L'Homme devant ses ceuvreSy p. 301 (Paris

LES 0BIG1NE3 DJBS MATflJÇMATIQPES. 1^

Mettez un de ces piens^urs ea présence 4e ^a suite ordi^ aaire des nombres, et demandez-lui }b résultat de ses mér* dUatix)ns. U commencera par séparer TïLcpessoire du prin-r cipaL Parmi les choses accessoires, il comprendra les signes numéraux, leur forme, leur énoncé, leur position, etc., toutes choses qv^i peuvent varier suivant le» nations, comme nous le montrerons plus loin. Au rang des choses principales il placera ce qui se trouve invariablemjent au fond de tous ceux qui pensent, telles que les idées de continuité ou d'infini, Qt leurs contraires^ Ainsi, pour ujb pas s'eipbarrasser de ce qui est variable, il représentera la suite naturelle des nombres par des points QU pur de petites lignes, séparas par des intervalles égaux :

etc., ou etc.

Ces intervalies sont nécessaires ; car s'ils n'existaient ps^s, Us points se confondraient, et, ne formant plus alors qu'une ligne, il serait impossible de ^es compter.

Un seul coup d'oeil jeté sur le tracé graphique composé de points ou de lignes fera comprendre que les nombres sont des quantités discontinues ou les contraires de Tidée de continuité , et que deux nombres consécutifs diffèrent toujours l'un de l'autre de la même quantité (l'unité).

Sentant tout à la fois la possibilité (intellectuelle) et l'impossibilité (physique) de continuer à poser ainsi des points ou des lignes-unités, sans jamais s'arrêter, notre pen&eur couperja court è» la difficulté par le tracé d'un si-r gne quelconque, ou de quelques Csaractères, signifiant et ainsi de suite.

Mais comment distinguera-t-il entre eux les points ou lignes, et les intervalles qui les séparent, puisqu'ils sont tous égaux? Évidemment par le rang que chacun occupe, ainsi que par les formes et les noms particuliers qu'il leur donnera. Après l'unité du l^'^ rang viendra, en allant, s,oit de gauche à droite (comme dans les langues indo-européennes), soit de droite à gauche (comme dans les langues

sémitiques), Tunité du 2% puis celles du 3% du 4', du 5* rang, etc., exactement comme pour un chef qui aligne ses soldats et les met en ordre de bataille. Il s'apercevra aussi que chacun de ces nombres ordinaux exprime en même temps la somme des unités, figurées par des points ou des traits, successivement additionnés : 1 = 1,1 + 1 = 2, 1+1 + 1=3, 1 + 1 + 1 + 1 =4, etc.

Mais, m'objectera-t-on peut-être, vous posez là votre homme primitif comme plus instruit que votre hypothèse ne le permet. Voici ma réponse : Ne confondons pas les choses acquises par Tenseigneiùent, œuvre de la civilisation traditionnelle, avec les tendances innées de l'intelligence humaine. Le double sentiment du juste et du vrai existe chez le sauvage aussi bien que chez l'homme civilisé. Le sentiment du juste est peut-être plus vif encore dans le premier que chez le dernier, où il subit des influences qui le font souvent dévier de la droite ligne de la conscience. Pourquoi n'en serait-il pas de même du sentiment du vrai? Gelui-ci est, dans l'ordre scientifique, ce que le sentiment du juste est dans l'ordre moral. Les principes qui émanent du sentiment instinctif du vrai sont le patrimoine originel de l'intelligence ou de la raison humaine ; mais loin d'être favorisés dans leur développement et dans leurs applications, ils sont plutôt entravés, souvent faussés par les doctrines dogmatiques qui les enlacent, par Pesprit de système ou d'école, qui prétend les diriger. En soutenant cette thèse, nous avons pour nous toute l'histoire des sciences.

Revenons maintenant à notre observateur primitif, que nous supposons uniquement guidé par le sentiment instinctif du vrai. Voyant que chaque point ou ligne exprime le même nombre (l'unité), il ne pouvait pas faire autrement que de songer à additionner ces points ou lignesunités en se servant, pour indiquer pes opérations, d'un signe quelconque ; que ce signe fût + ou tout autre signe conventionnel , ce n'était d'abord là qu'une attire secon-

