Olleris, Œuvres de Gerbert, p. 589 (note

ris, d'après deux manuscrits (n«» 7185 et 7377) de la Bibliothèque nationale, aurait été, suivant M. de Hock, écrit en Allemagne vers l'an 996. M. OUeris admet, comme plus vraisemblable, que Gerbert Ta rédigé ou dicté pendant son enseignement à l'école de Reims. Il élève en même temps quelque doute sur le véritable auteur de la Géométrie^ qui, dans un manuscrit, ne porte le nom de Gerbert qu'en marge, d'une écriture plus récente. Au reste, parmi les recueils, la plupart anonymes, d'arithmétique et de géométrie, si nombreux au moyen âge, il est souvent bien difficile de démêler les véritables noms d'auteurs.

La Géométrie^ qui porte le nom de Gerbert, commence par la définition d'un corps solide (corpus solidum)] de là il passe à celle de la ligne, du point et de la surface. Au chapitre ii, l'auteur explique les mesures dont on faisait alors usage ; tels sont digitus , v/ncia (trois doigts) , palmus (quatre doigts ou quatrième partie du pied), sexta ou dodrans (douze doigts), pes (seize doigts), passm (un pas), pertica (d'où le nom de perche, comprenant deux pas ou dix pieds, decempeda) , stadium (cent vingt-cinq pas ou six cent vingt-cinq pieds); lev^a, d'où le nom de lieue) composée de douze stades), etc. Les expressions employées dans les chapitres suivants sont en partie grecques et en partie latines; elles pourraient être trèsutiles aux lexicographes. Le triangle occupe le premier rang (principalitatem) parmi les figures géométriques, « parce qu'il est, dit l'auteur, le principe ou l'élément auquel peuvent être ramenées toutes ces figures. » Dans un quadrilatère, la ligne droite inférieure porte spécialement le nom de base, basiSj tandis que la ligne ou base supérieure s'appelle coraustus^ nom de basse latinité.

Les chapitres xi, xii et xiii sont consacrés aux triangles octogones ou rectangulaires, appelés pythagoriques. Pour construire ces triangles en nombres rationnels, un côté étant donné, l'auteur se sert des règles connues (attribuées à Pythagore et à Platon), qui donnent des nom-

bres entiers pour les côtés du triangle rectangle; il se sert encore d'autres règles qui donnent des nombres fractionnaires.

M. Ghaslesi fait remarquer ici que Gerbert résolut un problème, remarquable pour Tépoque, parce qu'il dépendait d'une équation du second degré; ce problème était celui où, étant données l'aire et Thypoténuse, on demande les deux côtés. Soit A l'aire, et C l'hypoténuse, la solution de Gerbert, traduite en formule, donne pour les deux côtés la double expressidn :

L'auteur enseigne ensuite à calculer avec un tuyau (arundo)^ avec un horoscope ou avec Yastrolabe^ la distance d'un objet inaccessible, la hauteur d'une tour ou d'un arbre, d'une montagne, la profondeur d'un puits, etc. (ch. XII à xl). Il montre comment on calcule la perpendiculaire dans un triangle dont les côtés sont connus. Enfin M. Ghasles signale diverses inexactitudes dans le traité de Géométrie. « Gerbert donne, dit-il, pour la surface des polygones réguliers les formules fausses des arpenteurs romains , et résout aussi comme eux le problème inverse, étant donnée Paire d'un polygone régitlier^ trouver son côté, Vcmt le cercle, il donne le rap-

port —, On trouve, sous les titrer In campo quadran-

gulo agripennos cognoscere { chap. lxix ) et In campo trlangulo agripennos invenire (lxx), les formules fausses que nous avons déjà signalées dans les Œuvres de Bède, pour la mesure de l'aire du quadrilatère et du triangle ; et Gerbert, dans ces exemples, se sert des mêmes nombres que Bède. On trouve, dans le chapitre lxxxv, là formule qui donne là somme des termes d'une progression arithmétique. La formule, pour Taire du triangle en fonction des trois côtés n'y est pas , et on en

trouve une autre pour le triangle rectangle qui u'est pas exacte*. »

Une chose digne de remarque, c'est que dans ce traité de géométrie, comme dans tous les autres écrits de Gerbert, on ne rencontre pas un seul mot qui soit d'origine arabe, tandis que les mots tirés du grec y abondent. Outre Boèce, on y voit cités, Pythagore, Platon, Ératosthène, Ghalcidius (commentaire sur le Timée)^ etc.

Bemelinus était un des élèves de Gerbert.Son Abacus, Liber abadj imprimé par M. OUeris (Œuvres de Gerbert, p. 357-400), n'est probablement qu'un résumé des leçons du maître. Cet ouvrage est d'une grande importance en ce qu'il montre que Gerbert n'a rien emprunté aux Arabes et encore moins aux Indiens^.

