Th. H. Martin, les Signes numéraux y etc., p

3. M. Ghasles, Comptes rendus de VAcaiémie des sciences, 20 janvier et 24 juillet 1843.

i22 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES,

Les Abacistes^ beaucoup plus anciens que les Al^rtthmistes avec lesquels ils finirent par se confondre, s'occupèlrent particulièrement de l'arithmétiqpie pratique, des règles d'opération et des méthodes de calcul. C'est à eux sans doute que revient Thonneur d'avoir inventé, bien tardivement, les signes de l'addition, de la soustraction, de k multiplication, de l'extraction des racines, de TégttJité, etc.*.

En réservant tme place plus large à Léqnard de Pise, nous nous bornerons à citer parmi les abacistes, Gerland, Raoul de Laon, Jean Nemorarius, Rudolphe de Liège, etc.

Oerland^ disciple des bénédictins de Besançon, écrivit, à la fin du onzième siècle, un livre d'arithmétique, où il emploie, pour désigner les unités, les neuf noms cabalistiques : igin^ andras^ ormis^ arbas^ quimaSj caltis^ zeniSj temenias^ celentis^ en tête des colonnes de l'Âbacus, ainsi que dans le texte qui indique les opérations à exécuter.

Raoul de Laon employa, vers 1100, ces mêmes mots dans un traité sur l'Abacus. Il y ajouta encore le mot sipeg^ nom d'un signe qui ressemble, dit-il, à une petite roue. Ce signe, écrit successivement au-dessus de chacun des chiffres du multiplicateur, lui sert à marquer à quel point de la multiplication on est arrivé. Il n'a pas encore pour lui la valeur du zéro. Raoul ne donne à l'Abacus qu« 27 colonnes, parce que ce nombre est le cube de 3. H ne se rend pas compte de ce que le nombre, variable, des colonnes verticales de l'Abacus, réunies trois à trois, doit correspondre aux tranches de la numération parlée des

1. Les signes + et — ne devinrent d'un usage fréquent que vers la fin du moyen kge, par suite de la pratique arithmétique des marchands. Les abacistes du seizième siècle, les arithméticiens^ Scheubel, Stifer, Peletier^ Butéon, se servaient des signes -f, — et y/. Voy. Gerhaxdi, dan% les Comptes rendus de l'Académie des sciences de Berlin, 1867. — Bullettino di Biblioq^rafia, etc., de B. Buoncompagni, août 1870. — M. Chasles, Comptes rendus de V Académie des sciences^ 5 mai 184U

PÉRIODE iDE TRÀNSJ'ORMATiON. 343

Romains. Il ne comprend pas non plus, comme M. C!hasles la montré, Tusage des trois lignes horizontales qui, STir l'Abacus des manuscrits de Boèee, présentent chacune douze nombres*.

La science de TAhacus commen^it-elle déjà à se perdre ?

Au nombre des savants qui continuèrent à cultiver la science du calcul nous rangerons Rudolphe de Liège, GuUlavme de Strasbourg, Guilbert de Ghartrea, Hermann Contractus, Regimbold de Cologne, Engelbdrt de Liège, Abbon de Fleury, €ruy d'Arezzo, Atifert de Saie^.

Parmi ceux qui méritent plus particulièrement le nom i'algébristes^ nous citerons Jordan Némorarius et Gérard de Crémone.

Jordan Némorarius (traduction latine de Forestier) vivait, suivant M. Chasles, vers la fin du douzième siède. On a de lui Arithmeticorum libri J, imprimé par Lefèvre d'Étaples (Paris, 1496); de Ponderibus, traité publié par P. Apian (Nuremberg, 1533); de Numéris datis. Ce dernier ouvrage, inédit ^1 existe en manuscrit à la Bibliothèque nationale), est un traité d'algèbre, divisé en quatre livres, comprenant ensemble 113 questions; Tàuteur y fait tous ses raisonnements sur des lettres. Cet ouvrage, peu connu, avait attiré l'attention de Regiomontanus et de Maurolycus, qui s'étaient proposé de le mettre au jour*.

1. M. GhasleSj Etgflic<Uion des traités de VabaeuSy dans les Comptes rendus de V Académie des sciencet^, 26 et dO janvier 1843. — Gantor, Mathematisehe BfiUràge,^. 336-337. — Th. H. Martin^ les Signes numérauXj etc., p. 89.

2. Le dominicain Albert de Saxe, né vers la fin du treizième siècle, a écrit, entre autres, un traité sur les proportions (Tradatus proportùmum), qui fut imprimé à Venise en H96, in-fol., et sur iequel B. Vittori a écrit un commentaire {BuUettino di Bibîiogralia; etc., de B. Buoncompagni, décembre 1871).