daire. Et comme les sommes de ces unités devaient, pour plus de simplicité , se résumer par des expressions équivalentes , les signes numéraux ,1,2,3,4,...., variant de forme selon les idiomes des nations, devaient se présenter naturellement à l'esprit, suivis ou non d'un signe particulier, exprimant, comme =, l'égalité ou l'équivalence. Vaddition était ainsi tout inventée. Et voilà comment la suite naturelle des nombres est en quelque sorte l'expression inconsciente de l'addition la plus élémentaire. C'est une addition qui pourra être continuée indéfiniment, si Ton ajoute toujours 1 au nombre qui précède pour avoir le nombre qui suit. C'est donc une véritable progression^ — ce nom a été conservé, — dont les nombres successifs sont les signes ou les termes. On aura sans doute senti aussi de bonne heure qu'il y a quelque avantage à donner un nom spécial au nombre constant (qui était de 5 pour la progression perapagène, qui est de 1 pour la suite naturelle des nombres, et qui pourra être un nombre quelconque), à ajouter un nombre variable de la série pour avoir celui qui le suit (immédiatement dans la. série). Le nombre constant s'appellera la raison ou le rapport de la progression arithmétique ou additive.

De la suite naturelle des nombres , progression additive de l'unité, à l'invention de la soustraction^ il n'y avait qu'un pas. En effet , il n'y avait qu'à généraliser le fait de la différence de deux nombres consécutifs. Deux nombres inégaux quelconques étant donnés, il s'agissait d'ôter ou de soustraire l'un de l'autre. Que fallait-il faire pour effectuer cette opération? Trouver le nombre qui^ ajouté au nombre à soustraire^ le rendit égal à celui dont il devait être soustrait. Et comme on avait employé un signe pour indiquer l'addition, il était tout naturel d'imaginer un signe , par exemple — , pour indiquer la soustraction,

La règle proposée était trop simple pour qu'elle ne vînt pas à l'esprit humain avant tous les raisonnements spécieux ou subtils qui ne manrruent jamais de surgir les

première pour embrouiller une question. Cette réglé ëét d'une application tout à fait générale , avantage que n'a point la règle qu'on enseigne comme élémentaire, et qui devient incompréhensible quand il s'agit des nombres iiégatifs^ — ^encore une invention moderne! — ou des nombres plus grands à sotistraire (saûs emprunt) à des nom* bres plus petits , quelles que soient les subtilités qu'on ait imaginées pour se tirer d'embatrag. Dites au premiet enfant venu de prendre, par exemple, 5 pômitie» à un cà* marade qui n'en a que 3 : il sera d'abord comme stupé^ fait d'une aussi singulière injonction ; puis, se ravisant, il répondra sans hésiter que c'est impossible. Mais deman-»' dez-lui ce qu'il faut faire pour rendre égal le nombre 5 (nombre à soustraire) au nombre 3 (dont 5 doit être sous-^ trait); il vous répondra, sans peine, qu'il faut ôter 2 de 5 pour rendre celui-ci égal à 3, et, en faisant précéder 3 de -!-, signe de la soustraction, il écrira :

Cette manière de voir une fois comprise et acceptée, la iioustraction, ramenée à sa véritable signification, ne pré* Bentera absolument aucune difficulté^ que l'opération se fasse avec des nombres négatifs (précédés du signe — ) oui avec des nombres positifs (précédés du signe -}-)* Ainsi, l'enfant n'aura pas plus de peine à soustraire — 5 de -|- 3, ou — 3 de + 5, qu'à soustraire -f- 3 de ■+• 5* ou — 3 de — 5, ou — 5 de — 3 ; enfin, après avoir ainsi trouvé la solution de ces petits problèmes, il s'empressera d'écrire :

G'eBt-à-dire qu'il faut ajouter -f 8 à -^ 5 pour Avoir -f- 3; qu'il faut ajouter — 8 à -{- 3 pour avoir — '5, etc.

Il ne faut pas beaucoup d'intelligence pour comprendre que la même opération pourra s'effectuer avec des nombres quelconques^ et combien il serait avantageux de la gmérdUstr. Celui qui se sera bien mis dans l'esprit que tout se simplifie si, au lieu de considérer le» quan* tités en elles-mêmes, on n'en consid^e que les rapportii que tout se réduit à représenter des données diverses par une expression unique, égale à ces données, à dégager enfiîif par une exacte mise en équation^ l'inconnue d'un ensemble de quantités connues, celui qui sera parvenu à se faire des mathématiques une pareille idée, celui-là ne tardera pas à arriver, comme conduit par la main, aux conceptions et aux découvertes les plus inattendues. Il se créera d'abord un langage généralisateur , une véritable cUgèbre^ pour son usage* Si, pour désigner dejB nombres quelconques, il ne veut pas se donner la peine d'imaginer des espèces d'hiéroglyphes, il choisira à cet effet des signes déjà connus, tels que les caractères de l'écriture ou de l'alphabet usité. C'est ainsi que a signifiera pour lui. une quantité ou un nombre quelconque; il en sera de même pour 5, ete* Les premières lettres de l'alphabet pourront représenter les quantités données ou connues, et les dernières lettres, telles que a?, y et jj, les quantités inconnues. Tout cela n'est qu'une affaire de convention. Mais notre observateur ne sera pas sans se dire à lui-même que si a exprime un nombre quelconque, il ne pourra pas cependant exprimer le même nombre par 6, à moins que a ne soit égal à 6, ce qui s'exprime par a = b. Et dans ce cas, a— 6 = 0, chose évidente.