Après une courte préface, le disciple de Gerbert explique comment se faisait la table d'Abacus : c'était une table, bien polie, couverte d'une poudre bleue, sur laquelle on traçait des figures géométriques ou des lignes pour recevoir des nombres. L'auteur expose ensuite 1& système de numération, qui a depuis prévalu dans toute l'Europe, et qui est fondé sur la progression géométrique (valeur de position) de 1, 10, 100, etc. Et pour cela, il n'emploie, comme Boèce, que ces quatre chiffres romains : I, X, G, M.

ou I

Pour exprimer les puissances suivantes, les mêmes

1 . M. Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie ^ p. 505 (note).

2. C'est le chroniqueur Guilkume de Malmesbury qui est Tautetir de la Cable d'après laquelle Gerbert aurait emprunté aux Arabe6 l'AbacuS; ainsi que tout un trésor de sortilèges.

chiffres romains servent encore ; mais ils sont alors surmontés d'un trait (titulus), et M est répété autant de fois qu'il y a de multiples de mille.

Ainsi, X = 10* = 10000

SÎI=10« = 1000000

XMI=10' = 10 000 000

GMÎ=10® = 100000000

MMÎ=10^ = 1000000 000

XMMI— 10** = 10 000 000 000

Rien de cela n'est nouveau : Archimède et Apollonius s'étaient déjà servis, comme nous l'avons fait voir (p. 217), de la même progression pour exprimer des nombres trèsélevés.

Boèce, dans sa Géométrie (chapitre de Ratione abaci^ p. 395 de l'édit. de Friedlein), avait traité de la même combinaison de chiffres romains ; et il l'avait fait suivre du tracé des neuf caractères ou apices (apices)^ dési- • gnant les neuf nombres simples, inférieurs au nombre dix.

Ces caractères ou apices^ dont voici les figures,

correspondent à

Ils ont été reproduits avec de légères modifications dans YAbacus de Bernelinus (p. 361 des Œuvres de Gerbert, édition de M. OUeris). Ici l'auteur a tracé au-dessous des neuf premiers chiffres, dits indiens, les lettres ma-

juscules do l'alphabet grec, cpii toutes se suivent, à Texception du 2, comme le montre ce fac-similé :

1Z^%^ Cl k y\ s ce

ABrAEZZ H9

A quoi devaient servir ces chiffres? S'ils n'avaient dû servir qu'à exprimer lea-unitészf: 1, qp2, qrS,.... if:9,qui précèdent ou qui suivent dix, cent, mille, cent mille, etc., ce n'était pas la peine d'inventer des signes nouveaux, les signes numéraux des Romains, des Grecs, des Hébreux même auraient suffi pour cela. Mais quand il s'agissait de représenter, par un système simple et commode, tous les nombres entiers compris entre les termes de la progression géométrique de 1, 10, 100, etc., comment s'y prendre? Là était la question.

Les idées les plus simples sont, nous ne saurions trop le répéter, celles qui viennent toujours les dernières à l'esprit humain; c'est là un des premiers enseignements qui ressortent de l'histoire des sciences. Mais il ne faut pas non plus oublier que ce qui paraît aux uns extrêmement simple échappe à ceux qui ont l'esprit absorbé par d'autres idées ; c'est là un fait dont il faut grandement tenir compte ; sinon, on se tromperait sûrement en jugeant le passé avec la somme des connaissances du présent. Ainsi, rien ne nous semble aujourd'hui plus simple que la manière d'énoncer et d'écrire avec la même facilité les nombres les plus forts et les nombres les plus faibles. Chiffrer, par exemple, deux milliards trois cent vingt et un millions sept cent vingt-deux mille six cent quxirante- trois, n'est guère plus difficile que de chiffrer quarante-trois. Il suffit pour cela d'écrire d'abord 1000000000 (1 milliard) , qui dans la table (Âbacus) des ai^ciens est représenté par MMl; puis de remplacer, pour le cas cité, 1 par 2, ce qui donne 2000000 000; enfin de remplacer chacun des zéros par ceux des neuf chiffres

(nombres unités) désignés (sans s^ préoccuper des noms de milliards, de millions^ de mille, de cent, de dix) ; on a ainsi : 2 321 722 643, qui est Ténoncé chiffré. On voit que tout Tartifice réside dans ce que chaque chiffre reçoit sa valeur du rang ou de la position du zéro correspondant qu'il remplace.

Mais que de temps, que d*efforts il a fallu pour y arriver! Que de tentatives, que de combinaisons on avait faites avec les extensions et les flexions alternatives des doigts et des phalanges, figurés par des traits, des arcs, des crochets, des apices, placés en haut ou à côté des nombres, exprimant les dizaines, les centaines, les mille, etc. i Et il a fallu tant de siècles pour résoudre une question à la solution de laquelle dix signes, y compris le zéro, auraient, dès le principe, pu suffire*!

Algorithmistes» Abacistes et AlgpébrisCes.

Le mot algorithme, sur Tétymologie duquel on a débité bien des contes*, vient, comme Ta montré M. Reynaud,du surnom à!Alkhdrismi (natif de la province de Kharizme), de Mohamed-ben-Mousa, dont nous avons parlé plus haut ; et algorithmus désigne, dans le latin du moyen âge, arithmétique de position, parce que c'est cet auteur arabe qui passe pour avoir, le premier, eu Tidée, à la fois si simple et si lumineuse, — une véritable révolution scientifique, —

1. S'il faut en croire le chroniqueur Viguier, qui (dans sa Bibliothèque historiale, t. II, p. 642) cite VAbacus de Bernelinus, notre système de numéralion était encore une nouveauté au seizième siècle.

