimé perfectionner la théorie des courbes que celle des nombres.

Mais arrêtons-nous dans ces considérations. Tout ce que nous avons voulu démontrer dans ces deux premiers chapitres, c'est que si, par hypothèse, le trésor des conceptions transmises par l'histoire venait à périr dans un cataclysme imprévu, tout homme, sain d'esprit, trouverait en lui-même, dans le judicieux emploi de son outillage naturel, tous les moyens suffisants pour reconstruire l'édifice de la science, et que, par conséquent, c'est, comme nous venons de le montrer, dans le fonctionnement même de nos facultés qu'il faut chercher les origines des mathématiques.