Ce dernier résultat éveillera certainement l'attention, même celle d'un enfant. Celui-ci comparera l'égalité au jeu de ses camarades, qui tirent une corde en sens opposé, en se mettant, en nombre égal, aux deux extrémités de cette corde : l'égalité sera ici figurée, ante ocuIqs^ par

l'absence de tout mouvement; malgré les efforts déployés de part et d'autre, tout paraît être en repos : les efforts ne se traduisent que par la fatigue et la transpiration (mouvement métamorphosé). Chacun comprendra sans peine que cette absence de tout mouvement apparent n'indique en aucune façon une nullité d'effet, un état de repos absolu. Car si la corde venait à se rompre, on verrait aussitôt ceux qui la tiraient être lancés en arrière en s'écartant les uns des autres avec une violence proportionnée à leurs efforts ; et cela arriverait infailliblement, si' le tissu de la corde n'était pas assez solide pour résister à la somme des forces déployées. Il va sans dire que si les forces contraires ne s'équilibraient pas, si elles n'étaient pas égales de part et d'autre, si, en un mot, la traction exercée d'un côté était plus' ou moins forte que la traction exercée en sens opposé, l'inégalité se manifesterait aussi1j(5t par le mouvement, par un mouvement dirigé dans le sens de la traction la plus forte.

De ce fait vulgaire il. est permis, avec un peu de réflexion, de tirer un enseignement important, à savoir que les nombres peuvent être représentés comme allant les uns en sens inverse des autres, ou bien encore comme s'ils étaient les uns au-dessus, les autres au-dessous dezéro ; en d'autres termes, les nombres positifs et les nombres négatifs f ayant la même valeur, mais en sens contraire, se détruisent ou s'annuUent quand ils s'additionnent. En effet :

Le résultat sera le même si Ton remplace les nombres par des lettres (quantités générales).

Le zéro exprime donc, non pas un rien absolu (qui est un non-sens), mais un état d'équilibre, résultat de l'action de valeurs égales et contraires. Or, si on place le zéro au milieu des quaiitités positives et des quantités négatives.

nombres (j'allais dire mouvements) opposés et égaux dont la direction est indiquée par des flèches), on aura l'algorithme que voici, allant des deux côtés a Tinfîni :

Cette notation a pour avantage de réduire la soustraction à une addition, et de faire en même temps disparaître toutes les subtilités qu'on a imaginées pour expliquer comment on pourrait ôter un nombre positif d'un nombre négatif et vice versa^ subtilités qui ne font que fausser le jugement dans une scienccf qui devrait être la logique même.

Là oxjL tout se tient et s'enchaîne, il importe de ne rien négliger, de ne rien abandonner au vague, sous peine de s'égarer dans un dédale d'inextricables difli cultes. Nous avons vu que tout nombre est égal à une. somme déterminée d'unités simples ou de 1. Or, la notation numérale, telle qu'elle a été partout adoptée, ne le montre nullement : le rapport de 1 avec un nombre quelconque, a, n*y est point exprimé. Il faudrait donc qu'il le fût. C'est pourquoi on aurait dû, dès le principe, représenter la suite naturelle des nombres, non point

12 3 4 « par 2, 3, 4.^., mais par -, y, --, -...* Cette notation est seule conforme à la vérité.

Voyons plutôt. Nous avons dit plus haut que l'on peut représenter led nombres par des sommes de points distincts, dont chacun est égal àl, et que, en effaçant les intervalles qui séparent ces unités-points, on engendre la ligne Mais, en marquant un point ou traçant une ligne, on crée des objets qui tombent sous le sens de la vue, et ils cessent dès lors d'appartenir à la faculté abstractive. Ce sont des objets positivement mesurables, quelque petites qu'on en suppose les dimensions. Or, comment concilier ici la continuité (faculté abstractive) avec la dis-

continuité (faculté sensorielle) ? La notation proposée ta nous tirer d'embarras. Ainsi :

- = 1 , d'où 1X1 = 1^ (produit carré) .