8. M. Chasles, Comptes rendus de VÂeadémie des sciences, 6 sep-* tembrel841.

Gérard de Crémone (mort en 1187), dont nous avons déjà parlé dans Y Histoire de V astronomie y p. 280, rendit de grands services à la science par ses traductions latines d'ouvrages arabes. Nous devons ici mentionner de lui : la traduction d*un Traité (anonyme) d'algèbre^ publiée par M. B. Buoncompagni, d'après un manuscrit du Vatican*; la traduction d'un traité d'Abou-Bekr sur la Mesure des surfaces et volumes des corps ^ traduction qui se trouve, avec quelques variantes, dans trois manuscrits (n^ 7266 et 7377 ancien fonds, et n** 49 supplém. lat.) de la Bibliothèque nationale. On y rencontre de nombreuses applications des règles de l'algèbre.

Platon de Tivoli [Plato Tilmrtinus) rivalisait de zèle avec Gérard de Crémone pour traduire en latin les astronomes et les mathématiciens arabes.

Nous ne pouvons nous empêcher ici de faire une remarque, c'est qu'il fallait un véritable courage pour consacrer son temps, à cette époque de barbarie, à l'agrandissement de la science et à la diffusion des lumières ; non pas que l'autorité régnante y répugnât absolument, comme on Ta cru, mais plutôt parce que cette répugnance était invinciblement partagée par tous les esprits : on la respirait en quelque sorte avec l'air du moyen âge. Écoutons, à cet égard, les deux plus grands chefs d'école du douzième siècle, saint Anselme et Jean de Salisbury. Saint Anselme nous apprend (dans son Traité de la Trinité que Bx)scelin, chef et martyr du nominalisme, fut obligé de s'enfuir de France et d'Angleterre] pour se soustraire à la fureur du peuple qui voulait le lapider. Pourquoi? Parce qu'il enseignait fort innocemment que « les espèces ne sont que des noms et qu'il n'y a de réel que les individualités », et parce que cet enseignement avait été con-

1. Délia vita et délie opère de Gherardo Cremonese (Rome^ 1851 in-4).

damné par les théologiens comme contraire aux dogmes du christianisme *. Jean de Salisbury, le principal disciple d'Abélard, Tincisif auteur du Polycraticus et du Metalogicus^ et cpii mourut en 1180 évêque de Chartres, déclarait devant la cour d*HenriII, d'Angleterre, que celui qui se livrait à Tétude des anciens était pour tout le monde un objet de raillerie (omnibm erat in risum), qu'il était traité d'homme plus bête qu'un âne, plus obtus que du plomb ou qu'une pierre {obtusior plumbo vel lapide).

Ces témoignages sont plus éloquents et plus instructifs que de longues dissertations.

Cependant l'esprit du moyen âge, si longtemps réfractaire à toute émancipation intellectuelle , commençait à fléchir, dès le treizième siècle, depuis l'apparition d'Albert le Grand, de Roger Bacon et de Léonard de Pise Nous avons déjà parlé ailleurs des deux premiers; il nous reste à dire un mot du dernier.

Léonard die Pise.

Léonard de Pise, également connu sous le nom de Fibonacci (contraction de fUius Bonacci)^ né en 1180, mort vers le milieu du treizième siècle, nous apprend luimême, au commencement de son Abaque {Liber Abaci)^ publié pour la première fois par M. Buoncompagni (Rome, 1857, in-4), qu'il était fils du syndic des marchands de Pise à la douane de Bougie, et que son père l'avait fait venir auprès de lui pour l'initier à l'art du calcul, a Ayant été ainsi initié, nous apprend-il lui-même, par un admirable enseignement, à l'art de calculer avec les neuf signes des Lidiens {ex mirabili magisterio in arte per novem figuras Indorum introductas)^ je pris tant de plaisir à cet art, que je voulus savoir tout ce qu'on ensei-

1. V. Cousin, Œuvres inédites d'Àbélardj p. xcvi-vii de la Préface (Paris, 1836, in-4).

Par des considérations géométricpies très-rigoureuses, dont M. Woepke a donné la traduction analytique dans le Journal de mathématiques de M. Liouville (t. XXIX, 1855), Léonard démontre qu'aucune des quinze longueurs euclidiennes ne peut satisfaire à la question ; puis il donne une valeur approchée de la racine positive de Téquation. On ignore par quelle méthode il obtint cette valeur, d'une exactitude surprenante.