2. On a donné du mot algorithme les étymologies les plus singulières. Les uns le font venir de aUeos, ranger^ et goros, considération (langue fantastique) ; les autres, d^argis, argien ou grec, et moSy coutume; les autres, d'aries, bélier, et anï/imo«, nombre; d'autres enfin le font venir d'Aigus, prétendu nom d'un philosophe, ou d*Àlgor, prétendu nom d'un roi de Castille. Voy. M. Chasles, Comptes Yendus de V Académie des sciences, 6 juin 1857. Halliwell, JRara maihema^ tica, p. 6 et 73, note 2 (Lond., 1839),

d*assigner à chacun des signes numéraux, depuis zéro jusqu'à new/* inclusivement, une valeur déterminée suivant la progression géométrique citée, c'est-à-dire de faire occuper, de droite à gauche, le premier rang par les unités depuis 1 jusqu'à 9 inclusivement, le deuxième rang par les dizaines jusqu'à 99, le troisième rang par les centaines jusqu'à 999, le quatrième rang par les mille jusqu'à 9999, etc., et de placer, dans l'addition et la soustraction, les nombres les uns au-dessous des autres, suivant l'ordre décimal.

L'Alkhârismi faisait incontestablement usage du zéro, et il désignait par le nom de différence ce qu'on appelle aujourd'hui position ou ordre décimal; car il dit que « les neuf signes peuvent se trouver dans différentes places, et que si une différence reste vide, on y met un petit cercle^ pour montrer qu'aucun nombre ne s'y trouve^. » On ne saurait mieux désigner le zéro.

La forme de nos chiffres, sur laquelle on continue de discuter avec un vain luxe d'érudition, n'est ici qu'une question accessoire. Il est certain que cette forme se rapproche de celle des caractères arabes équivalents, comme nous l'avons montré plus haut. Mais elle ne s'éloigne pas non plus des caractères ou apices de Boèce ; et, ne l'oublions pas, à l'époque de Boèce, d'un siècle et demi antérieure à la venue de Mahomet, les Arabes n'avaient encore aucune place dans l'histoire. Voilà un premier point embarrassant. Mais il y en a un autre, qui ne l'est pas moins. Dans la position des nombres, ceux-ci augmentent de valeur, en allant depuis l'unité, de droite à gauche. C'est ainsi qu'en arabe les lettres se lisent de droite à gauche. A cela il n'y a rien d'étonnant, puisque c'est à un Arabe qu'on attribue l'invention du procédé qui consiste à placer les nombres les plus forts à gauche et les

1. Trattati d*aritmetica publicati da B, Buoncompagni; p. 3 et suiv. Home, 1857).

plus faibles (les unités) à droite. Mais on a attribué la même invention à des rabbins khabbalistes^ savants juifs d'Espagne, au moins aussi anciens que les Arabes^ Et Ton sait que Thébreu se lit et s'écrit, ainsi que l'arabe, comme du reste toute langue sémitique, de droite à gauche, exactement au rebours de nos idiomes indo-européens.

Quoi qu'il en soit, les partisans de l'algorithme, les algorithmistes, ne commençaient guère à se répandre qu'à partir du douzième siècle. Parmi les plus zélés propagateurs de cette importante doctrine nous citerons : Jean de Séville, Adelhard ou Athelard de Bath, Jean de Salisbury, Jean de Holywood, Tzwizel, etc. Un mot sur chacun de ces savants.

Jean de Séville ou de Luna^ plus connu sous le nom latinisé de Joannes Hispaîensis, rabbin du douzième siècle, prit ce nom (il s'appelait auparavant Aben-Dreath) après s'être converti au christianisme. Sur les instances de Raimond, archevêque de Tolède, et de concert avec l'archidiacre Gondisalvi, il traduisit des livres arabes en castillan, puis du castillan en latin. Plusieurs de ces livres, comme divers traités d'Aristote, avaient été originairement traduits du grec en arabe, ce qui faisait trois versions, pour ainsi dire superposées; l'exactitude devait évidemment en souffrir. Nous n'avons à signaler de Jean de Séville que son Liber algorismi^ imprimé par M. B. Boncompagni, dans Trattati d'aritmetica^ t. II, p. 25-136 (Rome, 1857). Ce livre reproduit en grande partie ce qui est contenu dans l'ouvrage de'l'Alkhârismi (Mohammedben-Mousaj . On y trouve un procédé d'extraction des racines carrées à l'aide des fractions décimales, procédé qui fut plus tard présenté par Cardan et considéré comme nouveau. Mais ce procédé remonte lui-même àThéon le jeune, du quatrième siècle. Ce commentateur de Ptolémée exécutait avec les fractions sexagésimales ce que Jean de Sé-