- = 2, d'où 2X1 = 2 (produit rectangulaire).

- = 3, d^où 3X1=3 (produit rectangulaire). Et d'une manière générale :

- =a, d'où aXl=fl (rectangle dont un côté est = 1

et l'autre =a).

Tout cela signifie, en d'autres termes, que dès qu'il s'agit de mesurer une quantité quelconque d'une façon visible ou tangible, on sort inconsciemment du domaine de l'abstraction pour entrer dans le domaine de la réalité. Idéalement, on conçoit très-bien qu'un poiùt ne Boit que l'extrémité d'une droite, ou qu'une ligne ne soit qu'une étendue en longueur, sans largeur ni profondeur; qu'un plan que l'on suppose couper un solide ne soit qu'une surface intuitivement abstractive, etc.; mais dès l'instant que vous réaliser vos conceptions en les projetant sur un espace ou en leur donnant, en quelque sorte, un corps, vous devez compter avec ce qui tombe sotts les sens, en même temps que vous ne pouvez plus vous soustraire au jugement de vos semblables * . La ligne, sensible à l'oeil^

1. Il existe ici le même rapport qu'entre là pensée et Tadte. Tant que la pensée ne se traduit pas au dehoi's par la parole ou par un actô appréciable quelconque, elle est comme non avenue^ ou plutôt elle n'existe que pour celui qui Ta et la garde en soi; mais quand une fois elle s'est manifestée matériellement, d'une façon quelconque, chacun pourra l'analyser, la disséquer. Celui qui viendrait nous dire que notre remarque est purement métaphysique et qu'elle n'a rieii de commun avec les mathématiques^ celui-là se tromperait étrange-

ne sera plus une pure abstraction ; mais ce sera, pour tous, une étendue ayant à la fois une longueur et une certfiline largeur, ce sera un véritable plan (quelque étroit qu'on le suppose) rectangulaire^ ayant pour mesure commune l'unité carrée =f1^« I^a preuve que nous sommes entrés ici dans le domaine de la réalité, c*est que lorsqu'on voudra construire géométriquement deë carrés avec des nombres entiers, on ne pourra le faire qu'avec 1^ = □ , carré qu'il est permis de supposer aussi petit que l'on voudra, pourvu qu'il tombe sous les sens. Avec 4 de ces carrésunités, disposés de la manière suivante : ^P, oti aura comme on voit, le carré de 2 = 2^ =4. Avec 9 = P, disposés

de même: ±^ , on aufa le catré de 3==3*=:9 ; et ainsi de

suite. Rien n'empêche de donner aux côtés des carrés un nom et un symbole particuliers, de les appeler racines et de les représenter par y^ .On aura alors pour racines des carrés, P, 2*, 3*, 4^, etc., la suite naturelle des nombres

1, 2j 3, 4, etc., = v^P, )/¥, ^¥^ v^4^ etc. Mais entre 1 et 4 il y a les nombres 2 et 3; entre 4 et 9, il y a les nombres 5, 6, 7, 8; entre 9 et 16, il y a les nombres 10, 11, 12, 13, 14, 15, etc. On voit que les nombres interstitiels entre les carrés successifs augmentent à mesure que les carrés grandissent. Or, quelle est la racine carrée de ces nombres interstitiels ? Cette question a dû de bonne heure se présenter à tout esprit investigateuï*; et celui qui se la sera posée, aura été le premier à mettre la main sur un nouveau genre de quantités. Voyant que l'extraction des racines ne conduit ici à aUcuU nombre entier, ratiûfifiÉÎ^ mais à des fractions inépuisables, continues, ott ti'auta pu,

ment. Gat la science des rapports des quantités a la plus intime connexion avec la philosophie ; la preuve, c'est que les plus grands mathématiciens^ ceux qui ont véritablement fait avancer la science, étaient en même temps des philosophes ou métaphysiciens de premier ordre, comme nous le montrerons dans le ciours de ee livre.

que par une sorte de dépit les nommer irrationnelles^ illogiqites (aXoyoi) ; car si ces quantités ne sont plus sensiblement, c'est-à-dire arithmétiquement représentables, elles ne cessent pas de l'être intellectuellement : la faculté abstractive, qui a pour essence la,» continuité, reprend ici ses droits.