La troisième question peut, en langage algébrique, s'énoncer ainsi : « Trois hommes ont en commun une

somme inconnue t ; la part du premier est - f ; celle du

second - f , et par conséquent celle du troisième - t. Vou-

lant déposer cette somme en lieu plus sûr, ils prennent au hasard, le premier a?, et n'en dépose que -a?; le second

y, et n'en dépose que -^ y ; le troisième -s, et n'en dépose

que - j? ; de sorte que la somme déposée se monte à - a;

-f--y,+-jzr, et lorsqu'ils retirent ce dépôt, chacun en prend

un tiers; il s'agit de trouver les valeurs x, y, z, » Léonard montra que le problème était indéterminé. En prenant 7 pour ce que chacun retire du dépôt, il trouve 47 pour la somme t\ de là a? = 33, y = 13, z ••= 1. Il ajoute qu'il y a trois modes de solutions qu'il a données dans son Liber Abaci^. — Ces sortes de défi devinrent plus tard fort à la mode parmi les mathématiciens.

Léonard dédia à Théodore « philosophe de l'Empereur » un petit traité intitulé : de Modo solvendi quaestiones avium et similium. Ce titre devait rappeler le désir exprimé par un

1. Page 281 de Tédition de M. B. Buoncompagni. Tout le reste du livre est composé de problèmes de ce genre.

ami qui voulait connaître le moyen de résoudre les questions sur les oiseaux et autres objets semblables. Ges questions étaient dans le genre de celles-ci : « Quelqu'un achète des moineaux, des tourterelles et des colombes, en tout 30 oiseaux pour 30 deniers; 3 moineaux coûtent

1 denier, de même 2 tourterelles, et 1 colombe coûte

2 deniers. On demande combien il y avait d*oiseaux de chacune de ces trois espèces. » Ges questions étaient traitées par un procédé analogue à celui qu'on nomme la règle de fausse position, régula falsi.

Guidé par un véritable amour de la science, M. B. Buoncompagni a depuis longtemps entrepris la publication des Œuvres complètes de Léonard de Pise ; le premier volume, contenant Liber Abaci, parut à Rome en 1857 ; le deuxième volume, qui comprend Practica geometrix, parut en 1862. Ges deux volumes, grand in-4, ont été splendidement imprimés sur les meilleurs manuscrits des bibliothèques de Rome et de Florence.

Culture de la science depuis la Un du treizième siëele Jusqu'à la fin du moyen &ge.

Paccioli, Léonard de Vinci, etc.

Nous ne ferons ici que compléter, en peu de mots, ce que nous avons déjà exposé dans notre Histoire de rastronomie (p. 281-292).

La France littéraire (t. XIX, p. 309) cite Jean de Montpellier comme un mathématicien du treizième siècle. Il est l'auteur d'un opuscule, resté inédit, qui a pour titre : Tractatus quadrantis veteris, où il est question de lusage du cadran et de la manière de trouver la latitude d'un lieu.

Jean de Ligneriis (de Linièrcs), natif d'Amiens, enseignait vers la même époque les mathématiques à Paris. Il rectifia , par ses observations , les lieux de diverses

330 BISTOIRB BBS MATHÉMATIQUES.

étoiles, déterminés par ses dev^uciers. Il est probablement le même que Jean de Linariis^ qui pa^se pour Sicilien, et dont la Bibliothèque nationale possède plusieurs manuscrits*. L'enseigneiaeiit d^ sciences fut encouragé en France par le roi Cbaries. V, dit Iq Sag^, c'est-à-dire le SavarU., qui fit traduire en kngu^ yulgaire beitUîGoup d'ouvrages étrangers.

Dans les autres contrées de l'Europe , le inou^ement scientifique se ranimait également, Sn Italie^ dagomfm [Paul del Abaco)^ que les poètes contemporains ont pla^cé à côté de Dante et de Pétrarque^ employa le premier, en traitant de l'Abaque et de T Algorithme, la virgule pouc partager les nombres considérables en groupes de trois chiffres. Marc de Bénévent écrivait, vers 1350, sur le mouvement de la huitième sphère ; ^iAndalom delNe^ro^ maître de Boccace, composa un traité de l'Astrolabe, imprimé à Ferraxe en 1475. Mais celui qui s'acquit alors une véritable renommée de mathématicien, ce fut Paeciolo.

Lucas Paeciolo ou Paccioli^ de Tordre des Mineurs, naquit, vers le milieu du quinzième siècle, à Borgo San Sepolcro (Toscane), d'où il prit le nom de Luca di Borgo . On ne sait rien de sa vie, si ce n'est qu'il enseigna les mathématiques successivement à Pérouse, à Rome, à Pise et à Venise. Il était lié d'amitié avec Léonard de Vinci, et paraît avoir fini ses jours à Florence, peu de temps après avoir dédié, en 1502, sa Divina proportione à Pierre Soderini, gonfalonier perpétuel de la république de Florence*. Son principal ouvrage a pour titre : Suntma de arithmetica^ geometria^ proportioni e proportionalità (Venise, 1494, in-fol.; réimprimé en 1523 par Paganino di Paganini). U se compose de deux parties : la première traite de l'arithmétique et de l'algèbre, la seconde de la

1. Uhri y Histoire des mathématiques en Italie, t. II, p. 210^ note 2.