Il serait facile de, montrer ensuite que, en élevant 1* = 2 à une hauteur égale à sa racine (côté de Q), ou, ce qui revient au même , en multipliant 1 trois fois avec luimême, on obtient le cube-unité^ 1X1X1 = 1% prisme à base carrée (dont la hauteur est égale à sa largeur), qui pourra servir à la construction géométrique de toutes les puissances supérieures au carré, et auxquelles on aurait dû depuis longtemps donner le nom de stéréodynamies (puissances solides), puisqu'on peut les représenter par des prismes quadrangulaires, réguliers. Mais nous nous contenterons de ne laisser ici qu'entrevoir cette direction nouvelle d'un esprit naturellement curieux.

Revenons à notre notation numérale. Les nombres positifs étant des multiples de l'unité positive, c'est-à-dire

que -r signifie + 1 pris a fois, les nombres négatifs devront

être exprimés, d'une manière générale, par — - = -ïfor-

mule qui signifie que — 1 est pris a fois, ou que le rapport est simplement renversé. La notation numérale :

— ——... ==-^- - -..., ne désigne donc

pas des fractions proprement dites.

Pour tout esprit qui réfléchit, les fractions proprement dites se déduisent d'un autre genre de considération. Ainsi, 1 n'étant qu'une grandeur conventionnelle, rien

n'empêche de concevoir, entre 0 et 1 = -, une série infinie de nombres fractionnaires, allant toujours en dimi-

nuant par moitié depuis - i il n'est pas même difficile de

démontrer que la somme de ces fractions continuées à

rinfîni, ajoutée à -, est égale à 1. En effet, si nous re-

présentons l'unité, par exemple, par une ligne, et que nous

divisions cette ligne par moitié, il est évident que la

somme des deux moitiés reproduira la ligne entière,

c'est-à-dire que - + ""= 5^== 1» P^^^ ^^ ^® faudra pas un

grand effort d'esprit pour se convaincre que l'addition de Ja moitié de la ligne au quart (moitié de la moitié), au huitième (moitié du quart), au seizième, et ainsi de suite à l'infini par progression géométrique, reproduit

intégralement la ligne -unité, ou que ô +(7+0+7^

Gomme pour le son qui, passé un certain nombre de vibrations, cesse d'être perceptible, chacun aura pu remarquer, — l'analogiS est manifeste, — que si l'on poursuit l'opération sans interruption, on obtiendra, à un moment donné, des divisions ou différences tellement petites qu'elles cessent d'être saisissables à l'œil, bien qu'abstractivement elles puissent être continuées à l'inlini. Que l'on appelle maintenant ces divisions, numériquement nulles, des infinitésimales ou des différentielles, qu'on les symbolise n'importe comment, cela importe fort peu. Quelque répugnance qu'on éprouve, il faudra bien, tôt ou tard, arriver à reconnaître qu'une ligne

1. Une fois engagé dans cette voie^ on ne tardera pas à s'apercevoir que le choix de la série ou du rapport nécessaire pour aller à Tinfini n'est aucunement indifférente. Âinsi^ par exemple, la progression de I, I, ^, }, \..,, qui n'est géométrique que dans ses deux premiers termes^ donne, par la sommation de ses termes, un tout autre résultat.

est réellement composée d'une infinité de points, qu'une surface ou un plan peut être très-légitimement considéré comme formé d'une infinité de lignes, un solide comme composé d'une infinité de pl9.ns.

N'y a-t-il pas là l'indice d'un puissant instrument d'analyse? Cette question se serait depuis longtemps présentée d'elle-même à 4'esprit des philosophes, s'ils eussent été aussi bons géomètres que métaphysiciens. Mais, malgré de nombreuses indications trouvées chez les anciens, il a fallu attendre jusqu'au dix-septième siècle de notre ère pour que Je calcul infinitésimal fît dé-^ finitivement son apparition.

On a vraiment lieu de s'étopner que ce nouveau calcul n'ait pas été inventé plus tôt, surtout quaj^d on songe que ceux qui, par métier, se livrent à des travaux d'une certaine précision, auraient dû y être conduits comme parla main. Ainsi tout charpentier ou tailleur de pierre est journellement à même de voir qu'il est à peu près impossible que l'outil, destiné à suivre la marque pour diviser une planehe ou une pierre, entame exactement le milieu de la ligne tracée, qu'il y a presque toujours des déviations, plus ou moins sensibles autour de ce milieu, et que la somme de ces déviations peut devenir très-marquée. Un marchand qui aune un morceau d'étoffe, et le coupe suivant la marque tracée, n'ignore pas combien il lui est facile de retenir à son profit une fraction de mesure qui échappe à l'œil de l'acheteur le plus vigilant; et il sait qu'à la longue les sommes de ces quantités imperceptibles peuvent faire des aunes ou des mètres entiers. Il en est de même ,du détaillant qui vend des denrées au poids : des grains de poussière, salissant le plateau d'une balance, s'ajoutent au poids, et les sommes de ces infinitésimales, indéfiniment répétées, n'échappent pas à l'esprit mercantile.

Il est à regretter que ces détails de la vie matérielle, qui ont leur importance, aient toujours été jugés indignes d'un penseur. Hi les philosophes, à l'époque où la philo-

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sppbie eompreQjait tou^ l%» eonBaisfiaBeôs humaines, ^vfti^at daigné y porter leur aitentioft, Us auraient devancé les grands philosophes géomètres du dix-septième siècle, et seraient résolument entrés dans le domaine fécond de V équivalence , exprimée par des séries infinies, enfin ils auraient proclamé — ce qui a Tair d*un paradoxe — la nécessité de commencer Tétude des mathématiques par où on les finit ordinairement.

dette déclaration de principe aurait encouragé lea timides et fait changer de voie aux routiniers. En reconnaissant que tout esprit logique, démonstratif, indépendant, libre de toute doctrine traditionnelle ou magistrale, peut se* passer de maître, on serait arrivé, nous en avons la certitude, aux plus étonnantes découvertes. En voulezvous la preuve?

Reprenons, par exemple, pour la creuser davantage, l'étude que nous n^avons fait qu'effleurer. En multipliant le nombre-racine, a, une fois, deux fois, trois fois, quatre fois, etc., avec lui-même, nous aurons, comme expression générale, ^ Xa X fit X «..., ou, en abrégeant, a a a a.,,. Voilà ce qui est, pour tout le monde, facile à comprendre ; ' de même que le premier venu pourra avoir Tidée d'abréger encore cette notation, trop longue, en désignant par n (ou par toute autre lettre, à l'exception de a, déjà employé) le nombre de fois que a aura été multiplié avec lui-même. Si nous plaçons ce multiplicateur général, n par exemple, en haut et à droite de a (le choix de cette disposition est purement arbitraire), nous aurons a*, où n (exposant) prend successivement la valeur de

Chacun concevra sans peine quç la v^-leui* (Je a peut rejeter

1. Ici encore se trouve la confirmation de ce que nous avons dit plus haut au sujet d'un nombre quelconque, a, considéré comme un produit ou multiple de 1. En effet, a» est = 1 ; donc o® a= 1 Xac=a*.

constante, tandis que celle de n varie comme la suite naturelle des nombres. Soit, par exemple, a = 2 ; on aura :

ou

et d'une façon générale : a® a* à* a' a* a* a*....

Le rapport des nombres ainsi disposés saute aux yeux. Les i^ultiplicateurs variables, autrement dit les exposants^ suivent une progression arithmétique, pendant que les produits des termes de cette progression avec le nombreracine (facteur constant), 2, suivent une progression géométrique. Or, il suffira d'un coup d'œil pour voir le grand parti que Ton pourrait, pour la simplification du calcul ordinaire, tirer de ces deux progressions ainsi accolées Tune à l'autre, terme par terme, et où 2 pourra être remplacé par tout autre nombre, préférablement par 10, dont la progression 10* 10* 10* 10' 10*.... = 1 10 100 1000 10 000.... est le fond même de notre système de numération. Mais quelques réflexions préalables sont ici nécessaires.

Toute multiplication peut être ramenée à une addition. C'est ce qui est pour chacun facile à démontrer. Il suffit, en effet, de répéter l'un des deux facteurs autant de fois que l'autre contient d'unités, puis d'additionner le tout, pour voir que la somme est égale au produit (résultat de la multiplication) des deux facteurs. Cela sert, en même temps, à démontrer que le résultat est le même, quel que soit le facteur qu'on choisisse pour multiplicande ou pour multiplicateur. Géométriquement, la démonstration est encore plus saisissante qu'arithmétiquement. Car, si l'on représente, par exemple, le produit de 3X5=15 par un rectangle dont l'un des deux côtés soit à l'autre comme 3 est à 5, on aura, d'après ce qui a été dit plus haut*,